Chapitre 1
Les nombres premiers
Chapitre 1 : Les nombres premiers
A) Multiples et diviseurs d'un nombre
Définition : Le nombre $a$ est divisible par le nombre $b$ lorsqu’il existe un nombre entier $c$ non nul tel que :
\[a=b\times c\]On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$ ou que $b$ est un diviseur de $a$.
Exemples : 60 est-il un multiple de 12 ? 1 974 est-il divisible par 84 ?
60 est un multiple de 12 car $60=12\times 5$.
On dit également :
- 60 est divisible par 12 (et par 5) ;
- 12 (ou 5) est un diviseur de 60.
1 974 n’est pas divisible par 84 car :
$1~974\div 84=23,5$.
On dit également :
- 84 n’est pas un diviseur de 1 974 ;
- 1 974 n’est pas un multiple de 84.
Propriétés :
- Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
- Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
- Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
Démonstration : Dans le cas de la divisibilité par 5 avec $n$ un nombre entier à trois chiffres.
$n$ est donc un nombre entier à trois chiffres dont le chiffre des centaines est $c$, le chiffre des dizaines est $d$ et le chiffre des unités est $u$. On a alors :
\begin{eqnarray*}
n&=&100\times c+10\times d+u\\
n&=&5\times 20\times c+5\times 2\times d+u\\
n&=&5\times (20c+2d)+u\\
\end{eqnarray*}
Or $5\times (20c+2d)$ est divisible par 5. Donc $n$ est divisible par 5 dans le cas où $u$ est divisible par 5 c’est à dire si $u$ est égal à 0 où 5.
B) Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
- 12 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2,3, 4, 6, 12.
- 1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.
- 0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non-nul.
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… sont tous les nombres premiers inférieurs à 40.
C) Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près.
Exemple : Décomposition de 76 en produit de facteurs premiers.
On cherche ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant :
- 76 est divisible par 2: $76=2\times 38$.
- 38 est divisible par 2: $76=2\times 2\times 19$.
Or 19 est un nombre premier, donc la décomposition de 76 en produit de facteurs premiers est terminée :
\[76=2\times 2\times 19=2^{2}\times 19\]
Exemple : La décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers permet de trouver le PGCD et le PPCM de deux nombres. Cherchons le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de 120 et 36.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 120 et 36 est :
\begin{eqnarray*}
120&=&2\times 60\\
120&=&2\times 2\times 30\\
120&=&2\times 2\times 2\times 15\\
120&=&2\times 2\times 2\times 3\times 5\\
120&=&2^{3}\times 3\times 5\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
36&=&2\times 18\\
36&=&2\times 2\times 9\\
36&=&2\times 2\times 3\times 3\\
36&=&2^{2}\times 3^{2}\\
\end{eqnarray*}
- Le PGCD de 120 et 36 est alors : $2^{2}\times 3=4\times 3=12$.
- Le PPCM de 120 et 36 est alors : $2^{3}\times 3^{2}\times 5=8\times 9\times 5=360$.
D) Fraction irréductible
Définition : Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Définition : Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
Exemple : Simplifier la fraction $\dfrac{84}{30}$ et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
$\dfrac{84}{30}=\dfrac{2\times \textcolor{blue}{2}\times \textcolor{red}{3}\times 7}{\textcolor{blue}{2}\times \textcolor{red}{3}\times 5}=\dfrac{2\times 7}{5}=\dfrac{14}{5}$.