Chapitre 1

Priorités opératoires

cours de 5ème

Chapitre 1 : Priorités opératoires

A) Expressions sans parenthèses

Règle : Dans une suite de calculs sans parenthèses, il faut effectuer les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Remarque : On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.

Exemples :

\begin{eqnarray*} A&=&9+\textcolor{red}{12\div 100}\\ A&=&9+0,12\\ A&=&9,12 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} B&=&\textcolor{red}{7\times 0,5}+\textcolor{red}{6\times 12}\\ B&=&3,5+72\\ B&=&75,5 \end{eqnarray*}

Règle : Si la suite de calculs sans parenthèses ne comporte que des additions et des soustractions (ou que des multiplications et des divisions), on effectue les calculs dans l’ordre de la gauche vers la droite.

Exemples :

\begin{eqnarray*} A&=&\textcolor{red}{24-8}+2\\ A&=&16+2\\ A&=&18 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} B&=&\textcolor{red}{7\times 2}\times 10\div 7\\ B&=&\textcolor{red}{14\times 10}\div 7\\ B&=&140\div 7\\ B&=&20 \end{eqnarray*}

B) Expressions avec parenthèses

Règles :

  • Dans une suite de calculs, il faut d’abord effectuer les calculs entre parenthèses.
  • Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on commence par effectuer les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.

Exemples :

\begin{eqnarray*} A&=&7+2\times (\textcolor{red}{5+7})-5\\ A&=&7+\textcolor{red}{2\times 12}-5\\ A&=&\textcolor{red}{7+24}-5\\ A&=&31-5\\ A&=&26 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} B&=&7\times [4+(\textcolor{red}{1+2})\times 5]\\ B&=&7\times [4+\textcolor{red}{3\times 5}]\\ B&=&7\times [\textcolor{red}{4+15}]\\ B&=&7\times 19\\ B&=&133 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} C&=&4,5+\dfrac{6+3}{4}-2,75\\ C&=&4,5+(\textcolor{red}{6+3})\div 4-2,75\\ C&=&4,5+\textcolor{red}{9\div 4}-2,75\\ C&=&\textcolor{red}{4,5+2,25}-2,75\\ C&=&6,75-2,75\\ C&=&4 \end{eqnarray*}

C) Décrire une expression

Règle : Le nom d’une expression comportant plusieurs opérations est donnée par la dernière opération effectuée.

Exemples :

  • $6+3\textcolor{red}{\times} 7$ est une somme.
  • $4\times 9\textcolor{red}{-}5\times7$ est une différence.
  • $(12+5)\textcolor{red}{\div} 10$ est un quotient.
  • $8\textcolor{red}{\times} (11-5)$ est un produit.

Propriété : $a$, $b$ et $k$ désignent des nombres.

  • $a\textcolor{red}{k}+b\textcolor{red}{k}=(a+b)\textcolor{red}{k}$
  • $a\textcolor{red}{k}-b\textcolor{red}{k}=(a-b)\textcolor{red}{k}$

D) Résoudre un problème

Exemple : Mme Ronis veut timbrer 8 lettres à 0,50 euro chacune et 2 paquets identiques. Elle paye 14,50 euros.

  1. Écrire une expression numérique permettant de calculer le prix d’un paquet.
  2. En respectant les priorités opératoires, calculer cette expression.

1.\[(14,50-8\times 0,50)\div 2\]

2. \begin{eqnarray*}
(14,50-\textcolor{red}{8\times 0,50})\div 2&=&(\textcolor{red}{14,50-4})\div 2\\
&=&10,50\div 2\\
&=&5,25
\end{eqnarray*}

Un paquet coûte 5,25 euros.

E) Distributivité simple

Propriétés (admises) : $a$, $b$ et $k$ désignent des nombres décimaux.

  • $\textcolor{red}{k}\times(a+b)=\textcolor{red}{k}\times a+\textcolor{red}{k}\times b$
  • $\textcolor{red}{k}\times(a-b)=\textcolor{red}{k}\times a-\textcolor{red}{k}\times b$

Exemples :

  • $18\times 101=18\times (100+1)=18\times 100+18\times 1=\np{1800}+18=\np{1818}$
  • $0,7\times 12-0,7\times 2= 0,7\times (12-2)=0,7\times 10=7$

Remarque : Il est donc parfois utile de ne pas utiliser les règles de priorités opératoires pour effectuer un calcul.

 Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

  • Calculer une expression en respectant les priorités opératoires.
  • Calculer avec des ordres de grandeur.
  • Produire une expression littérale pour résoudre un problème puis la calculer.
  • Utiliser la distributivité pour effectuer astucieusement des calculs.
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Sources :

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