{"id":18219,"date":"2024-10-17T05:29:38","date_gmt":"2024-10-17T03:29:38","guid":{"rendered":"https:\/\/college-willy-ronis.fr\/maths\/?p=18219"},"modified":"2024-12-14T09:08:59","modified_gmt":"2024-12-14T08:08:59","slug":"suite-de-farey-et-cercles-de-ford","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/college-willy-ronis.fr\/maths\/suite-de-farey-et-cercles-de-ford\/","title":{"rendered":"Suite de Farey et cercles de Ford"},"content":{"rendered":"\t\t
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Section d'excellence<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Suite de Farey et cercles de Ford<\/h1>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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A) Introduction<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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Extrait du document les fractions de Monsieur Farey, Robert FERACHOGLOU, Lyc\u00e9e Le Castel \u00e0 Dijon<\/a> :<\/p>

Le g\u00e9ologue anglais John Farey sugg\u00e9ra en 1816 de ranger dans l’ordre croissant les fractions irr\u00e9ductibles, comprises entre 0 et 1, et dont le d\u00e9nominateur ne d\u00e9passe pas une valeur donn\u00e9e.
Par exemple, celles dont le d\u00e9nominateur est inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 3 se rangent ainsi :<\/p>

\\[\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{3},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{2}{3},\\dfrac{1}{1}\\]

Farey remarqua qu’une telle suite poss\u00e9dait de jolies propri\u00e9t\u00e9s. Cependant Farey, qui n\u2019\u00e9tait qu\u2019un math\u00e9maticien moyen (et m\u00eame un g\u00e9ologue quelconque, puisqu\u2019il est aujourd\u2019hui presque enti\u00e8rement oubli\u00e9 en tant que tel), ne donna aucune preuve des r\u00e9sultats publi\u00e9s. C\u2019est Louis Augustin Cauchy qui d\u00e9montra les propri\u00e9t\u00e9s en question ; ce dernier, bon prince, a conserv\u00e9 le nom de Farey attach\u00e9 \u00e0 ces suites de fractions.<\/p>

Ce document propose de mettre en \u00e9vidence quelques propri\u00e9t\u00e9s des suites de Farey et des cercles de Ford.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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B) D\u00e9finitions et premi\u00e8res conjectures<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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D\u00e9finition :<\/strong> La suite de Farey de rang $n$, not\u00e9 $F_{n}$ , est la suite finie form\u00e9e par les fractions irr\u00e9ductibles de d\u00e9nominateur inf\u00e9rieur ou \u00e9gal \u00e0 $n$ comprises entre 0 et 1, rang\u00e9es dans l’ordre croissant.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Exemples :<\/strong><\/p>

  • $F_{1}=\\left(\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{1}\\right)$<\/li>
  • $F_{2}=\\left(\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{1}\\right)$<\/li>
  • $F_{3}=\\left(\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{3},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{2}{3},\\dfrac{1}{1}\\right)$<\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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    D\u00e9finition :<\/strong> Soient deux fractions cons\u00e9cutifs $\\dfrac{a}{b}$ et $\\dfrac{c}{d}$ d’une suite de Farey.<\/p>

    On appelle fraction m\u00e9diane des fractions $\\dfrac{a}{b}$ et $\\dfrac{c}{d}$ la fraction $\\dfrac{p}{q}$ telle que :<\/p>

    \\[\\dfrac{p}{q}=\\dfrac{a+c}{b+d}\\]\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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    Dans un premier, les \u00e9l\u00e8ves de la section ont d\u00e9termin\u00e9 $F_{4}$, $F_{5}$ et $F_{6}$ :<\/p>

    • $F_{4}=\\left(\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{4},\\dfrac{1}{3},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{2}{3},\\dfrac{3}{4},\\dfrac{1}{1}\\right)$<\/li>
    • $F_{5}=\\left(\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{5},\\dfrac{1}{4},\\dfrac{1}{3},\\dfrac{2}{5},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{3}{5},\\dfrac{2}{3},\\dfrac{3}{4},\\dfrac{4}{5},\\dfrac{1}{1}\\right)$<\/li>
    • $F_{6}=\\left(\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{6},\\dfrac{1}{5},\\dfrac{1}{4},\\dfrac{1}{3},\\dfrac{2}{5},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{3}{5},\\dfrac{2}{3},\\dfrac{3}{4},\\dfrac{4}{5},\\dfrac{5}{6},\\dfrac{1}{1}\\right)$<\/li><\/ul>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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      \n\t\t\t\t\t\t\tVoici quelques conjectures \u00e9mises par les \u00e9l\u00e8ves :\n
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      1. \n
          \n \t
        1. La fraction $\\dfrac{1}{2}$ occupe la position m\u00e9diane dans $F_{n}$.<\/li>\n \t
        2. En choisissant deux fractions cons\u00e9cutives de $F_{n}$ (not\u00e9es $\\dfrac{a}{b}<\\dfrac{c}{d}$) et en calculant $bc-ad$, on obtient toujours $1$ :\n\\[bc-ad=1\\]<\/li>\n \t
        3. Si $\\dfrac{a}{b}$, $\\dfrac{e}{f}$ et $\\dfrac{c}{d}$ sont, dans cet ordre, trois fractions successives d’une m\u00eame suite de Farey, alors (addition des cancres)\u00a0 :\\[\\dfrac{e}{f}=\\dfrac{a+c}{b+d}\\]<\/li>\n \t
        4. $F_n$ est la r\u00e9union de $F_{n-1}$ et de l’ensemble des fractions m\u00e9dianes de $F_{n-1}$ de d\u00e9nominateur \u00e9gal \u00e0 $n$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/li>\n<\/ol>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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          Remarques :<\/strong><\/p>

          1. La premi\u00e8re conjecture n’a pas \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e en classe.<\/li>
          2. La deuxi\u00e8me conjecture n’a \u00e9galement pas \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e en classe mais v\u00e9rifi\u00e9e dans certains cas :
            Dans $F_{5}$, on choisit $\\dfrac{a}{b}=\\dfrac{2}{5}$ et $\\dfrac{c}{d}=\\dfrac{1}{2}$. On obtient alors :
            \\[bc-ad=5\\times 1-2\\times 2=5-4=1\\]<\/li>
          3. La troisi\u00e8me conjecture peut-\u00eatre d\u00e9montr\u00e9e en classe avec les tr\u00e8s bons \u00e9l\u00e8ves :
            D\u00e9monstration :<\/strong> Soient 3 termes cons\u00e9cutifs d’une suite de Farey : $\\dfrac{a}{b}<\\dfrac{p}{q}<\\dfrac{c}{d}$.
            On a donc :
            \\[
            \\left \\{
            \\begin{array}{c @{=} c}
            pb-aq = 1 \\\\
            cq-pd = 1
            \\end{array}
            \\right.
            \\]On multiplie la premi\u00e8re \u00e9quation par $c$ et la deuxi\u00e8me par $a$ :
            \\[
            \\left \\{
            \\begin{array}{c @{=} c}
            pb-aq =1~~~~\\times c \\\\
            cq-pd =1~~~~\\times a
            \\end{array}
            \\right.
            \\]On multiplie la premi\u00e8re \u00e9quation par $d$ et la deuxi\u00e8me par $b$ :
            \\[
            \\left \\{
            \\begin{array}{c @{=} c}
            pb-aq = 1~~~~\\times d \\\\
            cq-pd = 1~~~~\\times b
            \\end{array}
            \\right.
            \\]On obtient alors :
            \\[
            \\left \\{
            \\begin{array}{c @{=} c}
            pbc-aqc = c \\\\
            cqa-pda = a
            \\end{array}
            \\right.
            \\]

            \\[
            \\left \\{
            \\begin{array}{c @{=} c}
            pbd-aqd = d\\\\
            cqb-pdb = b
            \\end{array}
            \\right.
            \\]Par somme :
            \\[pbc-pad=a+c\\]

            \\[
            cqb-adq=b+d
            \\]On en d\u00e9duit en factorisant les membres de gauche :
            \\[
            \\left \\{
            \\begin{array}{c @{=} c}
            p(bc-ad) = a+c\\\\
            q(bc-ad) = b+d
            \\end{array}
            \\right.
            \\]Par quotient :
            \\[\\dfrac{p(bc-ad)}{q(bc-ad)}=\\dfrac{a+c}{b+d}\\]Ainsi, en simplifiant par $(bc-ad)$ :
            \\[\\dfrac{p}{q}=\\dfrac{a+c}{b+d}\\]<\/li>

          4. Les fractions de $F_7$ sont ainsi obtenues en ajoutant aux fractions de $F_6$ l’ensemble des fractions m\u00e9dianes de $F_6$ de d\u00e9nominateur \u00e9gal \u00e0 6. Par ailleurs, les fractions m\u00e9dianes de $F_6$ sont les premi\u00e8res \u00e0 appara\u00eetre entre deux fractions de $F_7$. Ainsi :
            $F_{7}=\\left(\\dfrac{0}{1},\\dfrac{1}{7},\\dfrac{1}{6},\\dfrac{1}{5},\\dfrac{1}{4},\\dfrac{1}{3},\\dfrac{2}{5},\\dfrac{3}{7},\\dfrac{1}{2},\\dfrac{4}{7},\\dfrac{3}{5},\\dfrac{2}{3},\\dfrac{5}{7},\\dfrac{3}{4},\\dfrac{4}{5},\\dfrac{5}{6},\\dfrac{6}{7},\\dfrac{1}{1}\\right)$<\/li><\/ol>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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            C) Lien avec les cercles de Ford<\/h2>\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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            \n\t\t\t\t\t\t\tLe math\u00e9maticien am\u00e9ricain Lester Randolph Ford (1886-1975), sp\u00e9cialiste en th\u00e9orie des nombres, se pencha \u00e0 titre ludique sur les fractions de Farey. Il en donna en 1917 une propri\u00e9t\u00e9 g\u00e9om\u00e9trique \u00e9tonnante, que nous allons d\u00e9velopper ci-dessous.\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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            D\u00e9finition :<\/strong> Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls. On repr\u00e9sente sur l’axe des abscisses et au dessus de chaque fraction $\\dfrac{a}{b}$
            le cercle de rayon $\\dfrac{1}{2b^{2}}$ , appel\u00e9 cercle de Ford de $\\dfrac{a}{b}$.<\/p>\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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            \n\t\t\t\t\t\t\tExemples :<\/strong> Les cercles de Ford associ\u00e9s \u00e0 $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3} et $F_{6}$.\n\n\"\"\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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