Sujet et correction brevet blanc mathématiques de mai 2023
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Chapitre 20 : Egalité de triangles
Chapitre 20
Egalité de triangles
Chapitre 20 : Egalité de triangles
A) Définition
Définition : Des triangles égaux sont des triangles superposables, c’est à dire qui ont des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à deux de même mesure.
Exemple : Les triangles ci-dessous sont égaux.
Vocabulaire : Lorsque deux triangles sont égaux, deux angles superposables sont dits angles homologues et deux côtés superposables sont dits côtés homologues.
B) Propriétés
Propriété : Si deux triangles ont un côté de même longueur et des angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux.
Exemple : Les triangles $ABC$ et $TSR$ sont-ils égaux ?
On sait que :
- $AB=RS$
- $\widehat{ABC}=\widehat{TRS}$
- $\widehat{BAC}=\widehat{TSR}$
Ainsi les deux triangles $ABC$ et $TRS$ ont un côté de même longueur et les angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure.
Donc ces deux triangles sont égaux.
Propriété : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre des côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles. Montrer que les triangles $EBF$ et $HFC$ sont égaux.
Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ étant parallèles, les angles alternes-internes $\widehat{BEF}$ et $\widehat{FCH}$ qu’elles déterminent sont de même mesure. Donc $\widehat{BEF}=\widehat{FCH}$.
De plus, $BE=HC$ et $EF=FC$.
Ainsi les deux triangles $BEF$ et $FHC$ ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.
Ces deux triangles sont donc égaux.
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Chapitre 19 : Translation et rotation
Chapitre 19
Translation et rotation
Chapitre 19 : Translation et rotation
A) Translation
Définition : Transformer un point ou une figure par translation c’est faire glisser ce point ou cette figure selon une direction, un sens et une longueur donnés.
Remarque : La translation est symbolisée par une flèche qui donne la direction, le sens et la longueur de ce déplacement.
Exemples : Sur les figures ci-dessous, le quadrilatère $A’B’C’D’$ et le triangle $A’B’C’$ sont les images du quadrilatère $ABCD$ et du triangle $ABC$ par la translation qui transforme le point $F$ en $G$. On dit que la translation est de vecteur $\overrightarrow{FG}$.
B) Propriétés de la translation
Propriété : Si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme aussi $C$ en $D$, alors $ABDC$ est un parallélogramme éventuellement aplati.
Exemple : Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
Démonstration : D’après la définition d’une translation, on a :
$AB=CD$ et $(AB)$//$(CD)$.
Un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc $ABDC$ est un parallélogramme.
Propriété : Une translation conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la translation qui transforme $E$ en $E’$. On a :
$\text{AB}=\text{A’B’}$- $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A’B’C’}}$
- $A_{\text{ABC}}=A_{\text{A’B’C’}}$
- $P_{\text{ABC}}=P_{\text{A’B’C’}}$
- Les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés donc les points $A’$, $D’$ et $C’$ sont aussi alignés.
C) Rotation
Définitions :
- Transformer un point ou une figure par rotation c’est faire tourner ce point ou cette figure par rapport à un centre de rotation et un angle.
- Le sens inverse des aiguille d’une montre est appelé sens direct.
Exemples :
- Le point $M’$ est l’image du point $M$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $45$° dans le sens direct.
- Le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $70$° dans le sens direct.
D) Propriétés de la rotation
Propriété : Une rotation conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $80$° dans le sens direct.
$\text{AB}=\text{A’B’}$- $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A’B’C’}}$
- $A_{\text{ABC}}=A_{\text{A’B’C’}}$
- $P_{\text{ABC}}=P_{\text{A’B’C’}}$
- Les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés donc les points $A’$, $D’$ et $C’$ sont aussi alignés.
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Chapitre 18 : Statistiques et tableur
Chapitre 18
Statistiques et tableur
Chapitre 18 : Statistiques et tableur
A) Moyenne d'une série statistiques
Définition : La moyenne d’une série de valeurs est le nombre obtenu :
- en additionnant toutes les valeurs de la série ;
- en divisant cette somme par l’effectif total de la série.
Exemple : On a relevé les distances (en km) parcourues par un commercial au cours de ses $7$ derniers jours travaillés. On peut calculer la distance moyenne journalière de deux manières différentes :
- Avec un tableur :
En A9, on tape la formule : =MOYENNE(A2: A8) - A la main :
\[\dfrac{374~\text{km}+475~\text{km}+326~\text{km}+408~\text{km}+372~\text{km}+431
~\text{km}+274~\text{km}}{7}=380~\text{km}\]
La distance moyenne journalière parcourue par ce commercial est égales à $380~\text{km}$.
Interprétation : Si ce commercial avait parcouru le même nombre de kilomètres chaque jour, celui-ci serait de $380$ km.
Remarque : Le tableur permet de traiter des données réelles en grand nombre en s’affranchissant de calculs fastidieux.
B) Médiane d'une série statistiques
Définition : Les valeurs d’une série statistique étant rangées par ordre croissant (ou décroissant), la médiane est un nombre M tel que :
- au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à M ;
- au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieures ou égales à M.
Exemple : (Effectif total impair)
Calculer la médiane de la série suivante :
\[6-15-26-14-30-21-18-9-13\]
Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[6-9-13-14-15-18-21-26-30\]Je calcule l’effectif total : $9$
$9\div 2=4,5$ donc la médiane est la 5ème valeur : $M=15$
Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Exemple : (Effectif total pair)
Calculer la médiane de la série suivante :
\[16-4-2-12-9-15-17-1\]
Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[1-2-4-9-12-15-16-17\]Je calcule l’effectif total : $8$
$8\div 2=4$ donc la médiane est la moyenne des 4ème et 5ème valeurs :
\[M = \dfrac{9+12}{2}=10,5\]Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Exemple : Calculer la médiane de la série des lancers de javelot ci-dessous.
On peut calculer la médiane de deux manières différentes :
- Avec le tableur :
En H4, on tape la formule : =MEDIANE(A1: G4) - A la main :
L’effectif total est $28$.
$28$ est pair donc la médiane est la moyenne des 14ème et 15ème longueurs. Elles sont égales à $41~\text{m}$ et $42~\text{m}$.
\[M= \dfrac{41~\text{m}+42~\text{m}}{2}=41,5~\text{m}\]La médiane est $41,5~\text{m}$.
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Chapitre 17 : La réciproque du théorème de Thalès
Chapitre 17
La réciproque du théorème de Thalès
Chapitre 17 : La réciproque du théorème de Thalès
Propriété : Si deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en un point $A$,
si les points $A, M, B$ et les points $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre, et si $ \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} $ alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
Remarque : Ce théorème permet de prouver que deux droites sont parallèles.
Exemple : Avec les données de la figure ci-dessous, démontrer que $(OL)$ est parallèle à $(UP)$.
\[
\left.
\begin{array}{ccccc}
\dfrac{IO}{IP}&=&\dfrac{6}{10,5}&=&\dfrac{4}{7}\\
\\
\dfrac{IL}{IU}&=&\dfrac{4}{7}&&\\
\end{array}
\right\}\mbox{Donc}~~\dfrac{IO}{IP}=\dfrac{IL}{IU}
\]- Les droites $(IP)$ et $(IU)$ sont sécantes en $I$.
- Les points $I, O, P$ et $I,L,U$ sont alignés dans le même ordre.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que $(OL)$ est parallèle à $(UP)$.
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Chapitre 16 : Vitesse
Chapitre 16
Vitesse
Chapitre 16 : Vitesse
Lors d’un trajet en voiture, la vitesse n’est pas constante (accélérations, ralentissements…). La vitesse moyenne est la vitesse qu’aurait cette voiture si elle parcourait la même distance dans le même temps en conservant toujours la même vitesse.
Propriété : Dire que $v$ est la vitesse moyenne lors d’un trajet signifie que la distance parcourue $d$ est proportionnelle à la durée $t$ du trajet.
Le coefficient de proportionnalité est la vitesse moyenne $v$.
Ainsi :
\[d=v\times t\]
Conséquence : La vitesse moyenne sur un trajet est le quotient de la distance parcourue $d$ par la durée $t$ du trajet.
\[v=\dfrac{d}{t}~~~~\text{et}~~~~t=\dfrac{d}{v}\]
Exemple : Calcul d’une vitesse moyenne
Un automobiliste a parcouru $98~\text{km}$ en $1~\text{h}10~\text{min}$. Calculer sa vitesse moyenne en km/h.
$1~\text{h}10~\text{min}= 70~\text{min}$
\begin{eqnarray*}
v&=&\dfrac{d}{t}\\
v&=&\dfrac{98~\text{km}}{70~\text{min}}\\
v&=&1,4~\text{km/min}\\
v&=&1,4\times 60~\text{km/h}\\
v&=&84~\text{km/h}
\end{eqnarray*}
Cet automobiliste a roulé à une vitesse moyenne de $84~\text{km/h}$.
Exemple : Calcul d’une distance
Un randonneur a marché à une vitesse de $5,6~\text{km/h}$ pendant $2~\text{h}30~\text{min}$. Quelle distance a-t-il parcourue ?
$2~\text{h}30~\text{min}=2,5~\text{h}$
\begin{eqnarray*}
d&=&v\times t\\
d&=&5,6~\text{km/h}\times 2,5~\text{h}\\
d&=&14~\text{km}
\end{eqnarray*}
Ce randonneur a parcouru $14~\text{km}$ en $2~\text{h}30~\text{min}$.
Exemple : Calcul d’une durée
Un skieur parcourt une descente de ski de $1~\text{km}$ à la vitesse de $252~\text{km/h}$. Quelle est la durée de la descente ?
\begin{eqnarray*}
t&=&\dfrac{d}{v}\\
t&=&\dfrac{1~\text{km}}{252~\text{km/h}}\\
t&\approx &0,004~\text{h}\\
t&\approx &0,004\times 3~600~\text{s}\\
t&\approx &14,4~\text{s}
\end{eqnarray*}
La durée de cette descente est d’environ $14,4~\text{s}$.
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Chapitre 15 : Trigonométrie
Chapitre 15
Trigonométrie
Chapitre 15 : Trigonométrie
A) Vocabulaire du triangle rectangle
B) Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle
Propriété : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, le rapport $\dfrac{BA}{BC}$ ne dépend que de la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.
Démonstration : Sur la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $A’BC’$ est un triangle rectangle en $A’$. Ces deux triangles ont leur angle aigu de sommet $B$ en commun.
Les droites $(AC)$ et $(A’C’)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(AB)$ donc elles sont parallèles entre elles.
$A$ appartient au côté $[BA’]$.
$C$ appartient au côté $[BC’]$.
D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{BA}{BA’}=\dfrac{BC}{BC’}(=\dfrac{AC}{A’C’})\]L’égalité des produits en croix permet d’écrire :
\[BA\times BC’=BC\times BA’\]Ainsi :
\[\dfrac{BA\times BC’}{BC\times BC’}=\dfrac{BC\times BA’}{BC\times BC’}\]Donc :
\[\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BA’}{BC’}\]Donc, le rapport $\dfrac{BA}{BC}$ dépend uniquement de la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport:
\[\dfrac{\text{longueur du côté adjacent à cet angle}}{\text{longueur de l’ hypoténuse}}\]
Exemple :
\[cos(\widehat{BAC})=\dfrac{AB}{AC}\]\[cos(\widehat{ACB})=\dfrac{BC}{AC}\]
Remarques :
- Un cosinus n’a pas d’unité.
- Le cosinus d’un angle aigu est un nombre toujours compris entre $0$ et $1$.
Exemple : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que $AB=5~\text{cm}$ et $\widehat{ABC}=25$°. Calculer la longueur $BC$, arrondir au dixième.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$:
\begin{eqnarray*}
cos(\widehat{ABC})&=&\dfrac{BC}{AB}\\
cos(25\text{°})&=&\dfrac{BC}{5}\\
\dfrac{cos(25\text{°})}{1}&=&\dfrac{BC}{5}\\
BC&=&\dfrac{5\times cos(25\text{°})}{1}\\
BC&\approx &4,5~~\text{cm (On utilise la touche cos de la calculatrice).}
\end{eqnarray*}
Exemple : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que $AC=2~\text{cm}$ et $BC=5~\text{cm}$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$, arrondir au degré près.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, d’après le théorème de Pythagore :
\begin{eqnarray*}
AB^{2}&=&AC^{2}+BC^{2}\\
AB^{2}&=&2^{2}+5^{2}\\
AB^{2}&=&4+25\\
AB^{2}&=&29\\
AB&=&\sqrt{29}\\
AB&\approx &5,4~\text{cm}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
cos(\widehat{BAC})&=&\dfrac{AC}{AB}\\
cos(\widehat{BAC})&=&\dfrac{2}{5,4}\\
\widehat{BAC}&\approx &68\text{° (On utilise la touche arccos de la calculatrice).}
\end{eqnarray*}
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Épreuve commune de 4ème de mathématiques – Année 2022
Année 2022
Épreuve commune de 4ème de mathématiques
Le sujet de l’épreuve commune de mathématiques de l’année 2022 proposait aux élèves du collège 7 exercices traitant de différents chapitres vus depuis le début de l’année de 4ème :
- Tout d’abord, l’exercice 1 est un QCM sur le calcul littéral ;
- Ensuite, l’exercice 2 propose un problème faisant intervenir des calculs de pourcentage ;
- l’exercice 3 traite des probabilités ;
- Après cela, l’exercice 4 permet de retravailler le théorème Pythagore et le théorème de Thalès ;
- l’exercice 5 est un programme de calcul ;
- l’exercice 6 est un exercice de géométrie permettant de travailler le théorème de Pythagore et sa réciproque ;
- Enfin, l’exercice 7 traite de la proportionnalité.
Ci-dessous, retrouvez au format pdf à télécharger librement :
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Chapitre 14 : Les équations
Chapitre 14
Équations
Chapitre 14 : Équations
A) Équations du premier degré à une inconnue
Définition : Une équation est une égalité dans laquelle figurent un ou plusieurs nombres inconnus, désignés le plus souvent par des lettres.
Définition : Une équation est dite du premier degré à une inconnue $x$ lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme $ax+b=cx+d$ (où $a,b,c$ et $d$ désignent des nombres avec $a\neq c$).
Exemple : $2,1x-0,4=1,3x+0,1$ est une équation du premier degré à une inconnue $x$.
Définition : Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vrai.
Exemple : Les nombres $1$ et $-2$ sont-ils solutions de l’équation suivante :
\[3x+2=9x-4\]
- Pour $\textcolor{red}{x=1}$ :
On calcule le membre de gauche : $3\times \textcolor{red}{1}+2=5$.
On calcule le membre de droite : $9\times \textcolor{red}{1}-4=5$.
Les résultats étant identiques on conclut que $1$ est solution de cette équation.
- Pour $\textcolor{red}{x=-2}$ :
On calcule le membre de gauche : $3\times (\textcolor{red}{-2})+2=-6+2=-4$.
On calcule le membre de droite : $9\times (\textcolor{red}{-2})-4=-18-4=-22$.
Les résultats étant différents on conclut que $-2$ n’est pas solution de cette équation.
B) Résoudre une équation
Définition : Résoudre une équation c’est trouver toutes ses solutions.
Propriété : On obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que l’équation initiale lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres de cette équation.
Démonstration : Si $a=b$, on a $a-b=0$. Ainsi :
$(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b+c-c=a-b=0$.
Donc $a+c=b+c$.
Propriété : On obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que l’équation initiale lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre non nul les deux membres de cette équation.
Démonstration : Si $a=b$, on a $a-b=0$. Ainsi :
$a\times c-b\times c=(a-b)\times c=0\times c=0$.
Donc $a\times c=b\times c$.
Exemples : Résoudre les équations suivantes :\begin{eqnarray*}
9x&=&-3x+30\\
9x\textcolor{red}{+3x}&=&-3x+30\textcolor{red}{+3x}\\
12x&=&30\\
\dfrac{12x}{\textcolor{red}{12}}&=&\dfrac{30}{\textcolor{red}{12}}\\
x&=&\dfrac{30}{12}
\end{eqnarray*}
La solution de cette équation est $\dfrac{30}{12}$.
On peut noter :
\[S=\{\dfrac{30}{12}\}\]
\begin{eqnarray*}
2,1x-0,4&=&1,3x+0,1\\
2,1x-0,4\textcolor{red}{-1,3x}&=&1,3x+0,1\textcolor{red}{-1,3x}\\
0,8x-0,4&=&0,1\\
0,8x-0,4\textcolor{red}{+0,4}&=&0,1\textcolor{red}{+0,4}\\
0,8x&=&0,5\\
\dfrac{0,8x}{\textcolor{red}{0,8}}&=&\dfrac{0,5}{\textcolor{red}{0,8}}\\
x&=&0,625
\end{eqnarray*}
La solution de cette équation est 0,625.
On peut noter :
\[S=\{0,625\}\]
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Chapitre 13 : Cône et volume
Chapitre 13
Cône et volume
Chapitre 13 : Cône et volume
A) Représentation en perspective cavalière et patron
Définition : Un cône de révolution de sommet $S$ est le solide engendré par la rotation d’un triangle $SOM$ rectangle en $O$, autour de la droite $(SO)$.
- Le disque de centre $O$ et de rayon $[OM]$ est la base de ce cône.
- Le segment $[SM]$ est appelé une génératrice de ce cône.
- La hauteur de ce cône est le segment $[SO]$ (ou la longueur $SO$).
Exemple : Un cône de sommet $S$, de hauteur $[SO]$ et de base le disque de centre $O$ et de rayon $[OM]$.
Exemple : Pour construire le patron du cône ci-dessous, il faut calculer la mesure de l’angle $\widehat{M’SM}$.
Longueur du cercle de centre $S$ et de rayon $7~\text{cm}$ :
\[2\times R\times \pi=2\times 7~\text{cm}\times \pi=14\pi~\text{cm}\]
La longueur de l’arc de cercle rouge est égale à la longueur du cercle de centre $O$ et de rayon $2~\text{cm}$ :
\[2\times R\times \pi=2\times 2~\text{cm}\times \pi=4\pi~\text{cm}\]
La longueur d’un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l’angle qui l’intercepte. Ainsi, pour calculer la mesure le l’angle $\widehat{M’SM}$, on utilise un tableau de proportionnalité :
L’égalité des produits en croix permet d’écrire :
\[14\pi\times x=360\times 4\pi\]Ainsi :
\begin{eqnarray*}
x&=&\dfrac{360\times 4\pi}{14\pi}\\
x&\approx& 103
\end{eqnarray*}
L’angle $\widehat{M’SM}$ mesure environ $103°$.
B) Volume d'un cône
Propriété : Le volume d’un cône de hauteur $h$ et de base d’aire $B$ est donné par la formule :
\[V=\dfrac{\text{Aire}_{\text{base}}\times \text{hauteur}}{3}=\dfrac{B\times h}{3}\]
En notant $r$ le rayon de disque de base, on obtient :
\[V=\dfrac{\pi\times r^{2}\times h}{3}\]
Exemple : Calculer le volume, en $\text{cm}^{3}$, d’un cône de hauteur $8~\text{cm}$ et de rayon de base $6~\text{cm}$.
Donner une valeur approchée à l’unité près.
Valeur exacte en $\text{cm}^{3}$ du volume de ce cône :
\[V=\dfrac{\pi\times (6~\text{cm})^{2}\times 8~\text{cm}}{3}=96\pi~\text{cm}^{3}\]
Valeur approchée en $\text{cm}^{3}$ et à l’unité près :
\[V\approx 301~\text{cm}^{3}\]
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Chapitre 12 : Division de nombres rationnels
Chapitre 12
Division de nombres rationnels
Chapitre 12 : Division de nombres rationnels
A) Inverse d'un nombre rationnel non nul
Définition : L’inverse d’un nombre rationnel non nul $x$ est le nombre, qui multiplié par $x$, donne $1$.
Exemples :
- L’inverse de $2$ est $0,5$ car $2\times 0,5=1$.
- L’inverse de $-10$ est $-0,1$ car $-10\times (-0,1)=1$.
Propriétés :
- L’inverse d’un nombre rationnel non nul $x$ est le nombre $\dfrac{1}{x}$.
- $a$ et $b$ désignent deux nombres relatifs non nuls. L’inverse de $\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{green}{b}}$ est $\dfrac{\textcolor{green}{b}}{\textcolor{red}{a}}$.
Démonstrations :
- $x\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{x\times 1}{x}=\dfrac{x}{x}=1$
- $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{b}{a}=\dfrac{a\times b}{b\times a}=1$.
Exemples :
- L’inverse de $\dfrac{3}{4}$ est $\dfrac{4}{3}$.
- L’inverse de $\dfrac{-2}{7}$ est $\dfrac{7}{-2}$ c’est à dire $-\dfrac{7}{2}$.
B) Division de deux quotients
Propriété : Diviser par un nombre rationnel différent de $0$ revient à multiplier par son inverse. Ainsi, si $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres relatifs avec $b\neq 0$, $c\neq 0$ et $d\neq 0$, on a:
\[\dfrac{a}{b}\div \dfrac{\textcolor{green}{c}}{\textcolor{red}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{\textcolor{red}{d}}{\textcolor{green}{c}}\]
Démonstration :
$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}$ est le quotient de $\dfrac{a}{b}$ par $\dfrac{c}{d}$, c’est le nombre qui multiplié par $\dfrac{c}{d}$ donne $\dfrac{a}{b}$.
Ainsi :
\[\dfrac{c}{d}\times \left(\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\]
De plus,
\[\dfrac{c}{d}\times \left(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\right)=\dfrac{c}{d}\times \dfrac{a\times d}{b\times c}= \dfrac{c\times a\times d}{d\times b\times c}=\dfrac{a}{b}\]
Ainsi, $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$ est également le nombre qui multiplié par $\dfrac{c}{d}$ donne $\dfrac{a}{b}$.
Donc :
\[\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\]
Exemples :
- $A=\dfrac{-\dfrac{5}{3}~~~}{~\dfrac{6}{7}~}=-\dfrac{5}{3}\times \dfrac{7}{6}=-\dfrac{35}{18}$
- $B=\dfrac{~~~\dfrac{5}{4}~~~}{-3~~~}=\dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{-3}=-\dfrac{5}{12}$
- $C=\dfrac{-4~~}{~~\dfrac{7}{5}~~}=-4\times \dfrac{5}{7}=-\dfrac{20}{7}$
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Chapitre 11 : Le théorème de Thalès
Chapitre 11
Le théorème de Thalès
Chapitre 11 : Le théorème de Thalès
A) Le théorème de Thalès
Propriété : $ABC$ est un triangle.
Si les points $M$ et $N$ sont des points respectifs des demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ tels que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors :
\[\dfrac{A\textcolor{red}{M}}{A\textcolor{blue}{B}}=\dfrac{A\textcolor{red}{N}}{A\textcolor{blue}{C}}=\dfrac{\textcolor{red}{MN}}{\textcolor{blue}{BC}}\]
Démonstration : Les droites $(BC)$ et $(MN)$ étant parallèles, les angles correspondants $\widehat{ABC}$ et $\widehat{AMN}$ et les angles correspondants $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ANM}$ ont la même mesure.
Ainsi, les triangles $ABC$ et $AMN$ ont leurs angles deux à deux de même mesure (on dit que les deux triangles sont semblables).
Donc le triangle $ABC$ est un agrandissement (ou une réduction) du triangle $AMN$. On obtient donc les longueurs des côtés d’un des triangles en multipliant par un nombre non nul les longueurs des côtés de l’autre triangle. Ceci revient à dire que le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
On peut alors écrire les égalités suivantes :
\[\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\]
Remarques :
- En présence d’une configuration de Thalès, le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
- Le triangle $AMN$ est un agrandissement ou une réduction du triangle $ABC$.
- Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs.
B) Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Exemple : Soit un triangle tel que $AC = 7$ cm, $AB = 2,5$ cm et $BC = 8$ cm.
Soit $M$ un point appartenant au segment $[AB]$ tel que $AM = 1,7$ cm et $N$ le point d’intersection de la droite $(BC)$ avec la parallèle à $(AC)$ passant par $M$.
Calculer $BN$.
$M\in [AB]$
$N\in [BC]$
Les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}\]
\[\dfrac{0,8}{2,5}=\dfrac{BN}{8}=\dfrac{MN}{7}\]
Donc :
\[\dfrac{0,8}{2,5}=\dfrac{BN}{8}\]
Ainsi :
\[BN=\dfrac{0,8\times 8}{2,5}=2,56~\text{cm}\]
C) Justifier que deux droites ne sont pas parallèles
Propriété : $ABC$ est un triangle.
Si les points $M$ et $N$ sont des points respectifs des demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ tels que $\dfrac{A\textcolor{red}{M}}{A\textcolor{blue}{B}}\neq \dfrac{A\textcolor{red}{N}}{A\textcolor{blue}{C}} $ alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.
Exemple : On donne les longueurs suivantes :
$AB = 6,3$ cm ; $BC = 4,9$ cm ; $AE = 17$ cm et $DE = 7$ cm.
Les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
\[
\left.
\begin{array}{ccccc}
\dfrac{AB}{AC}&=&\dfrac{6,3}{11,2}&=&\dfrac{9}{16}\\
\\
\dfrac{AD}{AE}&=&\dfrac{10}{17}&
\end{array}
\right\}\mbox{Donc}~~\dfrac{AB}{AC}\neq \dfrac{AD}{AE}
\]Donc les droites $(BD)$ et $(CE)$ ne sont pas parallèles.
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Chapitre 10 : Les puissances
Chapitre 10
Les puissances
Chapitre 10 : Les puissances
A) Puissance de 10 d’exposant entier positif
Définition : $n$ désigne un nombre entier avec $n\geq 1$. Le produit de $n$ facteurs tous égaux à $10$ se note $10^{n}$.
\[10^{n}=\underbrace{10\times 10\times 10\times …\times 10}_{\text{n fois}}=\underbrace{10…0}_{\text{n zéros}}\]
- $10^{n}$ se lit $10$ exposant $n$ ou $10$ puissance $n$.
- Le nombre $n$ est appelé l’exposant.
Remarque : Par convention : $10^{0}=1$
Exemples :
- $10^{3}=10\times 10\times 10=1~000$
- $10^{7}=10~000~000$
- $10^{1}=10$
B) Puissances de 10 d’exposant entier négatif
Définition : $n$ désigne un nombre entier supérieur ou égal à $1$. Le nombre $10^{-n}$ est l’inverse de $10^{n}$.
Propriété : $n$ désigne un nombre entier supérieur ou égal à $1$.
\[10^{-n}=\dfrac{1}{10^{n}}=\dfrac{1}{\underbrace{10\times 10\times 10\times …\times 10}_{{\text{n fois}}}}=\underbrace{0,0…1}_{\text{n zéros}}\]
Exemples :
- $10^{-3}=0,001$
- $10^{-7}=0,000~000~1$
- $10^{-1}=0,1$
C) Notation scientifique d’un nombre décimal
Définition : La notation scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture de la forme $a\times 10^{n}$ dans laquelle :
- $a$ est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non nul ;
- $n$ est un nombre entier relatif.
Exemples :
- $189~700=1,897~00\times 10^{5}=1,897\times 10^{5}$
- $0,003~94=00~003,94\times 10^{-3}=3,94\times 10^{-3}$
Exemples : Comparer $789,3\times 10^{-5}$ et $0,005~69$.
Notation scientifique de $789,3\times 10^{-5}$ :
\[789,3\times 10^{-5}=7,893\times 10^{2}\times 10^{-5}=7,893\times \dfrac{100}{100~000}=7,893\times \dfrac{1}{1~000}=7,893\times 10^{-3}\]
Notation scientifique de $0,005~69$ :
\[0,005~69=5,69\times 10^{-3}\]
On compare d’abord les exposants des puissances de $10$. Si les exposants sont égaux comme ici, on compare les facteurs placés devant les puissances de $10$.
$7,893>5,69$ donc $789,3\times 10^{-5}>0,005~69$.
D) Les préfixes de nano à giga
Exemples :
- $1~\text{GW}=10^{9}~\text{W}$
- $1~\text{nm}=10^{-9}~\text{m}$
E) Puissances d’un nombre relatif d’exposant positif
Définition : Pour tout nombre relatif $a$ et pour tout nombre entier $n\geq 1$ :
\[\underbrace{a\times a …\times a}_{\text{n fois}}~\text{s’écrit}~a^{n}\]$a^{n}$ se lit $a$ exposant $n$ ou $a$ puissance $n$.
Remarques :
- Par convention : $a^{0}=1$.
- $a^{1}=a$
- $a^{2}$ se lit aussi $a$ au carré.
- $a^{3}$ se lit aussi $a$ au cube.
Exemples :
- $4^{5}=4\times 4\times 4\times 4 \times 4=1~024$
- $(-3)^{4}=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81$
- $-3^{4}=-3\times 3\times 3\times 3=-81$
- $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}=\dfrac{5^{3}}{6^{3}}=\dfrac{5\times 5\times 5}{6\times 6\times 6}=\dfrac{125}{216}$
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Chapitre 9 : Multiplication de nombres rationnels
Chapitre 9
Multiplication de nombres rationnels
Chapitre 9 : Multiplication de nombres rationnels
A) Multiplier deux nombres rationnels
Règle : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire :
- on multiplie les numérateurs entre eux ;
- on multiplie les dénominateurs entre eux.
$a$, $b$, $c$ et $d$ représentent quatre nombres décimaux, avec $c\neq 0$ et $d\neq 0$ :
\[\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{c}}\times \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{d}}=\dfrac{\textcolor{blue}{a\times b}}{\textcolor{red}{c\times d}}\]
Démonstration à partir d’un exemple :
Par définition du quotient de deux nombres :
\[5\times \dfrac{4}{5}=4~~\text{et}~~3\times \dfrac{2}{3}=2\]$\dfrac{4\times 2}{5\times 3}$ est le nombre qui multiplié par $5\times 3$ donne $4\times 2$ :
$(5\times 3)\times \dfrac{4\times 2}{5\times 3}=4\times 2$
Or $(5\times 3)\times (\dfrac{4}{5}\times \dfrac{2}{3})=(5\times \dfrac{4}{5})\times (3\times \dfrac{2}{3})=4\times 2$.
Ainsi :
$\dfrac{4}{5}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{4\times 2}{5\times 3}$
Exemples :
- \[\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{2\times 4}{3\times 5}=\dfrac{8}{15}\]
- \[\dfrac{4,2}{7}\times \dfrac{3}{1,2}=\dfrac{4,2\times 3}{7\times 1,2}=\dfrac{12,6}{8,4}\]
- \[2\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{\textcolor{red}{1}}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2\times 4}{1\times 3}=\dfrac{8}{3}\]
Exemple : Il est parfois utile de simplifier les fractions avant de se lancer dans les calculs.
\[\dfrac{25}{40}\times \dfrac{16}{20}=\dfrac{25\times 16}{40\times 20}=\dfrac{5\times 5\times 8\times 2}{8\times 5\times 5\times 4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\]
B) Prendre une fraction d’une quantité
Règle : Pour prendre une fraction d’une quantité, on multiplie cette fraction par cette quantité.
Exemple : Un triathlon se présente sous la forme d’un parcours de $20~\text{km}$ partagé en trois parties :
- natation pendant $\dfrac{1}{20}$ du parcours ;
- vélo pendant $\dfrac{3}{4}$ du parcours ;
- course à pied pendant le reste du parcours.
- Calculer la distance parcourue à la nage.
On calcule $\dfrac{1}{20}$ de $20~\text{km}$ :
$\dfrac{1}{20}\times 20~\text{km}=\dfrac{1\times 20~\text{km}}{20}=\dfrac{20~\text{km}}{20}=1~\text{km}~~(\text{ou}~~\dfrac{1}{20}\times 20~\text{km}=0,05\times 20~\text{km}=1~\text{km})$
On nage donc pendant $1~\text{km}$.
2. Calculer la distance parcourue à vélo.
On calcule $\dfrac{3}{4}$ de $20~\text{km}$ :
$\dfrac{3}{4}\times 20~\text{km}=\dfrac{3\times 20~\text{km}}{4}=\dfrac{60~\text{km}}{4}=15~\text{km}$
On pédale donc pendant $15~\text{km}$.
3. En déduire la distance parcourue en courant.
$20~\text{km}-1~\text{km}-15~\text{km}=4~\text{km}$
On court donc pendant $4~\text{km}$.
C) Enchaînement d’opérations
Il faut évidemment respecter les priorités opératoires pour calculer des expressions avec des nombres en écriture fractionnaire.
Exemples : Calculer les expressions suivantes :
\begin{eqnarray*}
A&=&\dfrac{7}{4}-\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}\times \dfrac{3}{2}}\\
A&=&\dfrac{7}{4}-\dfrac{9}{8}\\
A&=&\dfrac{7\textcolor{red}{\times 2}}{4\textcolor{red}{\times 2}}-\dfrac{9}{8}\\
A&=&\dfrac{14}{8}-\dfrac{9}{8}\\
A&=&\dfrac{5}{8}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&\left(\textcolor{red}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{4}}\right) \times \dfrac{3}{5}\\
B&=&\left(\dfrac{5\textcolor{red}{\times 2}}{6\textcolor{red}{\times 2}}+\dfrac{7\textcolor{red}{\times 3}}{4\textcolor{red}{\times 3}}\right)\times \dfrac{3}{5}\\
B&=&\left(\dfrac{10}{12}+\dfrac{21}{12}\right)\times \dfrac{3}{5}\\
B&=&\dfrac{31}{12}\times \dfrac{3}{5}\\
B&=&\dfrac{93}{60}\\
B&=&\dfrac{93\div 3}{60\div 3}\\
B&=&\dfrac{31}{20}
\end{eqnarray*}
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Chapitre 8 : La réciproque du théorème de Pythagore
Chapitre 8
Réciproque du théorème de Pythagore
Chapitre 8 : Réciproque du théorème de Pythagore
Propriété (Réciproque du théorème de Pythagore) : Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Remarque : Cette propriété permet de prouver qu’un triangle est rectangle ou non.
Exemple : Le triangle $I JK$ est-il rectangle ?
$$
\left.
\begin{array}
~IK^{2}=17^{2}=289 \\
IJ^{2}+JK^{2}=8^{2}+15^{2}=64+225=289
\end{array}
\right \} ~\text{Donc}~IK^{2}=IJ^{2}+JK^{2}
$$
Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $IJK$ est rectangle en $J$.
Propriété : Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.
Exemple : Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?
$$
\left.
\begin{array}
~AC^{2}=6^{2}=36 \\
AB^{2}+BC^{2}=5^{2}+3^{2}=25+9=34
\end{array}
\right \} ~\text{Donc}~AC^{2}\neq AB^{2}+BC^{2}
$$
Ainsi, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ n’est pas rectangle en $B$.
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Chapitre 7 : Les nombres premiers
Chapitre 7
Nombres premiers
Chapitre 7 : Les nombres premiers
A) Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
- $12$ n’est pas un nombre premier car il est divisible par :
$1~-~2~-~3~-~4~-~6~-~12$
- $1$ n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.
- $0$ n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non-nul.
- Liste des nombres premiers inférieurs à $100$ :
$2~-~3~-~5~-~7~-~11~-~13~-~17~-~19~-~23~-~29~-~31~-~37~-~41~-~43~-~47~-~53~-~59~-~61~-~71~-~73~-~79~-~83~-~89~-~97$
B) Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à $2$ se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près.
Exemple : Décomposition de $90$ en produit de facteurs premiers.
- 1ère Méthode : on cherche les diviseurs premiers de $90$ dans l’ordre croissant.
\begin{eqnarray*}
90&=&2\times 45\\
90&=&2\times 3\times 15\\
90&=&2\times 3\times 3\times 5\\
90&=&2\times 3^{2}\times 5
\end{eqnarray*} - 2ème Méthode : on écrit d’abord un produit quelconque de $90$.
\begin{eqnarray*}
90&=&9\times 10\\
90&=&3\times 3\times 2\times 5\\
90&=&2\times 3\times 3\times 5\\
90&=&2\times 3^{2}\times 5
\end{eqnarray*}
Exemple : Simplifier la fraction $\dfrac{75}{90}$ en utilisant les décompositions en produit de facteurs premiers de $75$ et de $90$.
Décomposition de $75$ en produit de facteurs premiers :
\[75=15\times 5=3\times 5\times 5=3\times 5^{2}\]
Ainsi :
\[\dfrac{75}{90}=\dfrac{3\times 5\times 5}{2\times 3\times 3\times 5}=\dfrac{5}{2\times 3}=\dfrac{5}{6}\]
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Chapitre 6 : La proportionnalité
Chapitre 6
La proportionnalité
Chapitre 6 : La proportionnalité
A) Calculer une quatrième proportionnelle
Vocabulaire : Dans un tableau de proportionnalité, lorsqu’on connaît trois nombres non nuls, on peut calculer le quatrième nombre manquant. Ce nombre manquant est appelé une quatrième proportionnelle.
Propriété : Le tableau ci-dessous représente une situation de proportionnalité.
On peut alors écrire l’égalité des produits en croix :
\[\textcolor{red}{a}\times \textcolor{red}{d}=\textcolor{blue}{b}\times \textcolor{blue}{c}\]
On peut alors écrire l’égalité des produits en croix :
\[\textcolor{red}{a}\times \textcolor{red}{d}=\textcolor{blue}{b}\times \textcolor{blue}{c}\] Démonstration : Ce tableau est un tableau de proportionnalité donc les quotients $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont égaux.
Ainsi,
\[\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\]Donc :
\[\dfrac{a\times d}{b\times d}=\dfrac{c\times b}{d\times b}\]Ces deux fractions ont des dénominateurs égaux, donc leurs numérateurs sont également égaux :
\[a\times d=b\times c\]
Exemples : $4$ kg de cerises coûtent $11,20$ euros. Combien coûtent $5$ kg de cerises ?
\begin{eqnarray*}
4\times x&=&5\times 11,20\\
x&=&\dfrac{5\times 11,20}{4}\\
x&=&14
\end{eqnarray*}
$5$ kg de cerises coûtent $14$ euros.
B) Reconnaître un graphique représentant une situation de proportionnalité
Propriété (admise) : Une situation représentée par des points alignés avec l’origine du repère est équivalente à une situation de proportionnalité.
Exemples : Le(s)quel(s) de ces trois graphiques représentent une situation de proportionnalité ?
- Cas 1 : Les points sont alignés avec l’origine du repère donc c’est une situation de proportionnalité.
- Cas 2 : Les points sont alignés mais pas avec l’origine du repère donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.
- Cas 3 : Les points ne sont pas alignés donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.
C) Appliquer ou calculer un pourcentage
Propriété : $p$ désigne un nombre. Calculer $p\%$ d’une quantité c’est multiplier cette quantité par $\dfrac{p}{100}$.
Exemple : Calculer $30 \%$ de $50~\text{L}$.
\[\dfrac{30}{100}\times 50~\text{L}=0,30\times 50~\text{L}=15~\text{L}\]
$30 \%$ de $50~\text{L}$ c’est donc $15~\text{L}$.
Méthode : Calculer un pourcentage revient à écrire une proportion de dénominateur 100.
Exemple : $7$ élèves sur $28$ sont gauchers. Quel est le pourcentage de gauchers ?
\begin{eqnarray*}
\dfrac{7}{28}&=&\dfrac{x}{100}\\
x&=&\dfrac{7\times 100}{28}\\
x&=&25
\end{eqnarray*}
Donc $25\%$ de ces élèves sont gauchers.
D) Agrandissement-réduction
Définition : Agrandir ou réduire une figure, c’est construire une figure de même forme en multipliant les longueurs de la figure initiale par un nombre $k$ strictement positif.
Vocabulaire : On dit que $k$ est le rapport (ou coefficient) d’agrandissement ou de réduction.
- Si $k>1$, il s’agit d’un agrandissement.
- Si $0<k<1$, il s’agit d’une réduction.
Propriétés : Dans un agrandissement ou une réduction, de rapport $k$ :
- les longueurs sont toutes multipliées par $k$ ;
- les mesures des angles sont conservées.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est un agrandissement du triangle $ABC$. Les longueurs ont été multipliées par $1,5$.
En effet :
\[3~\text{cm}\textcolor{red}{\times 1,5}=4,5~\text{cm}~~~~4~\text{cm}\textcolor{red}{\times 1,5}=6~\text{cm}~~~~5~\text{cm}\textcolor{red}{\times 1,5}=7,5~\text{cm}\]
La mesure des angles est en revanche conservée.
Propriétés : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :
- l’aire d’une surface est multipliée par $k^{2}$ ;
- le volume d’un solide est multiplié par $k^{3}$.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le 2ème pavé droit est un agrandissement du 1er pavé droit de coefficient $2$.
Or :
\[V_{\text{pavé droit 1}}=1~\text{cm}\times 1~\text{cm}\times 2~\text{cm}=2~\text{cm}^{3}\]\[V_{\text{pavé droit 2}}=2~\text{cm}\times 2~\text{cm}\times 4~\text{cm}=16~\text{cm}^{3}\]
Le volume a été multiplié par $2^{3}=8$.
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Chapitre 5 : Pyramide
Chapitre 5
Pyramide et volume
Chapitre 5 : Pyramide et volume
A) Représentation en perspective cavalière et patron
Définition : Une pyramide est un solide dont :
- une face est un polygone, appelée base ;
- les autres faces sont des triangles qui ont un sommet commun appelé le sommet de la pyramide. Ces faces sont
les faces latérales de la pyramide ; - la hauteur d’une pyramide de sommet S est le segment [SH] perpendiculaire à la base.
Exemple : La pyramide SABCDE :
Exemple : Un patron d’une pyramide régulière :
B) Volume d’une pyramide régulière
Propriété : Le volume d’une pyramide est donnée par la formule :
\[V=\dfrac{A_{base}\times hauteur}{3}\]
Exemple : Calculer le volume de la pyramide ci-dessous :
\[V=\dfrac{6~\text{cm}\times 4~\text{cm}\times 5~\text{cm}}{3}=40~\text{cm}^{3}\]
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Chapitre 4 : Probabilités
Chapitre 4
Probabilités
Chapitre 4 : Probabilités
A) Notion d’événement
Définition : Un événement est constitué par certaines issues d’une expérience aléatoire. On dit que chacune de ces issues réalise l’événement.
Exemple : On fait tourner la roue de loterie ci-dessous pour gagner un lot.
Les issues de l’expérience sont : gagner une casquette, gagner des bonbons, gagner un jouet, gagner un T-shirt.
L’événement A : « Gagner un vêtement » est constitué de deux issues : gagner une casquette et gagner un T-shirt.
B) Probabilité d’un événement
Définition : La probabilité d’un événement est égale au quotient de nombre d’issues favorables (issues dans lesquelles on obtient le résultat) par le nombre total d’issues possibles.
Propriétés :
- La probabilité d’un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$.
- La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à $1$.
Exemple : On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes. La probabilité de l’événement « La carte tiré est un Coeur » est $\dfrac{8}{32}$. En effet, il y a $8$ coeurs sur $32$ cartes au total.
Remarques : Une probabilité peut s’exprimer sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).
Propriétés :
- La probabilité d’un événement qui se produit nécessairement (événement certain) est égale à $1$.
- La probabilité d’un événement qui ne peut pas se produire (événement impossible) est égale à $0$.
C) Événements incompatibles et événements contraires
Définition : Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Exemple : On imagine qu’un tireur tire parfaitement au hasard sur la cible ci-contre, sans jamais la rater. Tous les carrés sont concentriques et leurs côtés ont pour mesure $a$, $2a$ et $3a$.
Quelle est la probabilité pour qu’il gagne au moins $5$ points?
La probabilité relative à une région est le rapport de son aire à celle de la cible.
Pour calculer la probabilité qu’il gagne au moins $5$ points, on peut calculer la probabilité des événements incompatibles « gagner $5$ points » et « gagner $10$ points » :
La probabilité relative à une région est le rapport de son aire à celle de la cible.
Pour calculer la probabilité qu’il gagne au moins $5$ points, on peut calculer la probabilité des événements incompatibles « gagner $5$ points » et « gagner $10$ points » :
- Probabilité de gagner $5$ points : \[\dfrac{2a\times 2a-a\times a}{3a\times 3a}=\dfrac{4a^{2}-a^{2}}{9a^{2}}=\dfrac{3a^{2}}{9a^{2}}=\dfrac{3}{9}\]
- Probabilité de gagner $10$ points : \[\dfrac{a\times a}{3a\times 3a}=\dfrac{a^{2}}{9a^{2}}=\dfrac{1}{9}\]
- De manière intuitive, on additionne les probabilités précédentes pour obtenir la probabilité de gagner au moins $5$ points : \[\dfrac{3}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{9}\]
Propriété : Si deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités.
Définition : L’événement contraire d’un événement est celui qui se réalise lorsque l’événement n’a pas lieu.
Propriété : La somme d’un événement et de son contraire est égale à $1$.
Démonstration : Un événement et son contraire sont incompatibles et la réalisation de l’un ou de l’autre est certaine. Donc la somme de leur probabilité est égale à 1.
Exemple : Retour à l’exemple précédent.
N’y a-t-il pas un moyen plus rapide de calculer la probabilité que le joueur gagne au moins $5$ points ?
On peut calculer l’événement contraire de « gagner au moins $5$ points » c’est à dire « gagner $1$ point » :
\[\dfrac{3a\times 3a-2a\times 2a}{3a\times 3a}=\dfrac{9a^{2}-4a^{2}}{9a^{2}}=\dfrac{5}{9}\]
La somme de ces $2$ événements contraires étant égale à $1$, on en déduit :
\[\dfrac{5}{9}+?=1~(\text{ou}~\dfrac{9}{9})\]
La probabilité que le joueur gagne au moins $5$ points est de $\dfrac{4}{9}$.
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Chapitre 3 : La simple distributivité
Chapitre 3
La simple distributivé
Chapitre 3 : La simple distributivité
A) La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Propriété (admise) : $k$, $a$, $b$ sont des nombres relatifs quelconques :
$\textcolor{red}{k} \times (a+b)=\textcolor{red}{k}\times a + \textcolor{red}{k}\times b$
Propriété : $k$, $a$, $b$ sont des nombres relatifs quelconques :
$\textcolor{red}{k} \times (a-b)=\textcolor{red}{k}\times a~-~\textcolor{red}{k}\times b$
Démonstration :
$k\times (a-b)=k\times (a+(-b))=k\times a+k\times (-b)=k\times a-k\times b$
Vocabulaire : On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition ou à la soustraction.
B) Développer
Définition : Développer une expression, c’est transformer une expression écrite sous la forme d’un produit en une expression écrite sous la forme d’une somme (ou d’une différence) en appliquant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (ou à la soustraction).
Exemples :
$A=3\textcolor{red}{\times} (6+x)~~~~(\text{A est le produit de 3 par la somme de 6 et de $x$})$
$A=3\times 6+3\times x$
$A=18\textcolor{red}{+}3x~~~~(\text{A est la somme de 18 et du produit de 3 par $x$})$
$B=x\textcolor{red}{\times }(4-x)~~~~(\text{B est le produit de $x$ par la différence de 4 et de $x$})$
$B=x\times 4-x\times x$
$B=4x\textcolor{red}{-}x^{2}~~~~(\text{B est la différence de $4x$ et de $x^{2}$})$
C) Factoriser
Définition : Factoriser une expression, c’est transformer une expression écrite sous la forme d’une somme en une expression écrite sous la forme d’un produit en appliquant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Vocabulaire : On dit que $k$ est un facteur commun aux termes $ka$ et $kb$.
Exemples :
$A=12\textcolor{red}{-}6x~~~~(\text{A est la différence de 12 et de $6x$.})$
$A=\textcolor{red}{6}\times 2-\textcolor{red}{6}\times x\\~~~~(\text{6 est le facteur commun.})$
$A=\textcolor{red}{6}\textcolor{red}{\times} (2-x)~~~~(\text{A est le produit de 6 par la différence de 2 et de $x$.})$
$B=2x\textcolor{red}{+}3x^{2}~~~~(\text{B est la somme de $2x$ et de $3x^{2}$.})$
$B=2\times \textcolor{red}{x}+3x\times \textcolor{red}{x}~~~~(\text{$x$ est le facteur commun.})$
$B=\textcolor{red}{x}\textcolor{red}{\times} (2+3x)~~~~(\text{B est le produit de $x$ par la somme de 2 et de $3x$.})$
Remarque : La factorisation peut permettre de démontrer une propriété.
Exemple : Prouver que la somme de deux nombres pairs quelconque est un nombre pair.
Soit deux nombres pair $2n$ et $2p$.
$2n+2p=2(n+p)$.
Or $2(n+p)$ est un nombre pair donc on a prouvé que la propriété est vraie quelque soit les nombres pairs choisis au départ.
D) Réduire une expression littérale
Définition : Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous la forme la plus simple possible en effectuant des calculs.
Exemples :
\begin{eqnarray*}
A&=&2x+1,3x\\
A&=&(2+1,3)x\\
A&=&3,3x
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&4x^{2}-7x^{2}+2x+4+3x+7\\
B&=&(4-7)x^{2}+(2+3)x+7+4\\
B&=&-3x^{2}+5x+11
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
C&=&-5x(2x-3)+7x\\
C&=&-5x\times 2x- (-5x)\times 3+7x\\
C&=&-10x^{2}-(-15x)+7x\\
C&=&-10x^{2}+15x+7x\\
C&=&-10x^{2}+22x
\end{eqnarray*}
Exemples (cas particuliers) :
\begin{eqnarray*}
A&=&3x\textcolor{red}{+}(8x-7)\\
A&=&3x+1\times (8x-7)\\
A&=&3x+1\times 8x-1\times 7\\
A&=&3x+8x-7\\
A&=&11x-7
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&12x\textcolor{red}{-}(4x+5)\\
B&=&12x+(-1)\times (4x+5)\\
B&=&12x+(-1)\times 4x+(-1)\times 5\\
B&=&12x+(-4x)+(-5)\\
B&=&8x-5
\end{eqnarray*}
Remarque : Réduire une expression peut permettre de prouver que deux expressions sont équivalentes.
Exemple : Les programmes de calcul ci-dessous sont-ils équivalents ?
Programme 1
- Choisir un nombre
- Ajouter 7
- Multiplier le résultat par 2.
Programme 2
- Choisir un nombre
- Multiplier le résultat par 3
- Ajouter 17
- Retrancher 3
- Retrancher le nombre de départ
Choisissons $x$ pour remplacer le nombre de départ :
Programme 1
- $x$
- $x+7$
- $2\times (x+7)$
Programme 2
- $x$
- $3\times x$
- $3x+17$
- $3x+17-3=3x+14$
- $3x+14-x=2x+14$
$2\times (x+7)=2\times x+2\times 7=2x+14$.
Le résultat de ces deux programmes est donc identique pour n’importe quelle valeur de $x$. Donc ces deux programmes de calcul sont équivalents.
Chapitre 3 : La simple distributivité Read More »
Chapitre 2 : Le théorème de Pythagore
Chapitre 2
Le théorème de Pythagore
Chapitre 2 : Le théorème de Pythagore
A) Racine carré d’un nombre positif
Définition : $a$ désigne un nombre positif. La racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré est $a$. Ce nombre est notée $\sqrt{a}$ (lire « racine carrée de $a$ ».)
Ainsi,
\[\sqrt{a}>0~~~et~~~\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a\]
Exemple : Quelques carrés parfaits à connaître :
Donc $\sqrt{0}=0$ ; $\sqrt{1}=1$ ; $\sqrt{9}=3$ ; $\sqrt{16}=4$ ; $\sqrt{25}=5$…
Remarque : Il n’existe pas de nombre entier positif dont le carré vaut $27$. Or :
\[5^{2}\leq 27\leq 6^{2}\]Donc $\sqrt{27}$ est comprise entre $5$ et $6$. Pour obtenir une valeur approchée de $\sqrt{27}$, on utilise la calculatrice :
$\sqrt{27}\approx 5,2$.
B) L'égalité de Pythagore
Propriété : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Exemple :
L’égalité de Pythagore : $\text{AC}^{2}=\text{AB}^{2}+\text{BC}^{2}$
Vocabulaire : Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est le plus grand côté du triangle.
Démonstration :
Le quadrilatère $MNOP$ est un losange car il a 4 côtés de même longueur. De plus, la somme des mesures des deux angles aigus d’un triangle rectangle est égale à $90°$. Donc :
$\widehat{\text{DOP}}+\widehat{\text{DPO}}=\widehat{\text{DOP}}+\widehat{\text{CON}}
=90°$.
Ainsi, $\widehat{\text{PON}}=\widehat{\text{DOC}}-90°=180°-90°=90°$.
Le quadrilatère $MNOP$ est un losange possédant un angle droit, c’est donc un carré.
Le quadrilatère $ABCD$ est un carré car il a 4 angles droits et 4 côté de même longueur.
On construit maintenant un quadrilatère $EFGH$ en y replaçant les 4 triangles rectangles.
Le quadrilatère $EFGH$ a 4 côtés de même longueur donc c’est un losange. De plus, il possède un angle droit donc c’est un carré.
Les deux quadrilatères $ABCD$ et $EFGH$ sont deux carrés dont les côtés ont la même longueur, ils ont donc la même aire. Ainsi : $A_{\text{ABCD}}=A_{\text{EFGH}}$.
En observant les deux carrés, on en déduit que l’aire du carré rouge est égale à la somme de l’aire du carré bleu et de l’aire du carré orange. Ainsi :
\begin{eqnarray*}
A_{\text{carré rouge}}&=&A_{\text{carré bleu}}+A_{\text{carré orange}}\\
\text{c}^{2}&=&\text{b}^{2}+\text{a}^{2}
\end{eqnarray*}
Remarque : Ce théorème permet de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle connaissant les deux autres.
C) Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle
Exemple : Le triangle $ABC$ ci-dessous est rectangle en $A$. Calculer la longueur $BC$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
D’après le théorème de Pythagore :
\begin{eqnarray*}
\text{BC}^{2}&=&\text{AC}^{2}+\text{AB}^{2}\\
\text{BC}^{2}&=&4^{2}+3^{2}\\
\text{BC}^{2}&=&16+9\\
\text{BC}^{2}&=&25\\
\text{BC}&=&\sqrt{25}\\
\text{BC}&=&5~\text{cm}
\end{eqnarray*}
Exemple : Le triangle $DEF$ ci-dessous est rectangle en $E$. Calculer la longueur $EF$.
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$.
D’après le théorème de Pythagore :
\begin{eqnarray*}
\text{DF}^{2}&=&\text{ED}^{2}+\text{EF}^{2}\\
8^{2}&=&3^{2}+\text{EF}^{2}\\
64&=&9+\text{EF}^{2}\\
\text{EF}^{2}&=&64-9\\
\text{EF}^{2}&=&55\\
\text{EF}&=&\sqrt{55}\\
\text{EF}&\approx &7,4~\text{cm}
\end{eqnarray*}
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Chapitre 1 : multiplication et division de nombres relatifs
Chapitre 1
Multiplication et division de nombres relatifs
Chapitre 1 : Multiplication et division de nombres relatifs
A) Rappels : addition et soustraction de nombres relatifs
Règle : La somme de deux nombres relatifs de même signe :
- a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
- a pour distance à zéro la somme des distances à zéro.
Exemples :
\[10,1+9,9=20\]
\[-3,7+(-2,3)=-6\]
Règle : La somme de deux nombres relatifs de signes contraires :
- a pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
- a pour distance à zéro la différence des distances à zéro.
Exemples :
\[7+(-2)=5\]
\[-4+7,2=3,2\]
Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on peut ajouter son opposé.
Exemples :
\[4-7=4+(-7)=-3\]
\[12-(-4)=12+4=16\]
\[-9-5=-9+(-5)=-14\]
Exemples :
On calcule de gauche à droite :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&2-8-(-12)\\
A&=&-6-(-12)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}
On écrit A avec des additions uniquement :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&-7+9+(-8)+12\\
A&=&9+12+(-7)+(-8)\\
A&=&21+(-15)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}
B) Multiplication de nombres relatifs
Règle : Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro et on applique la règle des signes suivante :
- le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif ;
- le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Démonstration à partir d’un exemple :
On va démontrer que $(-5)\times (-3)=15$.
$(-5)\times (-3)+(-5)\times 3=(-5)\times [(-3)+3]=(-5)\times 0=0$.
Ainsi $(-5)\times 3$ est l’opposé de $(-5)\times (-3)$.
Donc $(-5)\times (-3)=15$. (Car l’opposé de $-15$ est $15$).
Exemples :
- $5,2\times 10=52$ (Le produit est positif)
- $(-6)\times (-4,3)=25,8$ (Le produit est positif)
- $(-5,2)\times 10=-52$ (Le produit est négatif)
- $6\times (-7)=-42$ (Le produit est négatif)
Règle : Quand on multiplie un nombre par $(−1)$ on obtient son opposé.
Démonstration :
$x\times (-1)+x=x\times (-1)+x\times 1=x\times [(-1)+1]=x\times 0=0$
Ainsi $x\times (-1)$ est bien l’opposé de $x$.
Exemples :
- $(-1)\times 5,8=-5,8$
- $(-1)\times (-8)=8$
Règle : Un produit de nombres relatifs est :
- positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ;
- négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.
Exemples :
- $(\textcolor{red}{-0,2})\times 5\times (\textcolor{red}{-3})\times (\textcolor{red}{-4})\times (\textcolor{red}{-0,5})=6$ (Il y a $\textcolor{red}{4}$ facteurs négatifs donc le produit est positif).
- $(\textcolor{red}{-3})\times 2\times (\textcolor{red}{-5})\times 4\times (\textcolor{red}{-10})=-1~200$ (Il y a $\textcolor{red}{3}$ facteurs négatifs donc le produit est négatif).
C) Division de deux nombres relatifs
Règle : Pour calculer le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise leurs distances à zéro et
on applique la règle des signes du produit.
Exemples :
- $56\div (-7)=-8$
- $\dfrac{-56}{-7}=(-56)\div (-7)=8$
- $(-56)\div 7=-8$
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Sujet et corrigé du brevet blanc de mathématiques de janvier 2023
Sujet et corrigé du brevet blanc de mathématiques
Janvier 2023
Le sujet de brevet mathématiques de janvier 2023 proposait aux élèves du collège 7 exercices traitant de différents chapitres vus depuis le début de l’année de 3ème :
- Tout d’abord, l’exercice 1 est un exercice sur la notion de fonction ;
- Ensuite, l’exercice 2 propose un questionnaire à choix multiples ;
- l’exercice 3 traite des données statistiques et de calculs d’aire et de volume ;
- Après cela, l’exercice 4 permet de travailler les transformations du plan ;
- l’exercice 5 traite de la notion de nombres premiers ;
- l’exercice 6 est un programme de calcul en lien avec un script écrit en langage Scratch ;
- Enfin, l’exercice 7 fait intervenir le théorème de Pythagore et des calculs de périmètre d’aire et de volume.
Ci-dessous, retrouvez au format pdf à télécharger librement :
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Sujet et corrigé du brevet de mathématiques Métropole juin 2022
Sujet et corrigé du brevet de mathématiques
Métropole juin 2022
Le sujet de brevet mathématiques Métropole de juin 2022 proposait aux élèves 5 exercices indépendants les uns des autres. L’épreuve était notée sur 100 et l’usage de la calculatrice autorisé. Toute trace de recherche même incomplète était prise en compte dans l’évaluation de la copie.
L’exercice 1 est un exercice de géométrie utilisant le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et la notion de vitesse.
L’exercice 2 est un questionnaire à choix multiple.
L’exercice 3 est un problème de partage faisant intervenir la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers et la notion de diviseurs communs
L’exercice 4 mélange calcul littéral et algorithmique (Scratch).
L’exercice 5 est un problème consommation d’eau faisant intervenir des calculs de volume et des conversions entre unités de volume et de capacité.
Ci-dessous, retrouvez au format pdf à télécharger librement :
Le sujet brevet maths Métropole de juin 2022.
Le corrigé brevet de mathématiques Métropole de juin 2022.
Retrouvez également le sujet et la correction du sujet du brevet blanc de mathématiques de d’avril 2022.
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Chapitre 22 : Le cylindre de révolution
Chapitre 22
Le cylindre
Chapitre 22 : Le cylindre
A) Représentation en perspective cavalière et patron
Définition : Un cylindre de révolution est un solide constitué de :
- deux disques superposables, appelés bases du cylindre ;
- une surface latérale qui peut être déroulée en un rectangle.
Définition : La hauteur d’un cylindre est la longueur du segment qui joint les centres des bases.
Exemple :
Exemple : Un patron d’un cylindre de révolution :
B) Volume d'un cylindre
Propriété : Le volume d’un cylindre est donné par la formule :
\[V=A_{base}\times \text{hauteur}=\pi\times R^{2}\times h\]
Exemple : Calcul, en $\text{cm}^{3}$ et au dixième près, du volume du cylindre ci-dessous :
\[V=\pi\times R^{2}\times h=\pi\times (4~\text{cm})^{2}\times 8~\text{cm}=128\pi\approx 402,1~\text{cm}^{3} \]
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Sujet et corrigé du brevet de mathématiques Centres étrangers juin 2022
Sujet et corrigé du brevet de mathématiques
Centres étrangers juin 2022
Le sujet de brevet mathématiques Centres étrangers de juin 2022 proposait aux élèves 5 exercices indépendants les uns des autres. L’épreuve était notée sur 100 et l’usage de la calculatrice autorisé. Toute trace de recherche même incomplète était prise en compte dans l’évaluation de la copie.
L’exercice 1 est un questionnaire à choix multiple.
L’exercice 2 traite des statistiques (moyenne, étendue, médiane).
L’exercice 3 est un exercice de géométrie utilisant la trigonométrie, le théorème de Pythagore, la réciproque du théorème de Thalès…
L’exercice 4 revient sur la notion d’algorithmique (Scratch).
L’exercice 5 est un problème de partage faisant intervenir la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers, la notion de diviseurs communs et des calculs de volume.
Ci-dessous, retrouvez au format pdf à télécharger librement :
Le sujet brevet maths Centres étrangers de juin 2022.
Le corrigé brevet de mathématiques Centres étrangers de juin 2022.
Retrouvez également le sujet et la correction du sujet du brevet blanc de mathématiques de d’avril 2022.
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Sujet et correction du brevet de mathématiques Amérique du Nord juin 2022
Sujet et correction du brevet de mathématiques Amérique du Nord juin 2022
Le sujet de brevet mathématiques Amériques du Nord de juin 2022 proposait aux élèves 5 exercices indépendants les uns des autres. L’épreuve était notée sur 100 et l’usage de la calculatrice autorisé. Toute trace de recherche même incomplète était prise en compte dans l’évaluation de la copie.
L’exercice 1 propose un problème de géométrie dans lequel il faut utiliser le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et la trigonométrie.
L’exercice 2 est un questionnaire à choix multiple.
L’exercice 3 traite des statistiques (moyenne, étendue, médiane).
L’exercice 4 revient sur la notion d’algorithmique (Scratch).
L’exercice 5 est composé d’un programme de calcul que l’on va associer à une expression littérale.
Ci-dessous, retrouvez au format pdf à télécharger librement :
Le sujet brevet maths Amériques du Nord de juin 2022. (APMEP)
Le corrigé brevet maths Amériques du Nord de juin 2022.
Retrouvez également le sujet et la correction du sujet du brevet blanc de mathématiques de d’avril 2022.
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Chapitre 21 : Les échelles
Chapitre 21
Les échelles
Chapitre 21 : Les échelles
Définition : L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité:
\[\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}\]
Exemple : Sur une carte à l’échelle $\dfrac{1}{1~000}$, $1~\text{cm}$ sur la carte représente $1~000~\text{cm}$ dans la réalité, c’est à dire $10~\text{m}$.
$4,2~\text{cm}$ sur la carte représentent dans la réalité $4,2\times \times 10~\text{m}=42~\text{m}$.
Exemple : Sur un plan, un appartement est représenté par un carré de côté $10~\text{cm}$. La longueur réelle du côté du carré est de $9~\text{m}$. Calculer l’échelle de ce plan.
L’échelle peut s’écrire sous la forme d’une fraction de numérateur $1$. On cherche donc son dénominateur. Pour calculer son dénominateur, on divise la distance réelle par la distance représentée sur le plan, exprimée dans la même unité :
\[\dfrac{9~\text{m}}{10~\text{cm}}=\dfrac{900~\text{cm}}{10~\text{cm}}=90\]Ainsi, l’échelle de ce plan égale à $\dfrac{1}{90}$.
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Chapitre 20 : Ratio
Chapitre 20
Ratio
Chapitre 20 : Ratio
Exemple : Une poche de bonbons est partagée entre Maroi et Esteban dans un ratio $3 : 4$ (lire « trois pour quatre»). Cela veut dire que Maroi reçoit $3$ bonbons quand Esteban en reçoit $4$. C’est un partage inégal. Pour une poche contenant $21$ bonbons, représentons les tours de distribution :
Maroi reçoit donc neuf bonbons quand Esteban en reçoit douze. La quantité de bonbons de Maroi partagée en $3$ est
égale à la quantité de bonbons d’Esteban partagée en $4$.
Définitions :
- On dit que deux nombres a et b sont dans le ratio $3:4$ si :
\[\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}\]
- On dit que trois nombres a, b et c sont dans le ratio $2:3:7$ si :
\[\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{7}\]
Remarque : un ratio permet de parler des proportions de deux ou trois quantités les unes par rapports aux autres. Notre premier exemple pourrait se traduire aussi par : Maroi a reçu $\dfrac{3}{7}$ des bonbons et Esteban en a reçu $\dfrac{4}{7}$ (le dénominateur a été obtenu en ajoutant le nombre de parts de Maroi et le nombre de parts d’Esteban). Chacune de ces fractions permet de comparer une partie à la
totalité, ce ne sont pas des ratios.
Remarque : En France, on dit que le sexe-ratio est de $105:100$ parce qu’il naît environ $105$ garçons pour $100$ filles.
Exemple : Comment partager $48$ macarons entre Simon et Mandy dans le ratio $5:11$ ?
D’après le schéma ci-dessus, $1$ brique unité vaut :
\[48~\text{macarons}\div 16=3~\text{macarons}\]Donc Simon recevra :
\[3~\text{macarons} \times 5=15~\text{macarons}\]Mandy recevra :
\[3~\text{macarons} \times 11=33~\text{macarons}\]
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