Nombres remarquables : les nombres de Niven
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Les nombres de Niven
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Nombres remarquables : les nombres triangulaires
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Les nombres triangulaires
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Cryptographie
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Cryptographie
Pour passer un message secret, on peut utiliser les acrostiches c’est à dire un poème ou strophe où les initiales de chaque vers, lues dans le sens vertical, composent un nom ou un mot-clé.
A) Les acrostiches
Pour passer un message secret, on peut utiliser les acrostiches c’est à dire un poème ou strophe où les initiales de chaque vers, lues dans le sens vertical, composent un nom ou un mot-clé. Dans le texte ci-dessous, la première lettre de chaque phrase donne le message caché : « codes secrets ».
Hergé utilise un procédé comparable dans le lotus bleu. Tintin y capte par radio le message à priori incompréhensible suivant :
« entre voie yokohama ns maison r charles andre dimanche seul aligner écran ou tentures serpent marchera inévitablement e proche occident halte intrus e « ».
Tintin finit par trouver la clef pour décoder ce message. Comment s’y prend-il ?
B) Le code de César
La substitution consiste à remplacer chaque lettre du texte clair par une lettre, un signe ou un nombre. La méthode la plus connue est le code de César.
Plus précisément, son code consistait à décaler les lettres d’une façon convenue à l’avance.
Exemple : Le texte codé s’obtient en remplaçant chaque lettre du texte clair par la lettre qui est située trois rangs plus loin dans l’alphabet. La longueur du décalage constitue la clé du chiffrement.
- Avec la même clé de cryptage, crypter votre prénom et décrypter le mot PDWKHPDWLTXHV.
- Décrypter le texte suivant sachant que la clé de codage est 10 : LSOXFOXEOKEMYVVOQOGSVVIBYXSC
- Le texte en clair suivant RENDEZ-VOUS AU CDI donne : WJSIJEATZXFZHIN. Déterminer la clé de cryptage.
- Décrypter le texte suivant en supposant que le mot « ENNEMI » y figure :
STYWJJSSJRNIJYTZOTZWXJXYIJWJYTZW
C) Le cryptage affine
Un cryptage affine consiste à chiffrer chaque lettre de l’alphabet, puis à remplacer le nombre initial $x$ par le nombre $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $ax+b$ par $26$.
Les nombres $a$ et $b$ sont des entiers naturels qui forment la clé du cryptage. Dans le tableau ci-dessous, la clé de cryptage est $(3;7)$ (cela signifie que $a=3$ et $b=7$) :
- Compléter le tableau puis coder votre prénom avec la clé $(3;7)$.
- Décrypter la phrase OT MGTJXG JT MGXPST NHNCT QHUJ OT NQF QP NXOOTZT avec la clé $(3;7)$.
- On prend maintenant pour clé $(5;13)$. Coder alors la phrase : Le théorème de Pythagore permet de calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
- A vous de jouer : coder un message secret en utilisant le cryptage affine et en communiquant la clé permettant de le déchiffrer.
C) Le carré de Polybe
Polybe (200 – 155 ans avant Jésus-Christ environ) était un général reconnu de son temps. Il écrivit un traité de stratégie, dans lequel on trouve le système de transcription de signaux connu de nos jours sous son nom. Dans le carré de Polybe présenté ci-dessous, chaque lettre (sauf J qui est confondu à I) est repérée par un couple de nombres. Par exemple, M est codé par le couple $(3 ; 2)$, 3 étant la ligne de M dans le carré et 2, sa colonne :
Avec le carré ci-dessus, le mot maths se coderait 3211442343.
Le carré de Polybe permet alors de chiffrer si on le remplit dans un ordre différent. Pour le réaliser, le plus simple est d’utiliser une phrase assez longue, mais facile à retenir, comme « Le collège Willy Ronis est proche des bords de marne ». Pour remplir le carré, on écrit la phrase dans l’ordre en commençant en haut à gauche et en sautant les lettres déjà écrites. On complète ensuite par les lettres manquantes, toujours dans l’ordre :
Deux élèves du collège Willy Ronis utilisent la phrase simple ( » Le collège Willy Ronis est proche des bords de marne « ) et le carré de Polybe ci-dessus pour communiquer par message codé.
- Quel message doit envoyer le premier élève afin de coder les phrases suivantes : La somme de deux nombres pairs est paire. La somme de deux nombres impairs est-elle paire ou impaire ? Quel message codé doit envoyer le deuxième élève afin de répondre à la question posée
- Deux enseignants du collège préparent le brevet blanc et communiquent par message codé en utilisant un carré de Polybe. Le message est intercepté par des élèves mais personne ne dispose de la clef pour le décoder :
34122413111425144515221514341451252211351251215121221122131445111421321423451431143414213212111413
Sachant que le mot exercice a de forte chance d’être utilisé dans le message, décoder ce message.
C) La scytale
Une technique de chiffrement également ancienne consiste à changer l’ordre des lettres d’un texte, à les mélanger en quelque sorte. Quand il est question de codes secrets, on parle alors de chiffrement par transposition.
On écrit sur un ruban enroulé autour d’un bâton, appelé scytale. Une fois déroulé, le message devient incompréhensible.
Voici le message à coder :
LE COLLEGE WILLY RONIS SE SITUE DANS L’ACADEMIE DE CRETEIL
Le chiffrement par scytale peut être simulé en utilisant un rectangle.
On se donne ensuite une permutation des nombres de 1 à 8 (si le rectangle a 8 colonnes). Par exemple : 37128465. La première colonne est alors recopiée en troisième position, la deuxième en septième position…
Cependant, il est difficile de mémoriser une suite de chiffres comme 37128465. Il est plus simple de se souvenir d’un mot ayant un sens comme FRACTION. Pour le trouver, on classe les lettres de FRACTION dans l’ordre alphabétique : ACFINORT. Dans FRACTION, chaque lettre est alors remplacée par son ordre d’apparition dans ACFINORT, en excluant les doublons. Ainsi, la clef FRACTION cache la permutation 37128465.
- Deux élèves du collège souhaitent utiliser un chiffrement par scytale pour communiquer. La clef de chiffrement est CRAYON. Aidez les à coder le message suivant :
RENDEZ VOUS APRES LES COURS CHEZ ALEXANDRE - Déchiffrer le message suivant en utilisant la clé de chiffrement TRIANGLE.
NEBREAENORMDJMLOANUEDTUPLPALOTTRSAENBESDMIOMEAQLICRUOHEIAOPELMIU
Evaluations nationales
Evaluations nationales
Les tests Moodle ci-dessous permettent de retravailler les évaluations nationales de 6e, 5e et 4e passées en début d’année en mathématiques.
Le test 6ème est composé de 60 questions et respecte la structure ci-dessous :
Ils ne visent pas à évaluer l’ensemble des connaissances et compétences d’un élève entrant en cinquième. Le test de 5e est composé de 30 questions et relèvent de deux domaines : Nombres et calculs et Grandeurs et mesures en lien avec les Attendus de fin d’année de 6e. Ce test ne vise pas à évaluer l’ensemble des connaissances et compétences d’un élève entrant en cinquième.
Le test de 4e est composé de 22 questions.
Elles relèvent de quatre domaines : Nombres et calculs, Grandeurs et mesures, Organisation et gestion de données, fonctions et Espace et géométrie et sont en lien avec les Attendus de fin d’année de 5e.
Pour accéder aux tests :
- Cliquer sur le lien suivant : les tests
- Se connecter en utilisant les identifiants suivants :
nom d’utilisateur : anonyme
mot de passe : anonyme
Voici quelques questions en suspens :
- Faut-il laisser la navigation libre ?
- Le feedback doit-il être immédiat ou à postériori ?
- Est-ce un bon indicateur pour mesurer les progrès des élèves durant l’année ?
Si vous souhaitez répondre à ces questions, vous pouvez laisser un commentaire en bas de l’article.
Pour obtenir le fichier complet pour un import dans Moodle, vous pouvez me contacter avec une adresse mail professionnelle type ac-académie.
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Excellence maths : vidéo sur le théorème de Descartes-Euler
Section d'excellence
Théorème de Descartes-Euler
Les élèves de la section d’excellence du collège Willy Ronis viennent de produire leur première vidéo sur le théorème de Descartes-Euler :
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Visite de la maison Poincaré
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La maison Poincaré
La semaine dernière, les élèves de la section excellence ont visité la maison Poincaré au coeur de Paris.
Durant la première heure, un intervenant du musée leur a proposé une visite de certaines salles du musée :
Dans la salle Partager , ils ont exploré une numération différente grâce à une carte spatio-temporelle interactive.
Dans la salle Connecter , la carte du « métro mathématique » leur a permis de visualiser les innombrables liens entre les différents domaines des mathématiques. C’est à cette occasion qu’ils ont découvert le célèbre théorème des quatre couleurs.
Enfin, ils ont plongé dans l’univers fascinant de la topologie en manipulant le Rulpidon, emblème du musée. 
Lors de la deuxième partie de la visite, un doctorant leur a expliqué comment les mathématiques sont mises au service de la rédaction de sa thèse en santé publique.
Dans la salle Connecter , la carte du « métro mathématique » leur a permis de visualiser les innombrables liens entre les différents domaines des mathématiques. C’est à cette occasion qu’ils ont découvert le célèbre théorème des quatre couleurs.
Enfin, ils ont plongé dans l’univers fascinant de la topologie en manipulant le Rulpidon, emblème du musée.
Lors de la deuxième partie de la visite, un doctorant leur a expliqué comment les mathématiques sont mises au service de la rédaction de sa thèse en santé publique.
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Suite de Farey et cercles de Ford
Section d'excellence
Suite de Farey et cercles de Ford
A) Introduction
Extrait du document les fractions de Monsieur Farey, Robert FERACHOGLOU, Lycée Le Castel à Dijon :
Le géologue anglais John Farey suggéra en 1816 de ranger dans l’ordre croissant les fractions irréductibles, comprises entre 0 et 1, et dont le dénominateur ne dépasse pas une valeur donnée.
Par exemple, celles dont le dénominateur est inférieur ou égal à 3 se rangent ainsi :
\[\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\]
Farey remarqua qu’une telle suite possédait de jolies propriétés. Cependant Farey, qui n’était qu’un mathématicien moyen (et même un géologue quelconque, puisqu’il est aujourd’hui presque entièrement oublié en tant que tel), ne donna aucune preuve des résultats publiés. C’est Louis Augustin Cauchy qui démontra les propriétés en question ; ce dernier, bon prince, a conservé le nom de Farey attaché à ces suites de fractions.
Ce document propose de mettre en évidence quelques propriétés des suites de Farey et des cercles de Ford.
B) Définitions et premières conjectures
Définition : La suite de Farey de rang $n$, noté $F_{n}$ , est la suite finie formée par les fractions irréductibles de dénominateur inférieur ou égal à $n$ comprises entre 0 et 1, rangées dans l’ordre croissant.
Exemples :
- $F_{1}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{2}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{3}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\right)$
Définition : Soient deux fractions consécutifs $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ d’une suite de Farey.
On appelle fraction médiane des fractions $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ la fraction $\dfrac{p}{q}$ telle que :
\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{a+c}{b+d}\]
Dans un premier, les élèves de la section ont déterminé $F_{4}$, $F_{5}$ et $F_{6}$ :
- $F_{4}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{5}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{6}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{5}{6},\dfrac{1}{1}\right)$
Voici quelques conjectures émises par les élèves :
-
- La fraction $\dfrac{1}{2}$ occupe la position médiane dans $F_{n}$.
- En choisissant deux fractions consécutives de $F_{n}$ (notées $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$) et en calculant $bc-ad$, on obtient toujours $1$ : \[bc-ad=1\]
- Si $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{e}{f}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont, dans cet ordre, trois fractions successives d’une même suite de Farey, alors (addition des cancres) :\[\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c}{b+d}\]
- $F_n$ est la réunion de $F_{n-1}$ et de l’ensemble des fractions médianes de $F_{n-1}$ de dénominateur égal à $n$.
Remarques :
- La première conjecture n’a pas été démontrée en classe.
- La deuxième conjecture n’a également pas été démontrée en classe mais vérifiée dans certains cas :
Dans $F_{5}$, on choisit $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{c}{d}=\dfrac{1}{2}$. On obtient alors :
\[bc-ad=5\times 1-2\times 2=5-4=1\] - La troisième conjecture peut-être démontrée en classe avec les très bons élèves :
Démonstration : Soient 3 termes consécutifs d’une suite de Farey : $\dfrac{a}{b}<\dfrac{p}{q}<\dfrac{c}{d}$.
On a donc :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pb-aq = 1 \\
cq-pd = 1
\end{array}
\right.
\]On multiplie la première équation par $c$ et la deuxième par $a$ :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pb-aq =1~~~~\times c \\
cq-pd =1~~~~\times a
\end{array}
\right.
\]On multiplie la première équation par $d$ et la deuxième par $b$ :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pb-aq = 1~~~~\times d \\
cq-pd = 1~~~~\times b
\end{array}
\right.
\]On obtient alors :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pbc-aqc = c \\
cqa-pda = a
\end{array}
\right.
\]\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pbd-aqd = d\\
cqb-pdb = b
\end{array}
\right.
\]Par somme :
\[pbc-pad=a+c\]\[
cqb-adq=b+d
\]On en déduit en factorisant les membres de gauche :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
p(bc-ad) = a+c\\
q(bc-ad) = b+d
\end{array}
\right.
\]Par quotient :
\[\dfrac{p(bc-ad)}{q(bc-ad)}=\dfrac{a+c}{b+d}\]Ainsi, en simplifiant par $(bc-ad)$ :
\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{a+c}{b+d}\] - Les fractions de $F_7$ sont ainsi obtenues en ajoutant aux fractions de $F_6$ l’ensemble des fractions médianes de $F_6$ de dénominateur égal à 6. Par ailleurs, les fractions médianes de $F_6$ sont les premières à apparaître entre deux fractions de $F_7$. Ainsi :
$F_{7}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{7},\dfrac{1}{2},\dfrac{4}{7},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{7},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{5}{6},\dfrac{6}{7},\dfrac{1}{1}\right)$
C) Lien avec les cercles de Ford
Le mathématicien américain Lester Randolph Ford (1886-1975), spécialiste en théorie des nombres, se pencha à titre ludique sur les fractions de Farey. Il en donna en 1917 une propriété géométrique étonnante, que nous allons développer ci-dessous.
Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls. On représente sur l’axe des abscisses et au dessus de chaque fraction $\dfrac{a}{b}$
le cercle de rayon $\dfrac{1}{2b^{2}}$ , appelé cercle de Ford de $\dfrac{a}{b}$.
Exemples : Les cercles de Ford associés à $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3} et $F_{6}$.
Les élèves ont conjecturé que les cercles de Ford associés à deux termes consécutifs d’une même suite de Farey sont tangents entre eux.
Démonstration : Voici la preuve pour les cercles de Ford associés aux fractions $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$ :
On a :
- $0_{1}A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$
- $0_{2}A=\dfrac{1}{2\times 2^{2}}-\dfrac{1}{2\times 3^{2}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{72}-\dfrac{4}{72}=\dfrac{5}{72}$
Le triangle $O_{1}O_{2}A$ est rectangle en $A$.
D’après le théorème de Pythagore :
\begin{eqnarray*}
O_{1}O_{2}^{2}&=&0_{1}A^{2}+0_{2}A^{2}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}+\left(\dfrac{5}{72}\right)^{2}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{1}{36}+\dfrac{25}{5~184}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{144}{5~184}+\dfrac{25}{5~184}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{169}{5~184}\\
O_{1}O_{2}&=&\sqrt{\dfrac{169}{5~184}}\\
O_{1}O_{2}&=&\dfrac{13}{72}
\end{eqnarray*}
Or : $O_{1}I+IO_{2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{72}+\dfrac{4}{72}=\dfrac{13}{72}$
Donc :
\[O_{1}O_{2}=O_{1}I+IO_{2}\]Ceci prouve que les deux cercles sont tangents.
Les propriétés précédentes des cercles de Ford ont inspiré certains artistes. Voici une image de Jos Leys, artiste géomètre :
D’autres images sur le site de Jos Leys.
D) Approximation d'un réel
Pour finir, les élèves de la section ont découvert une application possible des suites de Farey : on souhaite encadrer le nombre $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ par des fractions dont le dénominateur ne dépasse pas 20.
On commence par encadrer par deux termes consécutifs de $F_2$ :
\[\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{1}\]
Ensuite, on calcule la fraction médiane de $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{1}$ :
\[\dfrac{1+1}{2+1}=\dfrac{2}{3}\]
Ainsi, à l’étape 2 :
\[\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{1}\]
Etape 3 :
\[\dfrac{2+1}{3+1}=\dfrac{3}{4}\]
\[\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{3}{4}\]
Finalement, après plusieurs étapes, on obtient l’encadrement voulu :
\[\dfrac{12}{17}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{5}{7}\]
Voici un programme Scratch donnant un encadrement de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ par des fractions dont le dénominateur ne dépasse pas $20$ :
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ChatGPT pour générer des questions
Dans cet article, je vous explique comment générer un nombre important de questions très rapidement avec ChatGPT. L’exemple proposé est pour un import dans Moodle avec un fichier au format gift.
L’intérêt est de générer dans Moodle un test de 5 questions qui seront piochées aléatoirement parmi 20 questions. Ainsi, lorsque l’élève décide de refaire le test, les questions seront différentes. Les élèves de la classe auront également des questions différentes.
Pour cela, se connecter à ChatGPT : https://chatgpt.com/
Voici un exemple de requête:
Peux-tu me générer 15 questions au format réponse courte pour un import Moodle (code pour import dans un fichier gift) sur calculer une quatrième proportionnel dans un tableau : tu proposes 4 cases dans un tableau de proportionnalité, 3 cases à valeurs numériques et une avec une lettre. Il faut trouver la lettre.
Il faut ensuite affiner la requête pour modifier la rédaction de la question, la correction, certaines valeurs numériques… Le code fourni est à coller dans un fichier texte et à importer dans Moodle :
Ci-dessous, une image d’une des questions du test que verra l’élève :
Bien évidemment, une petite relecture s’impose. ChatGPT est encore capable de faire des erreurs de calcul. Pour les QCM, les distracteurs qu’il propose manquent souvent d’intérêt mais il est possible de lui faire rectifier.
En conclusion, ChatGPT peut être utile pour générer un nombre important d’exercices de base permettant de faire travailler la technique aux élèves. Il est capable d’adapter ses corrections et de jouer sur certaines variables didactiques (si on lui demande !). Oubliez le si vous souhaitez créer une véritable activité permettant d’introduire une nouvelle notion aux élèves…
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Caractéristique d’Euler d’un polyèdre
Section d'excellence
Caractéristique d'Euler
A) Polyèdres convexes
Définition : Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones.
Définition : Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur.
Exemple : Un polyèdre convexe (Dodécaèdre régulier).
Un polyèdre non convexe (Icosaèdre de Jessen).
B) Caractéristique d'Euler d'un polyèdre convexe
Les élèves se sont alors intéressés à la caractéristique d’Euler d’un polyèdre convexe.
Définition : La caractéristique d’Euler est la quantité $s-a+f$ où $s$ est le nombre de sommets, $a$ le nombre d’arêtes et $f$ le nombre de faces.
Pour les aider à établir une conjecture, ils disposaient de polyèdres convexes posés sur un îlot de la salle mais également de GéoGébra.
Exemples :
Cube adouci
Dodécaèdre rhombique
Les élèves finissent par conjecturer que la caractéristique d’Euler pour les polyèdres convexes est toujours égale à 2.
Théorème de Descartes-Euler : La quantité $s-a+f$ vaut 2 pour un polyèdre convexe.
Le théorème est formulé par Leonhard Euler en 1752. Il semble cependant que Descartes ait prouvé une relation
analogue dans un traité jamais publié. C’est la raison pour laquelle cette relation porte ce double nom.
Remarque : ce théorème est vrai uniquement pour les polyèdres convexes de genre 0.
C) Démonstration de la conjecture
Pour démontrer cette conjecture, il a fallu déformer le polyèdre, en l’aplatissant et en écartant
vers l’extérieur les côtés de cette face manquante. Nous obtenons alors le graphe planaire du polyèdre. En considérant
que tout l’extérieur du graphe obtenu représente la face enlevée au polyèdre de départ, le nombre de sommets,
d’arêtes et de faces n’a pas changé. Il suffit donc de démontrer que la caractéristique d’Euler d’un graphe planaire est
toujours égale à 2.
Exemple : graphe planaire d’un cube.
Exemple : graphes planaires de certains polyèdres.
Définition : Un graphe planaire est obtenu de la façon suivante : on choisit des points du plan appelés sommets. On peut ensuite choisir de relier les points distincts par des segments appelés arêtes, telles qu’elles ne s’intersectent pas.
Définition : On appelle face du graphe une région du plan entourée par des segments.
Remarque : Lors du dénombrement des faces, il ne faut pas oublier la face extérieure (celle qui est infinie).
Exemple : Un graphe planaire.
Ce graphe possède 7 sommets, 8 arêtes et 3 faces (2 faces + la face infinie).
Sa caractéristique d’Euler, noté $\chi$ vaut alors :
\[\chi =7-8+3=-1+3=2\]
Les élèves ont d’abord remarqué que transformer un graphe en figure ne comportant que des triangles et sans changer sa caractéristique d’Euler est toujours possible :
Ils ont ensuite établi quelques règles de simplification (qu’ils ont démontrés sur des exemples) qui ne changent pas la caractéristique d’Euler d’un graphe :
- on peut supprimer certaines arêtes du graphe sans changer son $\chi $.
- on peut supprimer un chapeau du graphe sans changer son $\chi $.
Démonstration (sur un exemple) : supprimer un chapeau ne change pas la caractéristique d’un graphe.
On remarque sur l’exemple ci-dessus que retirer $n$ chapeaux reviendrait à retirer $n$ sommets, $n$ faces et $2n$ arêtes. Ainsi, en appelant $\chi’$ la caractéristique d’Euler du graphe d’arrivée :
\[\chi’ =(s-n)-(a-2n)+f-n=s-n-a+2n+f-n=s-a+f=\chi\]
En appliquant les règles précédentes, on peut toujours transformer un graphe planaire quelconque en un segment dont la caractéristique d’Euler vaut 2. Ainsi, la caractéristique d’Euler d’un graphe planaire est toujours égale à 2 et il en est de même pour un polyèdre convexe.
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La fourmi de Langton
Section d'excellence
La fourmi de Langton
Les élèves de la section d’excellence en mathématiques se sont intéressés durant plusieurs séances à la fourmi de Langton.
La fourmi de Langton est un petit programme informatique imaginé par un chercheur américain s’appelant Chris
Langton et qui décrit une fourmi se déplaçant sur les cases d’une grille. Les règles qui régissent le mouvement de la fourmi sont d’une grande simplicité, et pourtant son comportement est complexe et tout sauf anodin. Et personne ne comprend vraiment pourquoi… Voici les principes de base de la fourmi de Langton :
• une grille est couverte de cases blanches ou noires ;
• sur une des cases de la grille se trouve une fourmi, capable de tourner, d’avancer et de changer la couleur de sa
case.
Les actions de la fourmi sont déterminées par la couleur de la case sur laquelle elle se trouve, et se déroulent toujours
dans le même ordre :
- si sa case est blanche, la fourmi tourne d’un quart de tour vers la droite, change la couleur de sa case en noir, et
avance d’une case ;
- si sa case est noire : la fourmi tourne d’un quart de tour vers la gauche, change la couleur de sa case en blanc, et avance d’une case.
Les élèves ont donc programmé les déplacements de cette fourmi avec le logiciel Scratch.
Au début, les motifs dessinés par la fourmi sont symétriques à certaines étapes. Ensuite, les motifs dessinés sont entièrement chaotiques. Finalement, après plus de 10 000 étapes, un changement se produit : la fourmi se met à tracer un motif régulier, répété le long d’une diagonale que l’on appelle l’autoroute. Incroyable !
Au bout de 11 740 étapes :
Programme Scratch fourmi de Langton
Les élèves se sont ensuite intéressés au cas 3 couleurs. La règle DGD suivie par la fourmi est alors la suivante :
- couleur blanche touchée, je tourne à Droite et je colorie la case en orange ;
- couleur orange touchée, je tourne à Gauche et je colorie la case en bleue ;
- couleur bleue touchée, je tourne à Droite et je colorie la case en blanc.
La fourmi ne trace plus l’autoroute mais un motif aléatoire :
Programme Scratch fourmi de Langton 3 couleurs
Certains élèves ont alors rajouté davantage de couleurs et créé des règles de déplacement.
La fourmi de Langton 4 couleurs suivant la règle GDDG dessine une structure carrée avec des motifs complexes à l’intérieur :
Programme Scratch fourmi de Langton 4 couleurs
La fourmi de Langton 10 couleurs suivant la règle DGDDDDGGGD dessine une structure carrée plus simple :
Programme Scratch fourmi de Langton 10 couleurs
La fourmi de Langton 12 couleurs suivant la règle DDGGGDGGGDDD dessine une structure triangulaire :
Pour finir, les élèves ont placé plusieurs fourmis sur la grille :
La fourmi de Langton Lire la suite »
Questions flash
Pour retravailler les évaluations nationales de 6e, 5e et 4e, les sections questions flash sont en développement.
Je les travaille en classe avec l’application Plickers. Pratique, ludique et très efficace, Plickers permet d’avoir une vue d’ensemble des résultats de ses élèves à une question posée.
Les documents proposés sont au format PDF. Ils peuvent être distribués aux élèves, projetés au tableau, ou retapés dans l’application Plickers. L’outil d’importation de questions doit faciliter le travail avec un simple copier-coller.
Plus d’informations ici : comment importer des questions dans Plickers
Questions flash Lire la suite »
Somme d’entiers consécutifs
Section d'excellence
Somme d'entiers consécutifs
Sujet : Que peut-on dire de la somme de plusieurs entiers consécutifs ?
Définition : Des entiers naturels consécutifs sont des entiers naturels qui se suivent immédiatement. Exemple : 234 ; 235 et 236 sont des entiers naturels consécutifs Nous nous sommes intéressés à la propriété suivante : Propriété : la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de trois. Voici quelques exemple :- Les nombres 17,18 et 19 sont trois entiers naturels consécutifs.
- Les nombres 5,6 et 7 sont trois entiers naturels consécutifs.
Nous avons ensuite essayé de voir si la propriété restait vraie avec quatre nombres entiers naturels consécutifs? Obtenons-nous un multiple de 4 ?
exemple : 13 + 14 + 15 + 16 = 58
58/ 4 = 14,5
14,5 n’étant pas dans la table de 4, donc 58 n’est pas un multiple de 4. Il est démontré que la somme de 4 entier naturels consécutifs n’est pas un multiple de 4.
En revanche, pour la somme de 5 entiers naturels consécutifs, cela fonctionne.
En effet : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 et 15 est bien un multiple de 5.
Démonstration :
on appelle n l’entier du milieu :
n – 2 + n – 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5n
5n est bien l’écriture d’un multiple de 5.
Finalement, nous avons voulu montrer que la somme des 999 premiers entiers consécutifs est égale à 499 500.
1 + 2 + 3 + … + 999 = 499 500 ?
Avec un regroupement astucieux des termes de cette somme, nous y sommes parvenus (sans utiliser de calculatrice !) :
1 + 2 + 3 + … +999
= (1+ 999) + (2 + 998) + (3 + 997) +…+ (499 + 501) + 500
= 499 x 1000 + 500
= 499 500
Deux fichiers Scratch à télécharger :
Somme d’entiers consécutifs Lire la suite »