Cours et exercices de 3ème

Chapitre 5 : Notion de fonction

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Chapitre 5

Notion de fonction

Cours de mathématiques de 4ème

Chapitre 5 : Notion de fonction

A) Introduction

Un enclos

Mathilde veut construire un petit enclos rectangulaire pour son lapin. Son papi lui fournit 6,5 m de grillage.
En plaçant l’enclos contre le mur de son jardin, le grillage ne délimitera que trois côtés. Mathilde place un premier poteau A contre le mur. Elle veut déterminer à quelle distance $x$ placer le poteau B pour que la surface de l’enclos soit maximale.

Dans l’activité de ce chapitre nous avons associé à la longueur $x$ (distance du point B au mur) la surface de l’enclos. Ce procédé s’est traduit ainsi :
\[x\longmapsto x(6,5-2x)\]

B) Définition et vocabulaire

Définition : Une fonction numérique $f$ est un procédé de calcul qui, à tout nombre $x$, associe le nombre $f(x)$ (lire « $f$ de $x$ »).
On note : \[f:x\longmapsto f(x)\]

notation fonction
Exemples : D’autres exemples de fonctions :
  1. $f$ est la fonction qui, à un nombre $x$, fait correspondre son double : \[f:x\longmapsto 2x\] \[f(x)=2x\]
  2. $g$ est la fonction qui, à un nombre $x$, fait correspondre son carré : \[g:x\longmapsto x^{2}\] \[g(x)=x^{2}\]
  3. $h$ est la fonction qui, à un nombre $x$, associe son carré augmenté de 1 : \[h:x\longmapsto x^{2}+1\] \[h(x)=x^{2}+1\]

Exemple : Soit le programme de calcul ci-dessous. Déterminer l’expression algébrique de la fonction $f$ associée à ce programme de calcul.

  • Choisir un nombre
  • Retrancher 5
  • Multiplier le résultat par 4

 

  • Je choisis $x$
  • $x-5$
  • $(x-5)\times 4$

Donc : $f(x)=4(x-5)$.

Vocabulaire :
  • $f(x)$ est l’image de $x$ par la fonction $f$.
  • $x$ est un antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$.

Remarque : Un nombre peut avoir plusieurs antécédents mais chaque nombre a au plus une image.

Exemple : Dans l’activité, nous avons trouvé à l’aide d’un tableur que si $x=1,6$, l’aire de l’enclos était maximale. Ainsi au nombre 1,6 nous associons le nombre 5,28. Nous pourrons écrire que :
\[f(1,6)=5,28\]Nous pouvons dire que :

  • 5,28 est l’image de 1,6 par la fonction $f$.
  • 1,6 est un antécédent de 5,28 par la fonction $f$.

Exemple : Soit $f$ la fonction définie par $f:x\longmapsto x^{2}-3$.

  • Calculer l’image de 2 par la fonction $f$.

\begin{eqnarray*}
f(2)&=&2^{2}-3\\
&=&4-3\\
&=&1\\
\end{eqnarray*}

L’image de 2 par la fonction $f$ est 1.

  • Prouver que 5 est un antécédent de 22 par la fonction $f$.

\begin{eqnarray*}
f(5)&=&5^{2}-3\\
&=&25-3\\
&=&22\\
\end{eqnarray*}

Un antécédent de 22 par la fonction $f$ est 5.

Exemple : Ce tableau définit une fonction $f$ qui à chaque nombre de la 1ère ligne associe un nombre de la 2ème ligne.


D’après le tableau :

  • L’image de -2 par la fonction $f$ est -21 : $f(-2)=-21$.
  • L’antécédent de 4,5 par la fonction $f$ est 1: $f(1)=4,5$

C) Représentation graphique d'une fonction

Définition : La courbe représentative d’une fonction $f$ est l’ensemble des points dont les coordonnées sont de la forme $(x ;f(x))$.

Exemple : Voici la représentation graphique de la fonction $f$ de l’activité ($f(x)=x(6,5-2x)$) :

Représentation graphique d'une fonction
Par lecture graphique :

  • On constate que l’aire est maximale pour $x\approx 1,6$. Cette aire maximale vaut environ 5,28 m$^{2}$.
  • On retrouve ainsi que l’image de 1,6 par la fonction $f$ est égale à 5,28.
  • On remarque également qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents : les antécédents de 4 par la fonction $f$ sont environ 0,8 et 2,5.
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Chapitre 4 : Agrandissement et réduction d’une figure

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Chapitre 4

Agrandissement et réduction

Cours de mathématiques de 4ème

Chapitre 4 : Agrandissement et réduction

A) Agrandissement et réduction d'une figure

Définition : Faire un agrandissement d’une figure c’est multiplier toutes les longueurs par un même nombre $k$ supérieur à 1 en conservant la forme de la figure.

Vocabulaire : $k$ est appelé le rapport d’agrandissement.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est un agrandissement du triangle $ABC$. Les longueurs ont été multipliées par 1,5. En effet :
\[3\times 1,5=4,5~~~~4\times 1,5=6~~~~5\times 1,5=7,5\]

agrandissement d'une figure

Les dimensions de la figure obtenue lors d’un agrandissement sont proportionnelles à celles de la figure initiale.
\[\dfrac{4,5}{3}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{7,5}{5}=\textcolor{red}{1,5}\]

tableau de proportionnalité

Définition : Faire une réduction d’une figure c’est multiplier toutes les longueurs par un même nombre $k$ compris entre 0 et 1 en conservant la forme de la figure.

Vocabulaire : $k$ est appelé le rapport de réduction.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est une réduction du triangle $ABC$. Les longueurs ont été multipliées par 0,5. En effet :
\[4\times 0,5=2~~~~6\times 0,5=3~~~~8\times 0,5=4\]

réduction d'une figure

Les dimensions de la figure obtenue lors d’une réduction sont proportionnelles à celles de la figure initiale.
\[\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{8}=\textcolor{red}{0,5}\]

tableau de proportionnalité

B) Conservation des angles et du parallélisme

Conséquence : Lors de l’agrandissement ou de la réduction d’une figure :

  • les mesures des angles sont conservées (donc la perpendicularité en particulier) ;
  • le parallélisme est conservé.

Exemple : Le triangle $A’B’C’$ est un agrandissement du triangle $ABC$ dans le rapport 2. Donc :

\[ C’B’=2\times CB\]\[\widehat{ACB}=\widehat{A’B’C’}\]

Conservation de la mesure des angles lors d'un agrandissement.

C) Effet sur les aires

Propriété : Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre $k$ (positif), alors l’aire est multipliée par $k^{2}$.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le rectangle $A’B’C’D’$ est un agrandissement du rectangle $ABCD$ de coefficient 3.

Effet sur les aires d'un agrandissement.
Or :
$A_{ABCD}=1~\text{cm}\times 2~\text{cm}=2~\text{cm}^{2}$

$A_{A’B’C’D’}=3~\text{cm}\times 6~\text{cm}=18~\text{cm}^{2}$

L’aire a été multipliée par $3^{2}=9$.

Exemple : La surface d’un champ est de 12 hectares. On multiplie ses dimensions par 2,5. Quelle sera sa nouvelle surface?
\begin{eqnarray*}
A_{nouvelle~surface}&=&2,5^{2}\times A_{surface~de~départ}\\
&=&2,5^{2}\times 12~\text{hectares}\\
&=&75~\text{hectares}
\end{eqnarray*}

D) Effet sur les volumes

Propriété : Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre $k$ (positif), alors le volume est multiplié par $k^{3}$.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le 2ème pavé droit est un agrandissement du 1er pavé droit de coefficient 2.

Effet sur les volumes d'un agrandissement.

Or :
$V_{pavé~droit~1}=1~\text{cm}\times 1~\text{cm}\times 2~\text{cm}=2~\text{cm}^{3}$

$V_{pavé~droit~2}=2~\text{cm}\times 2~\text{cm}\times 4~\text{cm}=16~\text{cm}^{3}$

Le volume a été multiplié par $2^{3}=8$.

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Chapitre 3 : Statistiques et tableur

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Chapitre 3

Statistiques et tableur

Cours de mathématiques de 4ème

Chapitre 3 : Statistiques et tableur

A) Fréquence

Définition : La fréquence est le quotient (ou rapport) de l’effectif de cette valeur sur l’effectif total de la population :
\[\text{Fréquence}=\dfrac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}}\]

Exemple : Dans un collège de 450 élèves, 110 élèves ont trois frères et soeurs. La fréquence des élèves ayant trois frères et soeurs est égale à :
\[\text{Fréquence}=\dfrac{110}{450}\approx 0,244\]En pourcentage, cette fréquence vaut environ 24,4 %.

B) Moyenne d'une série statistiques

Définition : La moyenne pondérée d’une série de valeurs est le nombre obtenu :

  • en additionnant toutes les valeurs de la série ;
  • en divisant cette somme par l’effectif total de la série.

Exemple : On a relevé les distances (en km) parcourues par un commercial au cours de ses $7$ derniers jours travaillés. On peut calculer la distance moyenne journalière de deux manières différentes :

  • Avec un tableur :

    En A9, on tape la formule : =MOYENNE(A2: A8)
  • A la main :
    \[\dfrac{374~\text{km}+475~\text{km}+326~\text{km}+408~\text{km}+372~\text{km}+431
    ~\text{km}+274~\text{km}}{7}=380~\text{km}\]La distance moyenne journalière parcourue par ce commercial est égales à $380~\text{km}$.

Interprétation : Si ce commercial avait parcouru le même nombre de kilomètres chaque jour, celui-ci serait de $380$ km.

Remarque : Le tableur permet de traiter des données réelles en grand nombre en s’affranchissant de calculs fastidieux.

Exemple : A un concours scientifique, les mathématiques ont un coefficient 5, la physique un coefficient 3 et la géologie un coefficient 2. Carine a obtenu 11 en mathématiques, 9 en physique et 12 en géologie.
Quelle est la moyenne de Carine à ce concours ?
\[\text{Moyenne}=\dfrac{11\times 5+9\times 3+12\times 2}{5+3+2}=10,6\]

C) Médiane d'une série statistiques

Définition : Les valeurs d’une série statistique étant rangées par ordre croissant (ou décroissant), la médiane est un nombre M tel que :

  • au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à M ;
  • au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieures ou égales à M.

Exemple : (Effectif total impair)
Calculer la médiane de la série suivante :
\[6-15-26-14-30-21-18-9-13\]

Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[6-9-13-14-15-18-21-26-30\]Je calcule l’effectif total : $9$
$9\div 2=4,5$ donc la médiane est la 5ème valeur : $M=15$
Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.

Exemple : (Effectif total pair)

Calculer la médiane de la série suivante :
\[16-4-2-12-9-15-17-1\]

Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[1-2-4-9-12-15-16-17\]Je calcule l’effectif total : $8$
$8\div 2=4$ donc la médiane est la moyenne des 4ème et 5ème valeurs :
\[M = \dfrac{9+12}{2}=10,5\]Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.

Exemple : Calculer la médiane de la série des lancers de javelot ci-dessous.

 

On peut calculer la médiane de deux manières différentes :

  • Avec le tableur :

    En H4, on tape la formule : =MEDIANE(A1: G4)
  • A la main :

L’effectif total est $28$.
$28$ est pair donc la médiane est la moyenne des 14ème et 15ème longueurs. Elles sont égales à $41~\text{m}$ et $42~\text{m}$.
\[M= \dfrac{41~\text{m}+42~\text{m}}{2}=41,5~\text{m}\]La médiane est $41,5~\text{m}$.

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Chapitre 2 : développer et réduire une expression littérale

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Chapitre 2

Développer et réduire une expression littérale

Chapitre 2 : développer et réduire une expression littérale

Développer et réduire permet :

  • de prouver que deux expressions littérales sont équivalentes ;
  • de démontrer qu’une propriété est vraie.

A) Développer avec la distributivité

Propriétés : $k,a,b,c$ et $d$ sont des nombres relatifs quelconques :

\begin{eqnarray*}
k \times (a+b)&=&k\times a + k\times b \\
&&\\
(a+b)\times (c+d)&=&a\times c + a\times d + b\times c + b\times d\\
\end{eqnarray*}

Interprétation géométrique :

 

\begin{eqnarray*}
A&=&-3x(4x-6)\\
A&=&-12x^{2}+18x\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} B&=&(2x-5)(3x-4)\\ B&=&6x^{2}-8x-15x+20\\ B&=&6x^{2}-23x+20\\ \end{eqnarray*}

B) Développer avec les identités remarquables

Propriétés : $a$ et $b$ désignent des nombres relatifs :

  • $ (a+b)^{2}=a^{2}+2\times a\times b+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  • $ (a-b)^{2}=a^{2}-2\times a\times b+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
  • $ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} $

Interprétation géométrique : Pour calculer l’aire du carré, on peut procéder de deux manières :

  • $A=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}$
  • $A=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

On en a déduit : $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.

 

Démonstration : Démontrons la première identité remarquable :
\begin{eqnarray*}
(a+b)^{2}&=&(a+b)(a+b)\\
&=&a\times a+a\times b+b\times a+b\times b\\
&=&a^{2}+a\times b+a\times b+b^{2}\\
&=&a^{2}+2\times a\times b+b^{2}\\
&=&a^{2}+2ab+b^{2}
\end{eqnarray*}

Exemples : Les identités remarquables permettent de développer plus rapidement une expression :
\begin{eqnarray*}
A&=&(2x+5)^{2}\\
A&=&(2x)^{2}+2\times 2x\times 5+5^{2}\\
A&=&4x^{2}+20x+25\\
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
B&=&(x-6)^{2}\\
B&=&x^{2}-2\times x\times 6+6^{2}\\
B&=&x^{2}-12x+36\\
\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
C&=&(3x-4)(3x+4)\\
C&=&(3x)^{2}-4^{2}\\
C&=&9x^{2}-16
\end{eqnarray*}

Exemples : Les identités remarquables peuvent servir pour calculer mentalement :

  • $99\times 101=(100-1)(100+1)=100^{2}-1^{2}=10~000-1=9~999$
  • $29^{2}=(30-1)^{2}=30^{2}-2\times 30\times 1
    +1^{2}=900-60+1=841$

C) Le calcul littéral pour démontrer

Une expression littérale peut traduire un programme de calcul. Cela permet de justifier que des programmes de calcul sont équivalents.

Exemple : Les programmes de calcul ci-dessous sont-ils équivalents ?

  • Choisir un nombre
  • Ajouter 7
  • Ajouter le nombre de départ
  • Choisir un nombre
  • Multiplier le résultat par 2
  • Ajouter 10
  • Retrancher 3

Choisissons $x$ pour remplacer le nombre de départ :

  • $x$
  • $x+7$
  • $x+7+x=2x+7$
  • $x$
  • $2\times x$
  • $2\times x+10$
  • $2\times x+10-3=2x+7$
Le résultat de ces deux programmes est donc identique pour n’importe quelle valeur de $x$. Donc ces deux programmes de calcul sont équivalents.
Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.

Exemples :

  • Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être la somme de deux entiers consécutifs” par l’expression littérale : $n+(n+1)$.
  • Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être un multiple de 3” par l’expression littérale : $3\times n=3n$.
  • Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être un nombre pair” par l’expression littérale : $2\times n=2n$.
  • Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être un nombre impair” par l’expression littérale : $2\times n+1=2n+1$.
Le calcul littéral permet de démontrer qu’une propriété est vraie.

Exemple : Montrer que pour n’importe quel nombre entier $n$, $(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$ est un multiple de 4.

\begin{eqnarray*}
(n+1)^{2}-(n-1)^{2}&=&[n^{2}+2\times n\times 1+1^{2}]-[n^{2}-2\times n\times 1+1^{2}]\\
&=&[n^{2}+2n+1]-[n^{2}-2n+1]\\
&=&n^{2}+2n+1-n^{2}+2n-1\\
&=&4n
\end{eqnarray*}
Donc pour tout nombre entier $n$, $(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$ est bien un multiple de 4.

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Chapitre 1 : les nombres premiers

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Chapitre 1

Les nombres premiers

Chapitre 1 : Les nombres premiers

A) Multiples et diviseurs d'un nombre

Définition : Le nombre $a$ est divisible par le nombre $b$ lorsqu’il existe un nombre entier $c$ non nul tel que :
\[a=b\times c\]On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$ ou que $b$ est un diviseur de $a$.

Exemples : 60 est-il un multiple de 12 ? 1 974 est-il divisible par 84 ?

60 est un multiple de 12 car $60=12\times 5$.

On dit également :

  • 60 est divisible par 12 (et par 5) ;
  • 12 (ou 5) est un diviseur de 60.

1 974 n’est pas divisible par 84 car :
$1~974\div 84=23,5$.

On dit également :

  • 84 n’est pas un diviseur de 1 974 ;
  • 1 974 n’est pas un multiple de 84.

Propriétés :

  • Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
  • Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
  • Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
  • Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
  • Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Démonstration : Dans le cas de la divisibilité par 5 avec $n$ un nombre entier à trois chiffres.
$n$ est donc un nombre entier à trois chiffres dont le chiffre des centaines est $c$, le chiffre des dizaines est $d$ et le chiffre des unités est $u$. On a alors :
\begin{eqnarray*}
n&=&100\times c+10\times d+u\\
n&=&5\times 20\times c+5\times 2\times d+u\\
n&=&5\times (20c+2d)+u\\
\end{eqnarray*}
Or $5\times (20c+2d)$ est divisible par 5. Donc $n$ est divisible par 5 dans le cas où $u$ est divisible par 5 c’est à dire si $u$ est égal à 0 où 5.

B) Nombres premiers

Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples :

  • 12 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2,3, 4, 6, 12.
  • 1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.
  • 0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non-nul.
  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… sont tous les nombres premiers inférieurs à 40.

C) Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près.

Exemple : Décomposition de 76 en produit de facteurs premiers.

On cherche ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant :

  • 76 est divisible par 2: $76=2\times 38$.
  • 38 est divisible par 2: $76=2\times 2\times 19$.

Or 19 est un nombre premier, donc la décomposition de 76 en produit de facteurs premiers est terminée :
\[76=2\times 2\times 19=2^{2}\times 19\]

Exemple :  La décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers permet de trouver le PGCD et le PPCM de deux nombres. Cherchons le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de 120 et 36.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 120 et 36 est :

 

\begin{eqnarray*}
120&=&2\times 60\\
120&=&2\times 2\times 30\\
120&=&2\times 2\times 2\times 15\\
120&=&2\times 2\times 2\times 3\times 5\\
120&=&2^{3}\times 3\times 5\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
36&=&2\times 18\\
36&=&2\times 2\times 9\\
36&=&2\times 2\times 3\times 3\\
36&=&2^{2}\times 3^{2}\\
\end{eqnarray*}

  • Le PGCD de 120 et 36 est alors : $2^{2}\times 3=4\times 3=12$.
  • Le PPCM de 120 et 36 est alors : $2^{3}\times 3^{2}\times 5=8\times 9\times 5=360$.

D) Fraction irréductible

Définition : Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.

Définition : Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.

Exemple : Simplifier la fraction $\dfrac{84}{30}$ et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

$\dfrac{84}{30}=\dfrac{2\times \textcolor{blue}{2}\times \textcolor{red}{3}\times 7}{\textcolor{blue}{2}\times \textcolor{red}{3}\times 5}=\dfrac{2\times 7}{5}=\dfrac{14}{5}$.

Exercices corrigés

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