Chapitre 10
Les puissances
Chapitre 10 : Les puissances
A) Puissance de 10 d’exposant entier positif
Définition : $n$ désigne un nombre entier avec $n\geq 1$. Le produit de $n$ facteurs tous égaux à $10$ se note $10^{n}$.
\[10^{n}=\underbrace{10\times 10\times 10\times …\times 10}_{\text{n fois}}=\underbrace{10…0}_{\text{n zéros}}\]
- $10^{n}$ se lit $10$ exposant $n$ ou $10$ puissance $n$.
- Le nombre $n$ est appelé l’exposant.
Remarque : Par convention : $10^{0}=1$
Exemples :
- $10^{3}=10\times 10\times 10=1~000$
- $10^{7}=10~000~000$
- $10^{1}=10$
B) Puissances de 10 d’exposant entier négatif
Définition : $n$ désigne un nombre entier supérieur ou égal à $1$. Le nombre $10^{-n}$ est l’inverse de $10^{n}$.
Propriété : $n$ désigne un nombre entier supérieur ou égal à $1$.
\[10^{-n}=\dfrac{1}{10^{n}}=\dfrac{1}{\underbrace{10\times 10\times 10\times …\times 10}_{{\text{n fois}}}}=\underbrace{0,0…1}_{\text{n zéros}}\]
Exemples :
- $10^{-3}=0,001$
- $10^{-7}=0,000~000~1$
- $10^{-1}=0,1$
C) Notation scientifique d’un nombre décimal
Définition : La notation scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture de la forme $a\times 10^{n}$ dans laquelle :
- $a$ est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non nul ;
- $n$ est un nombre entier relatif.
Exemples :
- $189~700=1,897~00\times 10^{5}=1,897\times 10^{5}$
- $0,003~94=00~003,94\times 10^{-3}=3,94\times 10^{-3}$
Exemples : Comparer $789,3\times 10^{-5}$ et $0,005~69$.
Notation scientifique de $789,3\times 10^{-5}$ :
\[789,3\times 10^{-5}=7,893\times 10^{2}\times 10^{-5}=7,893\times \dfrac{100}{100~000}=7,893\times \dfrac{1}{1~000}=7,893\times 10^{-3}\]
Notation scientifique de $0,005~69$ :
\[0,005~69=5,69\times 10^{-3}\]
On compare d’abord les exposants des puissances de $10$. Si les exposants sont égaux comme ici, on compare les facteurs placés devant les puissances de $10$.
$7,893>5,69$ donc $789,3\times 10^{-5}>0,005~69$.
D) Les préfixes de nano à giga
Exemples :
- $1~\text{GW}=10^{9}~\text{W}$
- $1~\text{nm}=10^{-9}~\text{m}$
E) Puissances d’un nombre relatif d’exposant positif
Définition : Pour tout nombre relatif $a$ et pour tout nombre entier $n\geq 1$ :
\[\underbrace{a\times a …\times a}_{\text{n fois}}~\text{s’écrit}~a^{n}\]$a^{n}$ se lit $a$ exposant $n$ ou $a$ puissance $n$.
Remarques :
- Par convention : $a^{0}=1$.
- $a^{1}=a$
- $a^{2}$ se lit aussi $a$ au carré.
- $a^{3}$ se lit aussi $a$ au cube.
Exemples :
- $4^{5}=4\times 4\times 4\times 4 \times 4=1~024$
- $(-3)^{4}=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81$
- $-3^{4}=-3\times 3\times 3\times 3=-81$
- $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}=\dfrac{5^{3}}{6^{3}}=\dfrac{5\times 5\times 5}{6\times 6\times 6}=\dfrac{125}{216}$