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Cours de mathématiques de 4ème

De nouvelles vidéos pédagogiques !

Depuis toujours, j’aime partager mes cours de mathématiques de manière gratuite et libre. Aujourd’hui, j’ai décidé d’aller encore plus loin dans cette aventure en me lançant officiellement sur les réseaux sociaux avec des vidéos pédagogiques sur YouTube et TikTok !

L’objectif est de proposer des contenus courts, efficaces et accessibles à tous :

  • explications de notions mathématiques ;

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Cette nouvelle étape est très motivante et j’ai hâte de partager tout cela avec vous. Merci à toutes celles et ceux qui me suivent déjà et bienvenue aux nouveaux abonnés !

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Ouverture des premiers parcours Moodle

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Parcours Moodle

Ouverture aux visiteurs anonymes

Cours de mathématiques de 4ème

Moodle est une plateforme d’apprentissage en ligne qui permet aux élèves de travailler les mathématiques de façon organisée et interactive. Grâce à cet espace numérique, ils peuvent accéder facilement aux cours, aux vidéos explicatives, aux exercices, aux quiz et aux devoirs à tout moment. Moodle favorise l’autonomie, le suivi des progrès et la révision régulière. En mathématiques, il aide les élèves à mieux comprendre les notions, à s’entraîner davantage et à progresser à leur rythme tout en restant accompagnés par leur enseignant.

Les premiers parcours sont accessibles à partir du bouton « Se connecter à Moodle » sur la page d’accueil du site. 

Pour la création d’un compte afin d’effectuer les tests, envoyez moi un message.

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Evaluations nationales

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Evaluations nationales

Cours de mathématiques de 4ème

Les tests Moodle ci-dessous permettent de retravailler les évaluations nationales de 6e, 5e et 4e passées en début d’année en mathématiques.

Le test 6ème est composé de 60 questions et respecte la structure ci-dessous :

evaluation nationale de 6e

Ils ne visent pas à évaluer l’ensemble des connaissances et compétences d’un élève entrant en cinquième. Le test de 5e est composé de 30 questions et relèvent de deux domaines : Nombres et calculs et Grandeurs et mesures en lien avec les Attendus de fin d’année de 6e. Ce test ne vise pas à évaluer l’ensemble des connaissances et compétences d’un élève entrant en cinquième.

evaluation nationale de 5e

Le test de 4e est composé de 22 questions. 
Elles relèvent de quatre domaines : Nombres et calculs, Grandeurs et mesures, Organisation et gestion de données, fonctions et Espace et géométrie et sont en lien avec les Attendus de fin d’année de 5e.

evaluation nationale de 4e

Pour accéder aux tests :

  • Cliquer sur le lien suivant : les tests
  • Se connecter en utilisant les identifiants suivants :

nom d’utilisateur : anonyme

mot de passe : anonyme

Voici quelques questions en suspens :

  • Faut-il laisser la navigation libre ?
  • Le feedback doit-il être immédiat ou à postériori ?
  • Est-ce un bon indicateur pour mesurer les progrès des élèves durant l’année ?

Si vous souhaitez répondre à ces questions, vous pouvez laisser un commentaire en bas de l’article.

Pour obtenir le fichier complet pour un import dans Moodle, vous pouvez me contacter avec une adresse mail professionnelle type ac-académie.

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Suite de Farey et cercles de Ford

Section d'excellence

Suite de Farey et cercles de Ford

Cours de mathématiques de 4ème

A) Introduction

Extrait du document les fractions de Monsieur Farey, Robert FERACHOGLOU, Lycée Le Castel à Dijon :

Le géologue anglais John Farey suggéra en 1816 de ranger dans l’ordre croissant les fractions irréductibles, comprises entre 0 et 1, et dont le dénominateur ne dépasse pas une valeur donnée.
Par exemple, celles dont le dénominateur est inférieur ou égal à 3 se rangent ainsi :

\[\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\]

Farey remarqua qu’une telle suite possédait de jolies propriétés. Cependant Farey, qui n’était qu’un mathématicien moyen (et même un géologue quelconque, puisqu’il est aujourd’hui presque entièrement oublié en tant que tel), ne donna aucune preuve des résultats publiés. C’est Louis Augustin Cauchy qui démontra les propriétés en question ; ce dernier, bon prince, a conservé le nom de Farey attaché à ces suites de fractions.

Ce document propose de mettre en évidence quelques propriétés des suites de Farey et des cercles de Ford.

B) Définitions et premières conjectures

Définition : La suite de Farey de rang $n$, noté $F_{n}$ , est la suite finie formée par les fractions irréductibles de dénominateur inférieur ou égal à $n$ comprises entre 0 et 1, rangées dans l’ordre croissant.

Exemples :

  • $F_{1}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1}\right)$
  • $F_{2}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{1}\right)$
  • $F_{3}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\right)$

Définition : Soient deux fractions consécutifs $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ d’une suite de Farey.

On appelle fraction médiane des fractions $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ la fraction $\dfrac{p}{q}$ telle que :

\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{a+c}{b+d}\]

Dans un premier, les élèves de la section ont déterminé $F_{4}$, $F_{5}$ et $F_{6}$ :

  • $F_{4}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{1}\right)$
  • $F_{5}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{1}{1}\right)$
  • $F_{6}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{5}{6},\dfrac{1}{1}\right)$
Voici quelques conjectures émises par les élèves :
    1. La fraction $\dfrac{1}{2}$ occupe la position médiane dans $F_{n}$.
    2. En choisissant deux fractions consécutives de $F_{n}$ (notées $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$) et en calculant $bc-ad$, on obtient toujours $1$ : \[bc-ad=1\]
    3. Si $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{e}{f}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont, dans cet ordre, trois fractions successives d’une même suite de Farey, alors (addition des cancres)  :\[\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c}{b+d}\]
    4. $F_n$ est la réunion de $F_{n-1}$ et de l’ensemble des fractions médianes de $F_{n-1}$ de dénominateur égal à $n$.

Remarques :

  1. La première conjecture n’a pas été démontrée en classe.
  2. La deuxième conjecture n’a également pas été démontrée en classe mais vérifiée dans certains cas :
    Dans $F_{5}$, on choisit $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{c}{d}=\dfrac{1}{2}$. On obtient alors :
    \[bc-ad=5\times 1-2\times 2=5-4=1\]
  3. La troisième conjecture peut-être démontrée en classe avec les très bons élèves :
    Démonstration : Soient 3 termes consécutifs d’une suite de Farey : $\dfrac{a}{b}<\dfrac{p}{q}<\dfrac{c}{d}$.
    On a donc :
    \[
    \left \{
    \begin{array}{c @{=} c}
    pb-aq = 1 \\
    cq-pd = 1
    \end{array}
    \right.
    \]On multiplie la première équation par $c$ et la deuxième par $a$ :
    \[
    \left \{
    \begin{array}{c @{=} c}
    pb-aq =1~~~~\times c \\
    cq-pd =1~~~~\times a
    \end{array}
    \right.
    \]On multiplie la première équation par $d$ et la deuxième par $b$ :
    \[
    \left \{
    \begin{array}{c @{=} c}
    pb-aq = 1~~~~\times d \\
    cq-pd = 1~~~~\times b
    \end{array}
    \right.
    \]On obtient alors :
    \[
    \left \{
    \begin{array}{c @{=} c}
    pbc-aqc = c \\
    cqa-pda = a
    \end{array}
    \right.
    \]

    \[
    \left \{
    \begin{array}{c @{=} c}
    pbd-aqd = d\\
    cqb-pdb = b
    \end{array}
    \right.
    \]Par somme :
    \[pbc-pad=a+c\]

    \[
    cqb-adq=b+d
    \]On en déduit en factorisant les membres de gauche :
    \[
    \left \{
    \begin{array}{c @{=} c}
    p(bc-ad) = a+c\\
    q(bc-ad) = b+d
    \end{array}
    \right.
    \]Par quotient :
    \[\dfrac{p(bc-ad)}{q(bc-ad)}=\dfrac{a+c}{b+d}\]Ainsi, en simplifiant par $(bc-ad)$ :
    \[\dfrac{p}{q}=\dfrac{a+c}{b+d}\]

  4. Les fractions de $F_7$ sont ainsi obtenues en ajoutant aux fractions de $F_6$ l’ensemble des fractions médianes de $F_6$ de dénominateur égal à 6. Par ailleurs, les fractions médianes de $F_6$ sont les premières à apparaître entre deux fractions de $F_7$. Ainsi :
    $F_{7}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{7},\dfrac{1}{2},\dfrac{4}{7},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{7},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{5}{6},\dfrac{6}{7},\dfrac{1}{1}\right)$

C) Lien avec les cercles de Ford

Le mathématicien américain Lester Randolph Ford (1886-1975), spécialiste en théorie des nombres, se pencha à titre ludique sur les fractions de Farey. Il en donna en 1917 une propriété géométrique étonnante, que nous allons développer ci-dessous.

Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls. On représente sur l’axe des abscisses et au dessus de chaque fraction $\dfrac{a}{b}$
le cercle de rayon $\dfrac{1}{2b^{2}}$ , appelé cercle de Ford de $\dfrac{a}{b}$.

Exemples : Les cercles de Ford associés à $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3} et $F_{6}$.

Les élèves ont conjecturé que les cercles de Ford associés à deux termes consécutifs d’une même suite de Farey sont tangents entre eux.

Démonstration : Voici la preuve pour les cercles de Ford associés aux fractions $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$ :


On a :

  • $0_{1}A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$
  • $0_{2}A=\dfrac{1}{2\times 2^{2}}-\dfrac{1}{2\times 3^{2}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{72}-\dfrac{4}{72}=\dfrac{5}{72}$

Le triangle $O_{1}O_{2}A$ est rectangle en $A$.
D’après le théorème de Pythagore :
\begin{eqnarray*}
O_{1}O_{2}^{2}&=&0_{1}A^{2}+0_{2}A^{2}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}+\left(\dfrac{5}{72}\right)^{2}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{1}{36}+\dfrac{25}{5~184}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{144}{5~184}+\dfrac{25}{5~184}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{169}{5~184}\\
O_{1}O_{2}&=&\sqrt{\dfrac{169}{5~184}}\\
O_{1}O_{2}&=&\dfrac{13}{72}
\end{eqnarray*}
Or : $O_{1}I+IO_{2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{72}+\dfrac{4}{72}=\dfrac{13}{72}$
Donc :
\[O_{1}O_{2}=O_{1}I+IO_{2}\]Ceci prouve que les deux cercles sont tangents.

Les propriétés précédentes des cercles de Ford ont inspiré certains artistes. Voici une image de Jos Leys, artiste géomètre :

Cercles de Ford par Jos Leys

D’autres images sur le site de Jos Leys.

D) Approximation d'un réel

Pour finir, les élèves de la section ont découvert une application possible des suites de Farey : on souhaite encadrer le nombre $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ par des fractions dont le dénominateur ne dépasse pas 20. On commence par encadrer par deux termes consécutifs de $F_2$ : \[\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{1}\] Ensuite, on calcule la fraction médiane de $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{1}$ : \[\dfrac{1+1}{2+1}=\dfrac{2}{3}\] Ainsi, à l’étape 2 : \[\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{1}\] Etape 3 : \[\dfrac{2+1}{3+1}=\dfrac{3}{4}\] \[\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{3}{4}\] Finalement, après plusieurs étapes, on obtient l’encadrement voulu : \[\dfrac{12}{17}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{5}{7}\]

Voici un programme Scratch donnant un encadrement de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ par des fractions dont le dénominateur ne dépasse pas $20$ :

Le programme Scratch à télécharger

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ChatGPT pour générer des questions

Dans cet article, je vous explique comment générer un nombre important de questions très rapidement avec ChatGPT. L’exemple proposé est pour un import dans Moodle avec un fichier au format gift.

L’intérêt est de générer dans Moodle un test de 5 questions qui seront piochées aléatoirement parmi 20 questions. Ainsi, lorsque l’élève décide de refaire le test, les questions seront différentes. Les élèves de la classe auront également des questions différentes.

Pour cela, se connecter à ChatGPT : https://chatgpt.com/

Voici un exemple de requête:

Peux-tu me générer 15 questions au format réponse courte pour un import Moodle (code pour import dans un fichier gift) sur calculer une quatrième proportionnel dans un tableau : tu proposes 4 cases dans un tableau de proportionnalité, 3 cases à valeurs numériques et une avec une lettre. Il faut trouver la lettre.

Il faut ensuite affiner la requête pour modifier la rédaction de la question, la correction, certaines valeurs numériques… Le code fourni est à coller dans un fichier texte et à importer dans Moodle :

Ci-dessous, une image d’une des questions du test que verra l’élève :

Bien évidemment, une petite relecture s’impose. ChatGPT est encore capable de faire des erreurs de calcul. Pour les QCM, les distracteurs qu’il propose manquent souvent d’intérêt mais il est possible de lui faire rectifier.

En conclusion, ChatGPT peut être utile pour générer un nombre important d’exercices de base permettant de faire travailler la technique aux élèves. Il est capable d’adapter ses corrections et de jouer sur certaines variables didactiques (si on lui demande !). Oubliez le si vous souhaitez créer une véritable activité permettant d’introduire une nouvelle notion aux élèves…

 

 

 

 

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Caractéristique d’Euler d’un polyèdre

Section d'excellence

Caractéristique d'Euler

Cours de mathématiques de 4ème

A) Polyèdres convexes

Définition : Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones.

Définition : Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur.

Exemple : Un polyèdre convexe (Dodécaèdre régulier).

un dodécaèdre régulier

Un polyèdre non convexe (Icosaèdre de Jessen).

Icosaèdre de Jessen

B) Caractéristique d'Euler d'un polyèdre convexe

Les élèves se sont alors intéressés à la caractéristique d’Euler d’un polyèdre convexe.

Définition : La caractéristique d’Euler est la quantité $s-a+f$ où $s$ est le nombre de sommets, $a$ le nombre d’arêtes et $f$ le nombre de faces.

Pour les aider à établir une conjecture, ils disposaient de polyèdres convexes posés sur un îlot de la salle mais également de GéoGébra.

Exemples :

Cube adouci

Dodécaèdre rhombique

Les élèves finissent par conjecturer que la caractéristique d’Euler pour les polyèdres convexes est toujours égale à 2.

Théorème de Descartes-Euler : La quantité $s-a+f$ vaut 2 pour un polyèdre convexe.

Le théorème est formulé par Leonhard Euler en 1752. Il semble cependant que Descartes ait prouvé une relation
analogue dans un traité jamais publié. C’est la raison pour laquelle cette relation porte ce double nom.

Remarque : ce théorème est vrai uniquement pour les polyèdres convexes de genre 0.

C) Démonstration de la conjecture

Pour démontrer cette conjecture, il a fallu déformer le polyèdre, en l’aplatissant et en écartant
vers l’extérieur les côtés de cette face manquante. Nous obtenons alors le graphe planaire du polyèdre. En considérant
que tout l’extérieur du graphe obtenu représente la face enlevée au polyèdre de départ, le nombre de sommets,
d’arêtes et de faces n’a pas changé. Il suffit donc de démontrer que la caractéristique d’Euler d’un graphe planaire est
toujours égale à 2.

Exemple : graphe planaire d’un cube.

 

Exemple : graphes planaires de certains polyèdres.

graphes planaires de certains polyèdres

Définition : Un graphe planaire est obtenu de la façon suivante : on choisit des points du plan appelés sommets. On peut ensuite choisir de relier les points distincts par des segments appelés arêtes, telles qu’elles ne s’intersectent pas.

Définition : On appelle face du graphe une région du plan entourée par des segments.

Remarque : Lors du dénombrement des faces, il ne faut pas oublier la face extérieure (celle qui est infinie).

Exemple : Un graphe planaire.

Un graphe planaire

Ce graphe possède 7 sommets, 8 arêtes et 3 faces (2 faces + la face infinie).

Sa caractéristique d’Euler, noté $\chi$ vaut alors :

\[\chi =7-8+3=-1+3=2\]

Les élèves ont d’abord remarqué que transformer un graphe en figure ne comportant que des triangles et sans changer sa caractéristique d’Euler est toujours possible :

triangulation d'un graphe planaire

Ils ont ensuite établi quelques règles de simplification (qu’ils ont démontrés sur des exemples)  qui ne changent pas la caractéristique d’Euler d’un graphe :

  •  on peut supprimer certaines arêtes du graphe sans changer son $\chi $.
  • on peut supprimer un chapeau du graphe sans changer son $\chi $.

Démonstration (sur un exemple) : supprimer un chapeau ne change pas la caractéristique d’un graphe.

suppression d'un chapeau d'un graphe planaireOn remarque sur l’exemple ci-dessus que retirer $n$ chapeaux reviendrait à retirer $n$ sommets, $n$ faces et $2n$ arêtes. Ainsi, en appelant $\chi’$ la caractéristique d’Euler du graphe d’arrivée :
\[\chi’ =(s-n)-(a-2n)+f-n=s-n-a+2n+f-n=s-a+f=\chi\]

En appliquant les règles précédentes, on peut toujours transformer un graphe planaire quelconque en un segment dont la caractéristique d’Euler vaut 2. Ainsi, la caractéristique d’Euler d’un graphe planaire est toujours égale à 2 et il en est de même pour un polyèdre convexe.

Le sujet

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La fourmi de Langton

Section d'excellence

La fourmi de Langton

Cours de mathématiques de 4ème

Les élèves de la section d’excellence en mathématiques se sont intéressés durant plusieurs séances à la fourmi de Langton.

La fourmi de Langton est un petit programme informatique imaginé par un chercheur américain s’appelant Chris
Langton et qui décrit une fourmi se déplaçant sur les cases d’une grille. Les règles qui régissent le mouvement de la fourmi sont d’une grande simplicité, et pourtant son comportement est complexe et tout sauf anodin. Et personne ne comprend vraiment pourquoi… Voici les principes de base de la fourmi de Langton :
• une grille est couverte de cases blanches ou noires ;
• sur une des cases de la grille se trouve une fourmi, capable de tourner, d’avancer et de changer la couleur de sa
case.

Les actions de la fourmi sont déterminées par la couleur de la case sur laquelle elle se trouve, et se déroulent toujours
dans le même ordre :

  • si sa case est blanche, la fourmi tourne d’un quart de tour vers la droite, change la couleur de sa case en noir, et
    avance d’une case ;

  • si sa case est noire : la fourmi tourne d’un quart de tour vers la gauche, change la couleur de sa case en blanc, et avance d’une case.

Les élèves ont donc programmé les déplacements de cette fourmi avec le logiciel Scratch.

Au début, les motifs dessinés par la fourmi sont symétriques à certaines étapes. Ensuite, les motifs dessinés sont entièrement chaotiques. Finalement, après plus de 10 000 étapes, un changement se produit : la fourmi se met à tracer un motif régulier, répété le long d’une diagonale que l’on appelle l’autoroute. Incroyable !

Au bout de 11 740 étapes :

Programme Scratch fourmi de Langton

Les élèves se sont ensuite intéressés au cas 3 couleurs. La règle DGD suivie par la fourmi est alors la suivante :

  • couleur blanche touchée, je tourne à Droite et je colorie la case en orange ;
  • couleur orange touchée, je tourne à Gauche et je colorie la case en bleue ;
  • couleur bleue touchée, je tourne à Droite et je colorie la case en blanc.

La fourmi ne trace plus l’autoroute mais un motif aléatoire :

Programme Scratch fourmi de Langton 3 couleurs

Certains élèves ont alors rajouté davantage de couleurs et créé des règles de déplacement.

La fourmi de Langton 4 couleurs suivant la règle GDDG dessine une structure carrée avec des motifs complexes à l’intérieur :

Programme Scratch fourmi de Langton 4 couleurs

La fourmi de Langton 10 couleurs suivant la règle DGDDDDGGGD dessine une structure carrée plus simple :

Programme Scratch fourmi de Langton 10 couleurs

La fourmi de Langton 12 couleurs suivant la règle DDGGGDGGGDDD dessine une structure triangulaire :

Programme Scratch fourmi de Langton 12 couleurs 

Pour finir, les élèves ont placé plusieurs fourmis sur la grille :

Télécharger le programme Scratch avec 4 fourmis

La fourmi de Langton Lire la suite »

Questions flash

Pour retravailler les évaluations nationales de 6e, 5e et 4e, les sections questions flash sont en développement.

Je les travaille en classe avec l’application Plickers. Pratique, ludique et très efficace, Plickers permet d’avoir une vue d’ensemble des résultats de ses élèves à une question posée.

Les documents proposés sont au format PDF. Ils peuvent être distribués aux élèves, projetés au tableau, ou retapés dans l’application Plickers. L’outil d’importation de questions doit faciliter le travail avec un simple copier-coller.

Plus d’informations ici : comment importer des questions dans Plickers

 

Questions flash Lire la suite »

Somme d’entiers consécutifs

Section d'excellence

Somme d'entiers consécutifs

Cours de mathématiques de 4ème

Sujet : Que peut-on dire de la somme de plusieurs entiers consécutifs ?

Définition : Des entiers naturels consécutifs sont des entiers naturels qui se suivent immédiatement. Exemple : 234 ; 235 et 236 sont des entiers naturels consécutifs Nous nous sommes  intéressés à la propriété suivante : Propriété : la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de trois. Voici quelques exemple :
  • Les nombres 17,18 et 19 sont trois entiers naturels consécutifs.
17 + 18 + 19 = 54. 54 est un multiple de 3. En effet : 54 = 3 x 18
  • Les nombres 5,6 et 7 sont trois entiers naturels consécutifs.
5 + 6 + 7 = 18. 18 est un multiple de 3. En effet : 18 = 3 x 6. Afin de démontrer cette propriété, on utilise le calcul littéral : Appelons n l’entier du milieu. L’entier qui précède s’écrit n – 1. L’entier qui suit s’écrit n + 1. n – 1 + n + n + 1 = 3n qui est multiple de 3. La propriété est bien démontrée. Nous avons ensuite essayé de voir si la propriété restait vraie avec quatre nombres entiers naturels consécutifs? Obtenons-nous un multiple de 4 ? exemple : 13 + 14 + 15 + 16 = 58 58/ 4 = 14,5 14,5 n’étant pas dans la table de 4, donc 58 n’est pas un multiple de 4. Il est démontré que la somme de 4 entier naturels consécutifs n’est pas un multiple de 4. En revanche, pour la somme de 5 entiers naturels consécutifs, cela fonctionne. En effet : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 et 15 est bien un multiple de 5. Démonstration :  on appelle n l’entier du milieu : n – 2 + n – 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5n 5n est bien l’écriture d’un multiple de 5.  
Finalement, nous avons voulu montrer que la somme des 999 premiers entiers consécutifs est égale à  499 500. 1 + 2 + 3 + … + 999 = 499 500 ? Avec un regroupement astucieux des termes de cette somme, nous y sommes parvenus (sans utiliser de calculatrice !) : 1 + 2 + 3 + … +999 = (1+ 999) + (2 + 998) + (3 + 997) +…+ (499 + 501) + 500 = 499 x 1000 + 500 = 499 500 Deux fichiers Scratch à télécharger :        

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