Chapitre 7
Nombres premiers
Chapitre 7 : Les nombres premiers
A) Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
- $12$ n’est pas un nombre premier car il est divisible par :
$1~-~2~-~3~-~4~-~6~-~12$
- $1$ n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.
- $0$ n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non-nul.
- Liste des nombres premiers inférieurs à $100$ :
$2~-~3~-~5~-~7~-~11~-~13~-~17~-~19~-~23~-~29~-~31~-~37~-~41~-~43~-~47~-~53~-~59~-~61~-~71~-~73~-~79~-~83~-~89~-~97$
B) Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à $2$ se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près.
Exemple : Décomposition de $90$ en produit de facteurs premiers.
- 1ère Méthode : on cherche les diviseurs premiers de $90$ dans l’ordre croissant.
\begin{eqnarray*}
90&=&2\times 45\\
90&=&2\times 3\times 15\\
90&=&2\times 3\times 3\times 5\\
90&=&2\times 3^{2}\times 5
\end{eqnarray*} - 2ème Méthode : on écrit d’abord un produit quelconque de $90$.
\begin{eqnarray*}
90&=&9\times 10\\
90&=&3\times 3\times 2\times 5\\
90&=&2\times 3\times 3\times 5\\
90&=&2\times 3^{2}\times 5
\end{eqnarray*}
Exemple : Simplifier la fraction $\dfrac{75}{90}$ en utilisant les décompositions en produit de facteurs premiers de $75$ et de $90$.
Décomposition de $75$ en produit de facteurs premiers :
\[75=15\times 5=3\times 5\times 5=3\times 5^{2}\]
Ainsi :
\[\dfrac{75}{90}=\dfrac{3\times 5\times 5}{2\times 3\times 3\times 5}=\dfrac{5}{2\times 3}=\dfrac{5}{6}\]