Nombres remarquables : les nombres de Niven
Section d'excellence
Les nombres de Niven
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Nombres remarquables : les nombres triangulaires
Section d'excellence
Les nombres triangulaires
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Cryptographie
Section d'excellence
Cryptographie
Pour passer un message secret, on peut utiliser les acrostiches c’est à dire un poème ou strophe où les initiales de chaque vers, lues dans le sens vertical, composent un nom ou un mot-clé.
A) Les acrostiches
Pour passer un message secret, on peut utiliser les acrostiches c’est à dire un poème ou strophe où les initiales de chaque vers, lues dans le sens vertical, composent un nom ou un mot-clé. Dans le texte ci-dessous, la première lettre de chaque phrase donne le message caché : « codes secrets ».
Hergé utilise un procédé comparable dans le lotus bleu. Tintin y capte par radio le message à priori incompréhensible suivant :
« entre voie yokohama ns maison r charles andre dimanche seul aligner écran ou tentures serpent marchera inévitablement e proche occident halte intrus e « ».
Tintin finit par trouver la clef pour décoder ce message. Comment s’y prend-il ?
B) Le code de César
La substitution consiste à remplacer chaque lettre du texte clair par une lettre, un signe ou un nombre. La méthode la plus connue est le code de César.
Plus précisément, son code consistait à décaler les lettres d’une façon convenue à l’avance.
Exemple : Le texte codé s’obtient en remplaçant chaque lettre du texte clair par la lettre qui est située trois rangs plus loin dans l’alphabet. La longueur du décalage constitue la clé du chiffrement.
- Avec la même clé de cryptage, crypter votre prénom et décrypter le mot PDWKHPDWLTXHV.
- Décrypter le texte suivant sachant que la clé de codage est 10 : LSOXFOXEOKEMYVVOQOGSVVIBYXSC
- Le texte en clair suivant RENDEZ-VOUS AU CDI donne : WJSIJEATZXFZHIN. Déterminer la clé de cryptage.
- Décrypter le texte suivant en supposant que le mot « ENNEMI » y figure :
STYWJJSSJRNIJYTZOTZWXJXYIJWJYTZW
C) Le cryptage affine
Un cryptage affine consiste à chiffrer chaque lettre de l’alphabet, puis à remplacer le nombre initial $x$ par le nombre $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $ax+b$ par $26$.
Les nombres $a$ et $b$ sont des entiers naturels qui forment la clé du cryptage. Dans le tableau ci-dessous, la clé de cryptage est $(3;7)$ (cela signifie que $a=3$ et $b=7$) :
- Compléter le tableau puis coder votre prénom avec la clé $(3;7)$.
- Décrypter la phrase OT MGTJXG JT MGXPST NHNCT QHUJ OT NQF QP NXOOTZT avec la clé $(3;7)$.
- On prend maintenant pour clé $(5;13)$. Coder alors la phrase : Le théorème de Pythagore permet de calculer des longueurs dans un triangle rectangle.
- A vous de jouer : coder un message secret en utilisant le cryptage affine et en communiquant la clé permettant de le déchiffrer.
C) Le carré de Polybe
Polybe (200 – 155 ans avant Jésus-Christ environ) était un général reconnu de son temps. Il écrivit un traité de stratégie, dans lequel on trouve le système de transcription de signaux connu de nos jours sous son nom. Dans le carré de Polybe présenté ci-dessous, chaque lettre (sauf J qui est confondu à I) est repérée par un couple de nombres. Par exemple, M est codé par le couple $(3 ; 2)$, 3 étant la ligne de M dans le carré et 2, sa colonne :
Avec le carré ci-dessus, le mot maths se coderait 3211442343.
Le carré de Polybe permet alors de chiffrer si on le remplit dans un ordre différent. Pour le réaliser, le plus simple est d’utiliser une phrase assez longue, mais facile à retenir, comme « Le collège Willy Ronis est proche des bords de marne ». Pour remplir le carré, on écrit la phrase dans l’ordre en commençant en haut à gauche et en sautant les lettres déjà écrites. On complète ensuite par les lettres manquantes, toujours dans l’ordre :
Deux élèves du collège Willy Ronis utilisent la phrase simple ( » Le collège Willy Ronis est proche des bords de marne « ) et le carré de Polybe ci-dessus pour communiquer par message codé.
- Quel message doit envoyer le premier élève afin de coder les phrases suivantes : La somme de deux nombres pairs est paire. La somme de deux nombres impairs est-elle paire ou impaire ? Quel message codé doit envoyer le deuxième élève afin de répondre à la question posée
- Deux enseignants du collège préparent le brevet blanc et communiquent par message codé en utilisant un carré de Polybe. Le message est intercepté par des élèves mais personne ne dispose de la clef pour le décoder :
34122413111425144515221514341451252211351251215121221122131445111421321423451431143414213212111413
Sachant que le mot exercice a de forte chance d’être utilisé dans le message, décoder ce message.
C) La scytale
Une technique de chiffrement également ancienne consiste à changer l’ordre des lettres d’un texte, à les mélanger en quelque sorte. Quand il est question de codes secrets, on parle alors de chiffrement par transposition.
On écrit sur un ruban enroulé autour d’un bâton, appelé scytale. Une fois déroulé, le message devient incompréhensible.
Voici le message à coder :
LE COLLEGE WILLY RONIS SE SITUE DANS L’ACADEMIE DE CRETEIL
Le chiffrement par scytale peut être simulé en utilisant un rectangle.
On se donne ensuite une permutation des nombres de 1 à 8 (si le rectangle a 8 colonnes). Par exemple : 37128465. La première colonne est alors recopiée en troisième position, la deuxième en septième position…
Cependant, il est difficile de mémoriser une suite de chiffres comme 37128465. Il est plus simple de se souvenir d’un mot ayant un sens comme FRACTION. Pour le trouver, on classe les lettres de FRACTION dans l’ordre alphabétique : ACFINORT. Dans FRACTION, chaque lettre est alors remplacée par son ordre d’apparition dans ACFINORT, en excluant les doublons. Ainsi, la clef FRACTION cache la permutation 37128465.
- Deux élèves du collège souhaitent utiliser un chiffrement par scytale pour communiquer. La clef de chiffrement est CRAYON. Aidez les à coder le message suivant :
RENDEZ VOUS APRES LES COURS CHEZ ALEXANDRE - Déchiffrer le message suivant en utilisant la clé de chiffrement TRIANGLE.
NEBREAENORMDJMLOANUEDTUPLPALOTTRSAENBESDMIOMEAQLICRUOHEIAOPELMIU
Evaluations nationales
Evaluations nationales
Les tests Moodle ci-dessous permettent de retravailler les évaluations nationales de 6e, 5e et 4e passées en début d’année en mathématiques.
Le test 6ème est composé de 60 questions et respecte la structure ci-dessous :
Ils ne visent pas à évaluer l’ensemble des connaissances et compétences d’un élève entrant en cinquième. Le test de 5e est composé de 30 questions et relèvent de deux domaines : Nombres et calculs et Grandeurs et mesures en lien avec les Attendus de fin d’année de 6e. Ce test ne vise pas à évaluer l’ensemble des connaissances et compétences d’un élève entrant en cinquième.
Le test de 4e est composé de 22 questions.
Elles relèvent de quatre domaines : Nombres et calculs, Grandeurs et mesures, Organisation et gestion de données, fonctions et Espace et géométrie et sont en lien avec les Attendus de fin d’année de 5e.
Pour accéder aux tests :
- Cliquer sur le lien suivant : les tests
- Se connecter en utilisant les identifiants suivants :
nom d’utilisateur : anonyme
mot de passe : anonyme
Voici quelques questions en suspens :
- Faut-il laisser la navigation libre ?
- Le feedback doit-il être immédiat ou à postériori ?
- Est-ce un bon indicateur pour mesurer les progrès des élèves durant l’année ?
Si vous souhaitez répondre à ces questions, vous pouvez laisser un commentaire en bas de l’article.
Pour obtenir le fichier complet pour un import dans Moodle, vous pouvez me contacter avec une adresse mail professionnelle type ac-académie.
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Excellence maths : vidéo sur le théorème de Descartes-Euler
Section d'excellence
Théorème de Descartes-Euler
Les élèves de la section d’excellence du collège Willy Ronis viennent de produire leur première vidéo sur le théorème de Descartes-Euler :
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Chapitre 5 : Notion de fonction
Chapitre 5
Notion de fonction
Chapitre 5 : Notion de fonction
A) Introduction
Mathilde veut construire un petit enclos rectangulaire pour son lapin. Son papi lui fournit 6,5 m de grillage.
En plaçant l’enclos contre le mur de son jardin, le grillage ne délimitera que trois côtés. Mathilde place un premier poteau A contre le mur. Elle veut déterminer à quelle distance $x$ placer le poteau B pour que la surface de l’enclos soit maximale.
Dans l’activité de ce chapitre nous avons associé à la longueur $x$ (distance du point B au mur) la surface de l’enclos. Ce procédé s’est traduit ainsi :
\[x\longmapsto x(6,5-2x)\]
B) Définition et vocabulaire
Définition : Une fonction numérique $f$ est un procédé de calcul qui, à tout nombre $x$, associe le nombre $f(x)$ (lire « $f$ de $x$ »).
On note : \[f:x\longmapsto f(x)\]
Exemples : D’autres exemples de fonctions :
- $f$ est la fonction qui, à un nombre $x$, fait correspondre son double : \[f:x\longmapsto 2x\] \[f(x)=2x\]
- $g$ est la fonction qui, à un nombre $x$, fait correspondre son carré : \[g:x\longmapsto x^{2}\] \[g(x)=x^{2}\]
- $h$ est la fonction qui, à un nombre $x$, associe son carré augmenté de 1 : \[h:x\longmapsto x^{2}+1\] \[h(x)=x^{2}+1\]
Exemple : Soit le programme de calcul ci-dessous. Déterminer l’expression algébrique de la fonction $f$ associée à ce programme de calcul.
- Choisir un nombre
- Retrancher 5
- Multiplier le résultat par 4
- Je choisis $x$
- $x-5$
- $(x-5)\times 4$
Donc : $f(x)=4(x-5)$.
Vocabulaire :
- $f(x)$ est l’image de $x$ par la fonction $f$.
- $x$ est un antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$.
Remarque : Un nombre peut avoir plusieurs antécédents mais chaque nombre a au plus une image.
Exemple : Dans l’activité, nous avons trouvé à l’aide d’un tableur que si $x=1,6$, l’aire de l’enclos était maximale. Ainsi au nombre 1,6 nous associons le nombre 5,28. Nous pourrons écrire que :
\[f(1,6)=5,28\]Nous pouvons dire que :
- 5,28 est l’image de 1,6 par la fonction $f$.
- 1,6 est un antécédent de 5,28 par la fonction $f$.
Exemple : Soit $f$ la fonction définie par $f:x\longmapsto x^{2}-3$.
- Calculer l’image de 2 par la fonction $f$.
\begin{eqnarray*}
f(2)&=&2^{2}-3\\
&=&4-3\\
&=&1\\
\end{eqnarray*}
L’image de 2 par la fonction $f$ est 1.
- Prouver que 5 est un antécédent de 22 par la fonction $f$.
\begin{eqnarray*}
f(5)&=&5^{2}-3\\
&=&25-3\\
&=&22\\
\end{eqnarray*}
Un antécédent de 22 par la fonction $f$ est 5.
Exemple : Ce tableau définit une fonction $f$ qui à chaque nombre de la 1ère ligne associe un nombre de la 2ème ligne.
D’après le tableau :
- L’image de -2 par la fonction $f$ est -21 : $f(-2)=-21$.
- L’antécédent de 4,5 par la fonction $f$ est 1: $f(1)=4,5$
C) Représentation graphique d'une fonction
Définition : La courbe représentative d’une fonction $f$ est l’ensemble des points dont les coordonnées sont de la forme $(x ;f(x))$.
Exemple : Voici la représentation graphique de la fonction $f$ de l’activité ($f(x)=x(6,5-2x)$) :
Par lecture graphique :
- On constate que l’aire est maximale pour $x\approx 1,6$. Cette aire maximale vaut environ 5,28 m$^{2}$.
- On retrouve ainsi que l’image de 1,6 par la fonction $f$ est égale à 5,28.
- On remarque également qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents : les antécédents de 4 par la fonction $f$ sont environ 0,8 et 2,5.
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Visite de la maison Poincaré
Section d'excellence
La maison Poincaré
La semaine dernière, les élèves de la section excellence ont visité la maison Poincaré au coeur de Paris.
Durant la première heure, un intervenant du musée leur a proposé une visite de certaines salles du musée :
Dans la salle Partager , ils ont exploré une numération différente grâce à une carte spatio-temporelle interactive.
Dans la salle Connecter , la carte du « métro mathématique » leur a permis de visualiser les innombrables liens entre les différents domaines des mathématiques. C’est à cette occasion qu’ils ont découvert le célèbre théorème des quatre couleurs.
Enfin, ils ont plongé dans l’univers fascinant de la topologie en manipulant le Rulpidon, emblème du musée. 
Lors de la deuxième partie de la visite, un doctorant leur a expliqué comment les mathématiques sont mises au service de la rédaction de sa thèse en santé publique.
Dans la salle Connecter , la carte du « métro mathématique » leur a permis de visualiser les innombrables liens entre les différents domaines des mathématiques. C’est à cette occasion qu’ils ont découvert le célèbre théorème des quatre couleurs.
Enfin, ils ont plongé dans l’univers fascinant de la topologie en manipulant le Rulpidon, emblème du musée.
Lors de la deuxième partie de la visite, un doctorant leur a expliqué comment les mathématiques sont mises au service de la rédaction de sa thèse en santé publique.
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Chapitre 4 : Agrandissement et réduction d’une figure
Chapitre 4
Agrandissement et réduction
Chapitre 4 : Agrandissement et réduction
A) Agrandissement et réduction d'une figure
Définition : Faire un agrandissement d’une figure c’est multiplier toutes les longueurs par un même nombre $k$ supérieur à 1 en conservant la forme de la figure.
Vocabulaire : $k$ est appelé le rapport d’agrandissement.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est un agrandissement du triangle $ABC$. Les longueurs ont été multipliées par 1,5. En effet :
\[3\times 1,5=4,5~~~~4\times 1,5=6~~~~5\times 1,5=7,5\]
Les dimensions de la figure obtenue lors d’un agrandissement sont proportionnelles à celles de la figure initiale.
\[\dfrac{4,5}{3}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{7,5}{5}=\textcolor{red}{1,5}\]
Définition : Faire une réduction d’une figure c’est multiplier toutes les longueurs par un même nombre $k$ compris entre 0 et 1 en conservant la forme de la figure.
Vocabulaire : $k$ est appelé le rapport de réduction.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est une réduction du triangle $ABC$. Les longueurs ont été multipliées par 0,5. En effet :
\[4\times 0,5=2~~~~6\times 0,5=3~~~~8\times 0,5=4\]
Les dimensions de la figure obtenue lors d’une réduction sont proportionnelles à celles de la figure initiale.
\[\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{8}=\textcolor{red}{0,5}\]
B) Conservation des angles et du parallélisme
Conséquence : Lors de l’agrandissement ou de la réduction d’une figure :
- les mesures des angles sont conservées (donc la perpendicularité en particulier) ;
- le parallélisme est conservé.
Exemple : Le triangle $A’B’C’$ est un agrandissement du triangle $ABC$ dans le rapport 2. Donc :
\[ C’B’=2\times CB\]\[\widehat{ACB}=\widehat{A’B’C’}\]
C) Effet sur les aires
Propriété : Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre $k$ (positif), alors l’aire est multipliée par $k^{2}$.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le rectangle $A’B’C’D’$ est un agrandissement du rectangle $ABCD$ de coefficient 3.
Or :
$A_{ABCD}=1~\text{cm}\times 2~\text{cm}=2~\text{cm}^{2}$
$A_{A’B’C’D’}=3~\text{cm}\times 6~\text{cm}=18~\text{cm}^{2}$
L’aire a été multipliée par $3^{2}=9$.
Exemple : La surface d’un champ est de 12 hectares. On multiplie ses dimensions par 2,5. Quelle sera sa nouvelle surface?
\begin{eqnarray*}
A_{nouvelle~surface}&=&2,5^{2}\times A_{surface~de~départ}\\
&=&2,5^{2}\times 12~\text{hectares}\\
&=&75~\text{hectares}
\end{eqnarray*}
D) Effet sur les volumes
Propriété : Si les longueurs d’une figure sont multipliées par un nombre $k$ (positif), alors le volume est multiplié par $k^{3}$.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le 2ème pavé droit est un agrandissement du 1er pavé droit de coefficient 2.
Or :
$V_{pavé~droit~1}=1~\text{cm}\times 1~\text{cm}\times 2~\text{cm}=2~\text{cm}^{3}$
$V_{pavé~droit~2}=2~\text{cm}\times 2~\text{cm}\times 4~\text{cm}=16~\text{cm}^{3}$
Le volume a été multiplié par $2^{3}=8$.
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Chapitre 3 : Statistiques et tableur
Chapitre 3
Statistiques et tableur
Chapitre 3 : Statistiques et tableur
A) Fréquence
Définition : La fréquence est le quotient (ou rapport) de l’effectif de cette valeur sur l’effectif total de la population :
\[\text{Fréquence}=\dfrac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}}\]
Exemple : Dans un collège de 450 élèves, 110 élèves ont trois frères et soeurs. La fréquence des élèves ayant trois frères et soeurs est égale à :
\[\text{Fréquence}=\dfrac{110}{450}\approx 0,244\]En pourcentage, cette fréquence vaut environ 24,4 %.
B) Moyenne d'une série statistiques
Définition : La moyenne pondérée d’une série de valeurs est le nombre obtenu :
- en additionnant toutes les valeurs de la série ;
- en divisant cette somme par l’effectif total de la série.
Exemple : On a relevé les distances (en km) parcourues par un commercial au cours de ses $7$ derniers jours travaillés. On peut calculer la distance moyenne journalière de deux manières différentes :
- Avec un tableur :
En A9, on tape la formule : =MOYENNE(A2: A8) - A la main :
\[\dfrac{374~\text{km}+475~\text{km}+326~\text{km}+408~\text{km}+372~\text{km}+431
~\text{km}+274~\text{km}}{7}=380~\text{km}\]La distance moyenne journalière parcourue par ce commercial est égales à $380~\text{km}$.
Interprétation : Si ce commercial avait parcouru le même nombre de kilomètres chaque jour, celui-ci serait de $380$ km.
Remarque : Le tableur permet de traiter des données réelles en grand nombre en s’affranchissant de calculs fastidieux.
Exemple : A un concours scientifique, les mathématiques ont un coefficient 5, la physique un coefficient 3 et la géologie un coefficient 2. Carine a obtenu 11 en mathématiques, 9 en physique et 12 en géologie.
Quelle est la moyenne de Carine à ce concours ?
\[\text{Moyenne}=\dfrac{11\times 5+9\times 3+12\times 2}{5+3+2}=10,6\]
C) Médiane d'une série statistiques
Définition : Les valeurs d’une série statistique étant rangées par ordre croissant (ou décroissant), la médiane est un nombre M tel que :
- au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à M ;
- au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieures ou égales à M.
Exemple : (Effectif total impair)
Calculer la médiane de la série suivante :
\[6-15-26-14-30-21-18-9-13\]
Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[6-9-13-14-15-18-21-26-30\]Je calcule l’effectif total : $9$
$9\div 2=4,5$ donc la médiane est la 5ème valeur : $M=15$
Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Exemple : (Effectif total pair)
Calculer la médiane de la série suivante :
\[16-4-2-12-9-15-17-1\]
Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[1-2-4-9-12-15-16-17\]Je calcule l’effectif total : $8$
$8\div 2=4$ donc la médiane est la moyenne des 4ème et 5ème valeurs :
\[M = \dfrac{9+12}{2}=10,5\]Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Exemple : Calculer la médiane de la série des lancers de javelot ci-dessous.
On peut calculer la médiane de deux manières différentes :
- Avec le tableur :
En H4, on tape la formule : =MEDIANE(A1: G4) - A la main :
L’effectif total est $28$.
$28$ est pair donc la médiane est la moyenne des 14ème et 15ème longueurs. Elles sont égales à $41~\text{m}$ et $42~\text{m}$.
\[M= \dfrac{41~\text{m}+42~\text{m}}{2}=41,5~\text{m}\]La médiane est $41,5~\text{m}$.
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Chapitre 2 : développer et réduire une expression littérale
Chapitre 2
Développer et réduire une expression littérale
Chapitre 2 : développer et réduire une expression littérale
Développer et réduire permet :
- de prouver que deux expressions littérales sont équivalentes ;
- de démontrer qu’une propriété est vraie.
A) Développer avec la distributivité
Propriétés : $k,a,b,c$ et $d$ sont des nombres relatifs quelconques :
\begin{eqnarray*}
k \times (a+b)&=&k\times a + k\times b \\
&&\\
(a+b)\times (c+d)&=&a\times c + a\times d + b\times c + b\times d\\
\end{eqnarray*}
Interprétation géométrique :
\begin{eqnarray*}
A&=&-3x(4x-6)\\
A&=&-12x^{2}+18x\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&(2x-5)(3x-4)\\
B&=&6x^{2}-8x-15x+20\\
B&=&6x^{2}-23x+20\\
\end{eqnarray*}
B) Développer avec les identités remarquables
Propriétés : $a$ et $b$ désignent des nombres relatifs :
- $ (a+b)^{2}=a^{2}+2\times a\times b+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
- $ (a-b)^{2}=a^{2}-2\times a\times b+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
- $ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} $
Interprétation géométrique : Pour calculer l’aire du carré, on peut procéder de deux manières :
- $A=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}$
- $A=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
On en a déduit : $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.
Démonstration : Démontrons la première identité remarquable :
\begin{eqnarray*}
(a+b)^{2}&=&(a+b)(a+b)\\
&=&a\times a+a\times b+b\times a+b\times b\\
&=&a^{2}+a\times b+a\times b+b^{2}\\
&=&a^{2}+2\times a\times b+b^{2}\\
&=&a^{2}+2ab+b^{2}
\end{eqnarray*}
Exemples : Les identités remarquables permettent de développer plus rapidement une expression :
\begin{eqnarray*}
A&=&(2x+5)^{2}\\
A&=&(2x)^{2}+2\times 2x\times 5+5^{2}\\
A&=&4x^{2}+20x+25\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&(x-6)^{2}\\
B&=&x^{2}-2\times x\times 6+6^{2}\\
B&=&x^{2}-12x+36\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
C&=&(3x-4)(3x+4)\\
C&=&(3x)^{2}-4^{2}\\
C&=&9x^{2}-16
\end{eqnarray*}
Exemples : Les identités remarquables peuvent servir pour calculer mentalement :
- $99\times 101=(100-1)(100+1)=100^{2}-1^{2}=10~000-1=9~999$
- $29^{2}=(30-1)^{2}=30^{2}-2\times 30\times 1
+1^{2}=900-60+1=841$
C) Le calcul littéral pour démontrer
Une expression littérale peut traduire un programme de calcul. Cela permet de justifier que des programmes de calcul sont équivalents.
Exemple : Les programmes de calcul ci-dessous sont-ils équivalents ?
- Choisir un nombre
- Ajouter 7
- Ajouter le nombre de départ
- Choisir un nombre
- Multiplier le résultat par 2
- Ajouter 10
- Retrancher 3
Choisissons $x$ pour remplacer le nombre de départ :
- $x$
- $x+7$
- $x+7+x=2x+7$
- $x$
- $2\times x$
- $2\times x+10$
- $2\times x+10-3=2x+7$
Le résultat de ces deux programmes est donc identique pour n’importe quelle valeur de $x$. Donc ces deux programmes de calcul sont équivalents.
Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.
Exemples :
- Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être la somme de deux entiers consécutifs » par l’expression littérale : $n+(n+1)$.
- Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être un multiple de 3 » par l’expression littérale : $3\times n=3n$.
- Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être un nombre pair » par l’expression littérale : $2\times n=2n$.
- Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être un nombre impair » par l’expression littérale : $2\times n+1=2n+1$.
Le calcul littéral permet de démontrer qu’une propriété est vraie.
Exemple : Montrer que pour n’importe quel nombre entier $n$, $(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$ est un multiple de 4.
\begin{eqnarray*}
(n+1)^{2}-(n-1)^{2}&=&[n^{2}+2\times n\times 1+1^{2}]-[n^{2}-2\times n\times 1+1^{2}]\\
&=&[n^{2}+2n+1]-[n^{2}-2n+1]\\
&=&n^{2}+2n+1-n^{2}+2n-1\\
&=&4n
\end{eqnarray*}
Donc pour tout nombre entier $n$, $(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$ est bien un multiple de 4.
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Chapitre 1 : les nombres premiers
Chapitre 1
Les nombres premiers
Chapitre 1 : Les nombres premiers
A) Multiples et diviseurs d'un nombre
Définition : Le nombre $a$ est divisible par le nombre $b$ lorsqu’il existe un nombre entier $c$ non nul tel que :
\[a=b\times c\]On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$ ou que $b$ est un diviseur de $a$.
Exemples : 60 est-il un multiple de 12 ? 1 974 est-il divisible par 84 ?
60 est un multiple de 12 car $60=12\times 5$.
On dit également :
- 60 est divisible par 12 (et par 5) ;
- 12 (ou 5) est un diviseur de 60.
1 974 n’est pas divisible par 84 car :
$1~974\div 84=23,5$.
On dit également :
- 84 n’est pas un diviseur de 1 974 ;
- 1 974 n’est pas un multiple de 84.
Propriétés :
- Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
- Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
- Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.
Démonstration : Dans le cas de la divisibilité par 5 avec $n$ un nombre entier à trois chiffres.
$n$ est donc un nombre entier à trois chiffres dont le chiffre des centaines est $c$, le chiffre des dizaines est $d$ et le chiffre des unités est $u$. On a alors :
\begin{eqnarray*}
n&=&100\times c+10\times d+u\\
n&=&5\times 20\times c+5\times 2\times d+u\\
n&=&5\times (20c+2d)+u\\
\end{eqnarray*}
Or $5\times (20c+2d)$ est divisible par 5. Donc $n$ est divisible par 5 dans le cas où $u$ est divisible par 5 c’est à dire si $u$ est égal à 0 où 5.
B) Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
- 12 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2,3, 4, 6, 12.
- 1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.
- 0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non-nul.
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… sont tous les nombres premiers inférieurs à 40.
C) Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près.
Exemple : Décomposition de 76 en produit de facteurs premiers.
On cherche ses diviseurs premiers dans l’ordre croissant :
- 76 est divisible par 2: $76=2\times 38$.
- 38 est divisible par 2: $76=2\times 2\times 19$.
Or 19 est un nombre premier, donc la décomposition de 76 en produit de facteurs premiers est terminée :
\[76=2\times 2\times 19=2^{2}\times 19\]
Exemple : La décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers permet de trouver le PGCD et le PPCM de deux nombres. Cherchons le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de 120 et 36.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 120 et 36 est :
\begin{eqnarray*}
120&=&2\times 60\\
120&=&2\times 2\times 30\\
120&=&2\times 2\times 2\times 15\\
120&=&2\times 2\times 2\times 3\times 5\\
120&=&2^{3}\times 3\times 5\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
36&=&2\times 18\\
36&=&2\times 2\times 9\\
36&=&2\times 2\times 3\times 3\\
36&=&2^{2}\times 3^{2}\\
\end{eqnarray*}
- Le PGCD de 120 et 36 est alors : $2^{2}\times 3=4\times 3=12$.
- Le PPCM de 120 et 36 est alors : $2^{3}\times 3^{2}\times 5=8\times 9\times 5=360$.
D) Fraction irréductible
Définition : Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
Définition : Une fraction est dite irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
Exemple : Simplifier la fraction $\dfrac{84}{30}$ et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
$\dfrac{84}{30}=\dfrac{2\times \textcolor{blue}{2}\times \textcolor{red}{3}\times 7}{\textcolor{blue}{2}\times \textcolor{red}{3}\times 5}=\dfrac{2\times 7}{5}=\dfrac{14}{5}$.
Chapitre 1 : les nombres premiers Lire la suite »
Suite de Farey et cercles de Ford
Section d'excellence
Suite de Farey et cercles de Ford
A) Introduction
Extrait du document les fractions de Monsieur Farey, Robert FERACHOGLOU, Lycée Le Castel à Dijon :
Le géologue anglais John Farey suggéra en 1816 de ranger dans l’ordre croissant les fractions irréductibles, comprises entre 0 et 1, et dont le dénominateur ne dépasse pas une valeur donnée.
Par exemple, celles dont le dénominateur est inférieur ou égal à 3 se rangent ainsi :
\[\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\]
Farey remarqua qu’une telle suite possédait de jolies propriétés. Cependant Farey, qui n’était qu’un mathématicien moyen (et même un géologue quelconque, puisqu’il est aujourd’hui presque entièrement oublié en tant que tel), ne donna aucune preuve des résultats publiés. C’est Louis Augustin Cauchy qui démontra les propriétés en question ; ce dernier, bon prince, a conservé le nom de Farey attaché à ces suites de fractions.
Ce document propose de mettre en évidence quelques propriétés des suites de Farey et des cercles de Ford.
B) Définitions et premières conjectures
Définition : La suite de Farey de rang $n$, noté $F_{n}$ , est la suite finie formée par les fractions irréductibles de dénominateur inférieur ou égal à $n$ comprises entre 0 et 1, rangées dans l’ordre croissant.
Exemples :
- $F_{1}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{2}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{3}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{1}\right)$
Définition : Soient deux fractions consécutifs $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ d’une suite de Farey.
On appelle fraction médiane des fractions $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ la fraction $\dfrac{p}{q}$ telle que :
\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{a+c}{b+d}\]
Dans un premier, les élèves de la section ont déterminé $F_{4}$, $F_{5}$ et $F_{6}$ :
- $F_{4}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{5}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{1}{1}\right)$
- $F_{6}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{5}{6},\dfrac{1}{1}\right)$
Voici quelques conjectures émises par les élèves :
-
- La fraction $\dfrac{1}{2}$ occupe la position médiane dans $F_{n}$.
- En choisissant deux fractions consécutives de $F_{n}$ (notées $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$) et en calculant $bc-ad$, on obtient toujours $1$ : \[bc-ad=1\]
- Si $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{e}{f}$ et $\dfrac{c}{d}$ sont, dans cet ordre, trois fractions successives d’une même suite de Farey, alors (addition des cancres) :\[\dfrac{e}{f}=\dfrac{a+c}{b+d}\]
- $F_n$ est la réunion de $F_{n-1}$ et de l’ensemble des fractions médianes de $F_{n-1}$ de dénominateur égal à $n$.
Remarques :
- La première conjecture n’a pas été démontrée en classe.
- La deuxième conjecture n’a également pas été démontrée en classe mais vérifiée dans certains cas :
Dans $F_{5}$, on choisit $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{c}{d}=\dfrac{1}{2}$. On obtient alors :
\[bc-ad=5\times 1-2\times 2=5-4=1\] - La troisième conjecture peut-être démontrée en classe avec les très bons élèves :
Démonstration : Soient 3 termes consécutifs d’une suite de Farey : $\dfrac{a}{b}<\dfrac{p}{q}<\dfrac{c}{d}$.
On a donc :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pb-aq = 1 \\
cq-pd = 1
\end{array}
\right.
\]On multiplie la première équation par $c$ et la deuxième par $a$ :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pb-aq =1~~~~\times c \\
cq-pd =1~~~~\times a
\end{array}
\right.
\]On multiplie la première équation par $d$ et la deuxième par $b$ :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pb-aq = 1~~~~\times d \\
cq-pd = 1~~~~\times b
\end{array}
\right.
\]On obtient alors :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pbc-aqc = c \\
cqa-pda = a
\end{array}
\right.
\]\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
pbd-aqd = d\\
cqb-pdb = b
\end{array}
\right.
\]Par somme :
\[pbc-pad=a+c\]\[
cqb-adq=b+d
\]On en déduit en factorisant les membres de gauche :
\[
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
p(bc-ad) = a+c\\
q(bc-ad) = b+d
\end{array}
\right.
\]Par quotient :
\[\dfrac{p(bc-ad)}{q(bc-ad)}=\dfrac{a+c}{b+d}\]Ainsi, en simplifiant par $(bc-ad)$ :
\[\dfrac{p}{q}=\dfrac{a+c}{b+d}\] - Les fractions de $F_7$ sont ainsi obtenues en ajoutant aux fractions de $F_6$ l’ensemble des fractions médianes de $F_6$ de dénominateur égal à 6. Par ailleurs, les fractions médianes de $F_6$ sont les premières à apparaître entre deux fractions de $F_7$. Ainsi :
$F_{7}=\left(\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{7},\dfrac{1}{2},\dfrac{4}{7},\dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{7},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},\dfrac{5}{6},\dfrac{6}{7},\dfrac{1}{1}\right)$
C) Lien avec les cercles de Ford
Le mathématicien américain Lester Randolph Ford (1886-1975), spécialiste en théorie des nombres, se pencha à titre ludique sur les fractions de Farey. Il en donna en 1917 une propriété géométrique étonnante, que nous allons développer ci-dessous.
Définition : Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls. On représente sur l’axe des abscisses et au dessus de chaque fraction $\dfrac{a}{b}$
le cercle de rayon $\dfrac{1}{2b^{2}}$ , appelé cercle de Ford de $\dfrac{a}{b}$.
Exemples : Les cercles de Ford associés à $F_{1}$, $F_{2}$, $F_{3} et $F_{6}$.
Les élèves ont conjecturé que les cercles de Ford associés à deux termes consécutifs d’une même suite de Farey sont tangents entre eux.
Démonstration : Voici la preuve pour les cercles de Ford associés aux fractions $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{2}$ :
On a :
- $0_{1}A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$
- $0_{2}A=\dfrac{1}{2\times 2^{2}}-\dfrac{1}{2\times 3^{2}}=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{72}-\dfrac{4}{72}=\dfrac{5}{72}$
Le triangle $O_{1}O_{2}A$ est rectangle en $A$.
D’après le théorème de Pythagore :
\begin{eqnarray*}
O_{1}O_{2}^{2}&=&0_{1}A^{2}+0_{2}A^{2}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}+\left(\dfrac{5}{72}\right)^{2}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{1}{36}+\dfrac{25}{5~184}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{144}{5~184}+\dfrac{25}{5~184}\\
O_{1}O_{2}^{2}&=&\dfrac{169}{5~184}\\
O_{1}O_{2}&=&\sqrt{\dfrac{169}{5~184}}\\
O_{1}O_{2}&=&\dfrac{13}{72}
\end{eqnarray*}
Or : $O_{1}I+IO_{2}=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{9}{72}+\dfrac{4}{72}=\dfrac{13}{72}$
Donc :
\[O_{1}O_{2}=O_{1}I+IO_{2}\]Ceci prouve que les deux cercles sont tangents.
Les propriétés précédentes des cercles de Ford ont inspiré certains artistes. Voici une image de Jos Leys, artiste géomètre :
D’autres images sur le site de Jos Leys.
D) Approximation d'un réel
Pour finir, les élèves de la section ont découvert une application possible des suites de Farey : on souhaite encadrer le nombre $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ par des fractions dont le dénominateur ne dépasse pas 20.
On commence par encadrer par deux termes consécutifs de $F_2$ :
\[\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{1}\]
Ensuite, on calcule la fraction médiane de $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{1}$ :
\[\dfrac{1+1}{2+1}=\dfrac{2}{3}\]
Ainsi, à l’étape 2 :
\[\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{1}\]
Etape 3 :
\[\dfrac{2+1}{3+1}=\dfrac{3}{4}\]
\[\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{3}{4}\]
Finalement, après plusieurs étapes, on obtient l’encadrement voulu :
\[\dfrac{12}{17}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{5}{7}\]
Voici un programme Scratch donnant un encadrement de $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ par des fractions dont le dénominateur ne dépasse pas $20$ :
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ChatGPT pour générer des questions
Dans cet article, je vous explique comment générer un nombre important de questions très rapidement avec ChatGPT. L’exemple proposé est pour un import dans Moodle avec un fichier au format gift.
L’intérêt est de générer dans Moodle un test de 5 questions qui seront piochées aléatoirement parmi 20 questions. Ainsi, lorsque l’élève décide de refaire le test, les questions seront différentes. Les élèves de la classe auront également des questions différentes.
Pour cela, se connecter à ChatGPT : https://chatgpt.com/
Voici un exemple de requête:
Peux-tu me générer 15 questions au format réponse courte pour un import Moodle (code pour import dans un fichier gift) sur calculer une quatrième proportionnel dans un tableau : tu proposes 4 cases dans un tableau de proportionnalité, 3 cases à valeurs numériques et une avec une lettre. Il faut trouver la lettre.
Il faut ensuite affiner la requête pour modifier la rédaction de la question, la correction, certaines valeurs numériques… Le code fourni est à coller dans un fichier texte et à importer dans Moodle :
Ci-dessous, une image d’une des questions du test que verra l’élève :
Bien évidemment, une petite relecture s’impose. ChatGPT est encore capable de faire des erreurs de calcul. Pour les QCM, les distracteurs qu’il propose manquent souvent d’intérêt mais il est possible de lui faire rectifier.
En conclusion, ChatGPT peut être utile pour générer un nombre important d’exercices de base permettant de faire travailler la technique aux élèves. Il est capable d’adapter ses corrections et de jouer sur certaines variables didactiques (si on lui demande !). Oubliez le si vous souhaitez créer une véritable activité permettant d’introduire une nouvelle notion aux élèves…
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Caractéristique d’Euler d’un polyèdre
Section d'excellence
Caractéristique d'Euler
A) Polyèdres convexes
Définition : Un polyèdre est un solide dont toutes les faces sont des polygones.
Définition : Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur.
Exemple : Un polyèdre convexe (Dodécaèdre régulier).
Un polyèdre non convexe (Icosaèdre de Jessen).
B) Caractéristique d'Euler d'un polyèdre convexe
Les élèves se sont alors intéressés à la caractéristique d’Euler d’un polyèdre convexe.
Définition : La caractéristique d’Euler est la quantité $s-a+f$ où $s$ est le nombre de sommets, $a$ le nombre d’arêtes et $f$ le nombre de faces.
Pour les aider à établir une conjecture, ils disposaient de polyèdres convexes posés sur un îlot de la salle mais également de GéoGébra.
Exemples :
Cube adouci
Dodécaèdre rhombique
Les élèves finissent par conjecturer que la caractéristique d’Euler pour les polyèdres convexes est toujours égale à 2.
Théorème de Descartes-Euler : La quantité $s-a+f$ vaut 2 pour un polyèdre convexe.
Le théorème est formulé par Leonhard Euler en 1752. Il semble cependant que Descartes ait prouvé une relation
analogue dans un traité jamais publié. C’est la raison pour laquelle cette relation porte ce double nom.
Remarque : ce théorème est vrai uniquement pour les polyèdres convexes de genre 0.
C) Démonstration de la conjecture
Pour démontrer cette conjecture, il a fallu déformer le polyèdre, en l’aplatissant et en écartant
vers l’extérieur les côtés de cette face manquante. Nous obtenons alors le graphe planaire du polyèdre. En considérant
que tout l’extérieur du graphe obtenu représente la face enlevée au polyèdre de départ, le nombre de sommets,
d’arêtes et de faces n’a pas changé. Il suffit donc de démontrer que la caractéristique d’Euler d’un graphe planaire est
toujours égale à 2.
Exemple : graphe planaire d’un cube.
Exemple : graphes planaires de certains polyèdres.
Définition : Un graphe planaire est obtenu de la façon suivante : on choisit des points du plan appelés sommets. On peut ensuite choisir de relier les points distincts par des segments appelés arêtes, telles qu’elles ne s’intersectent pas.
Définition : On appelle face du graphe une région du plan entourée par des segments.
Remarque : Lors du dénombrement des faces, il ne faut pas oublier la face extérieure (celle qui est infinie).
Exemple : Un graphe planaire.
Ce graphe possède 7 sommets, 8 arêtes et 3 faces (2 faces + la face infinie).
Sa caractéristique d’Euler, noté $\chi$ vaut alors :
\[\chi =7-8+3=-1+3=2\]
Les élèves ont d’abord remarqué que transformer un graphe en figure ne comportant que des triangles et sans changer sa caractéristique d’Euler est toujours possible :
Ils ont ensuite établi quelques règles de simplification (qu’ils ont démontrés sur des exemples) qui ne changent pas la caractéristique d’Euler d’un graphe :
- on peut supprimer certaines arêtes du graphe sans changer son $\chi $.
- on peut supprimer un chapeau du graphe sans changer son $\chi $.
Démonstration (sur un exemple) : supprimer un chapeau ne change pas la caractéristique d’un graphe.
On remarque sur l’exemple ci-dessus que retirer $n$ chapeaux reviendrait à retirer $n$ sommets, $n$ faces et $2n$ arêtes. Ainsi, en appelant $\chi’$ la caractéristique d’Euler du graphe d’arrivée :
\[\chi’ =(s-n)-(a-2n)+f-n=s-n-a+2n+f-n=s-a+f=\chi\]
En appliquant les règles précédentes, on peut toujours transformer un graphe planaire quelconque en un segment dont la caractéristique d’Euler vaut 2. Ainsi, la caractéristique d’Euler d’un graphe planaire est toujours égale à 2 et il en est de même pour un polyèdre convexe.
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La fourmi de Langton
Section d'excellence
La fourmi de Langton
Les élèves de la section d’excellence en mathématiques se sont intéressés durant plusieurs séances à la fourmi de Langton.
La fourmi de Langton est un petit programme informatique imaginé par un chercheur américain s’appelant Chris
Langton et qui décrit une fourmi se déplaçant sur les cases d’une grille. Les règles qui régissent le mouvement de la fourmi sont d’une grande simplicité, et pourtant son comportement est complexe et tout sauf anodin. Et personne ne comprend vraiment pourquoi… Voici les principes de base de la fourmi de Langton :
• une grille est couverte de cases blanches ou noires ;
• sur une des cases de la grille se trouve une fourmi, capable de tourner, d’avancer et de changer la couleur de sa
case.
Les actions de la fourmi sont déterminées par la couleur de la case sur laquelle elle se trouve, et se déroulent toujours
dans le même ordre :
- si sa case est blanche, la fourmi tourne d’un quart de tour vers la droite, change la couleur de sa case en noir, et
avance d’une case ;
- si sa case est noire : la fourmi tourne d’un quart de tour vers la gauche, change la couleur de sa case en blanc, et avance d’une case.
Les élèves ont donc programmé les déplacements de cette fourmi avec le logiciel Scratch.
Au début, les motifs dessinés par la fourmi sont symétriques à certaines étapes. Ensuite, les motifs dessinés sont entièrement chaotiques. Finalement, après plus de 10 000 étapes, un changement se produit : la fourmi se met à tracer un motif régulier, répété le long d’une diagonale que l’on appelle l’autoroute. Incroyable !
Au bout de 11 740 étapes :
Programme Scratch fourmi de Langton
Les élèves se sont ensuite intéressés au cas 3 couleurs. La règle DGD suivie par la fourmi est alors la suivante :
- couleur blanche touchée, je tourne à Droite et je colorie la case en orange ;
- couleur orange touchée, je tourne à Gauche et je colorie la case en bleue ;
- couleur bleue touchée, je tourne à Droite et je colorie la case en blanc.
La fourmi ne trace plus l’autoroute mais un motif aléatoire :
Programme Scratch fourmi de Langton 3 couleurs
Certains élèves ont alors rajouté davantage de couleurs et créé des règles de déplacement.
La fourmi de Langton 4 couleurs suivant la règle GDDG dessine une structure carrée avec des motifs complexes à l’intérieur :
Programme Scratch fourmi de Langton 4 couleurs
La fourmi de Langton 10 couleurs suivant la règle DGDDDDGGGD dessine une structure carrée plus simple :
Programme Scratch fourmi de Langton 10 couleurs
La fourmi de Langton 12 couleurs suivant la règle DDGGGDGGGDDD dessine une structure triangulaire :
Pour finir, les élèves ont placé plusieurs fourmis sur la grille :
La fourmi de Langton Lire la suite »
Questions flash
Pour retravailler les évaluations nationales de 6e, 5e et 4e, les sections questions flash sont en développement.
Je les travaille en classe avec l’application Plickers. Pratique, ludique et très efficace, Plickers permet d’avoir une vue d’ensemble des résultats de ses élèves à une question posée.
Les documents proposés sont au format PDF. Ils peuvent être distribués aux élèves, projetés au tableau, ou retapés dans l’application Plickers. L’outil d’importation de questions doit faciliter le travail avec un simple copier-coller.
Plus d’informations ici : comment importer des questions dans Plickers
Questions flash Lire la suite »
Somme d’entiers consécutifs
Section d'excellence
Somme d'entiers consécutifs
Sujet : Que peut-on dire de la somme de plusieurs entiers consécutifs ?
Définition : Des entiers naturels consécutifs sont des entiers naturels qui se suivent immédiatement. Exemple : 234 ; 235 et 236 sont des entiers naturels consécutifs Nous nous sommes intéressés à la propriété suivante : Propriété : la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de trois. Voici quelques exemple :- Les nombres 17,18 et 19 sont trois entiers naturels consécutifs.
- Les nombres 5,6 et 7 sont trois entiers naturels consécutifs.
Nous avons ensuite essayé de voir si la propriété restait vraie avec quatre nombres entiers naturels consécutifs? Obtenons-nous un multiple de 4 ?
exemple : 13 + 14 + 15 + 16 = 58
58/ 4 = 14,5
14,5 n’étant pas dans la table de 4, donc 58 n’est pas un multiple de 4. Il est démontré que la somme de 4 entier naturels consécutifs n’est pas un multiple de 4.
En revanche, pour la somme de 5 entiers naturels consécutifs, cela fonctionne.
En effet : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 et 15 est bien un multiple de 5.
Démonstration :
on appelle n l’entier du milieu :
n – 2 + n – 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5n
5n est bien l’écriture d’un multiple de 5.
Finalement, nous avons voulu montrer que la somme des 999 premiers entiers consécutifs est égale à 499 500.
1 + 2 + 3 + … + 999 = 499 500 ?
Avec un regroupement astucieux des termes de cette somme, nous y sommes parvenus (sans utiliser de calculatrice !) :
1 + 2 + 3 + … +999
= (1+ 999) + (2 + 998) + (3 + 997) +…+ (499 + 501) + 500
= 499 x 1000 + 500
= 499 500
Deux fichiers Scratch à télécharger :
Somme d’entiers consécutifs Lire la suite »
Chapitre 26 : gestion de données
Chapitre 26
Gestion de données
Chapitre 26 : Gestion de données
A) Les tableaux
Les tableaux permettent de rassembler un grand nombre de données qu’ils présentent de façon organisée.
Un tableau à double entrée permet d’organiser des données selon deux types d’informations mis en relation.
Exemple : Le tableau à double entrée ci-dessous donne la répartition des élèves d’une classe selon deux types d’informations : leur sexe et leur âge.
D’après ce tableau, on peut dire :
- Il y a 15 garçons dans la classe.
- Il y a 10 filles qui ont 12 ans.
- Il y a 27 élèves dans cette classe.
B) Diagrammes en barre
Un diagramme en barres permet de comparer des données.
Exemple : Le diagramme en barres ci-dessous représente le sport pratiqué en dehors de l’école par les élèves d’une
classe de 6e :
On voit rapidement que le football est le sport le plus pratiqué dans la classe.
C) Diagrammes circulaires et semi-circulaires
Les diagrammes circulaires et semi-circulaires permettent de mettre en évidence la répartition de données suivant
plusieurs catégories.
Exemple : Le diagramme circulaire et le diagramme semi-circulaire ci-dessous donnent le nombre de repas pris au
restaurant par un enfant durant les vacances.
On constate que plus de la moitié des enfants prennent 0 repas ou 1 repas au restaurant pendant les vacances.
D) Les graphiques
Un graphique permet de représenter l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre.
Exemple : On a relevé toutes les heures les températures à Paris le 4 janvier 2015 :
On peut constater qu’il a fait 0 degré à 2 h du matin.
On peut également décrire l’évolution de la température : elle augmente entre minuit et 1 h, diminue entre 1 h et 2 h et augmente à nouveau jusqu’à 10 du matin.
Chapitre 26 : gestion de données Lire la suite »
Chapitres 25 : Quadrilatères particuliers
Chapitre 25
Quadrilatères particuliers et axes de symétrie
Chapitre 25 : Quadrilatères particuliers et axes de symétrie
A) Losange
Définition : Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.
Propriétés :
- Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.
- Un losange a ses angles opposés 2 à 2 de même mesure.
- Un losange a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires.
Exemple : Dans le losange $ABCD$ :
- Les droites $(d_{1})$, $(d_{2})$, $(RT)$ et $(US)$ sont les axes de symétrie.
- $J$ est le milieu de $[RT]$ et de $[SU]$.
- $RT=SU$ et $(RT)$ est perpendiculaire à $(SU)$.
B) Rectangle
Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droites.
Propriétés :
- Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
- Un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
- Un rectangle a des côtés opposés de même longueur et parallèles.
Exemple : Dans le rectangle $EFGH$ :
- Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont les axes de symétrie.
- $I$ est le milieu de $[EG]$ et de $[FH]$.
- $EG=HF$.
- $EF=GH$ et $EH=GF$.
C) Carré
Définition : Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droites et 4 côtés de même longueur.
Remarque : Un carré est à la fois un losange (il a quatre côtés de même longueur) et un rectangle (il a quatre angles
droits).
Propriétés :
- Un carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.
- Un carré a ses côtés opposés deux à deux parallèles.
- Un carré a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, qui sont perpendiculaires et qui ont la même longueur.
Exemple : Dans le carré $RSTU$ :
- Les droites $(d_{1})$, $(d_{2})$, $(RT)$ et $(US)$ sont les axes de symétrie.
- $J$ est le milieu de $[RT]$ et de $[SU]$.
- $RT=SU$ et $(RT)$ est perpendiculaire à $(SU)$.
D) Parallélogramme
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Exemple : Le quadrilatère $ABCD$ ci-dessous est un parallélogramme. Ses côtés opposés sont parallèles:\\
$(AB)//(DC)$ et $(AD)//(BC)$.
Remarques :
- Un parallélogramme ne possède pas d’axe de symétrie.
- Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.
- Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
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Chapitre 21 : Egalité de triangles
Chapitre 21
Egalité de triangles
Chapitre 21 : Egalité de triangles
A) Définition
Définition : Des triangles égaux sont des triangles superposables, c’est à dire qui ont des côtés deux à deux de même longueur et des angles deux à deux de même mesure.
Exemple : Les triangles ci-dessous sont égaux.
Vocabulaire : Lorsque deux triangles sont égaux, deux angles superposables sont dits angles homologues et deux côtés superposables sont dits côtés homologues.
B) Propriétés
Propriété : Si deux triangles ont un côté de même longueur et des angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux.
Exemple : Les triangles $ABC$ et $TSR$ sont-ils égaux ?
On sait que :
- $AB=RS$
- $\widehat{ABC}=\widehat{TRS}$
- $\widehat{BAC}=\widehat{TSR}$
Ainsi les deux triangles $ABC$ et $TRS$ ont un côté de même longueur et les angles adjacents à ce côté deux à deux de même mesure.
Donc ces deux triangles sont égaux.
Propriété : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre des côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles. Montrer que les triangles $EBF$ et $HFC$ sont égaux.
Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ étant parallèles, les angles alternes-internes $\widehat{BEF}$ et $\widehat{FCH}$ qu’elles déterminent sont de même mesure. Donc $\widehat{BEF}=\widehat{FCH}$.
De plus, $BE=HC$ et $EF=FC$.
Ainsi les deux triangles $BEF$ et $FHC$ ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.
Ces deux triangles sont donc égaux.
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Chapitre 20 : la double distributivité
Chapitre 20
La double distributivité
Chapitre 20 : La double distributivité
Propriété : $a$,$b$, $c$ et $d$ sont des nombres relatifs quelconques :
Démonstration :
$(a+b)(c+d)=(a+b)\times c+(a+b)\times d=a\times c+b\times c+a\times d+b\times d=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$
Exemples :
\begin{eqnarray*}
A&=&(3+2x)(x+4)\\
A&=&3\times x+3\times 4+2x\times x+2x\times 4\\
A&=&3x+12+2x^{2}+8x\\
A&=&2x^{2}+11x+12
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&(2x-5)(3x-4)\\
B&=&(2x+(-5))(3x+(-4))\\
B&=&2x\times 3x+2x\times (-4)+(-5)\times 3x+(-5)\times (-4)\\
B&=&6x^{2}+(-8x)+(-15x)+20\\
B&=&6x^{2}-23x+20\\
\end{eqnarray*}
Interprétation géométrique :
Exemples : avec une rédaction permettant d’aller plus vite…
\begin{eqnarray*}
B&=&(2x-5)(3x-4)\\
B&=&2x\times 3x-2x\times 4-5\times 3x+5\times 4\\
B&=&6x^{2}-8x-15x+20\\
B&=&6x^{2}-23x+20\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
C&=&(4x-7)(2x+6)-2(3x-4)\\
C&=&4x\times 2x+4x\times 6-7\times 2x-7\times 6-2\times 3x+2\times 4\\
C&=&8x^{2}+24x-14x-42-6x+8\\
C&=&8x^{2}+4x-34\\
\end{eqnarray*}
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Chapitre 19 : Translation et rotation
Chapitre 19
Translation et rotation
Chapitre 19 : Translation et rotation
A) Translation
Définition : Transformer un point ou une figure par translation c’est faire glisser ce point ou cette figure selon une direction, un sens et une longueur donnés.
Remarque : La translation est symbolisée par une flèche qui donne la direction, le sens et la longueur de ce déplacement.
Exemples : Sur les figures ci-dessous, le quadrilatère $A’B’C’D’$ et le triangle $A’B’C’$ sont les images du quadrilatère $ABCD$ et du triangle $ABC$ par la translation qui transforme le point $F$ en $G$. On dit que la translation est de vecteur $\overrightarrow{FG}$.
B) Propriétés de la translation
Propriété : Si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme aussi $C$ en $D$, alors $ABDC$ est un parallélogramme éventuellement aplati.
Exemple : Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
Démonstration : D’après la définition d’une translation, on a :
$AB=CD$ et $(AB)$//$(CD)$.
Un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc $ABDC$ est un parallélogramme.
Propriété : Une translation conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la translation qui transforme $E$ en $E’$. On a :
$\text{AB}=\text{A’B’}$- $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A’B’C’}}$
- $A_{\text{ABC}}=A_{\text{A’B’C’}}$
- $P_{\text{ABC}}=P_{\text{A’B’C’}}$
- Les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés donc les points $A’$, $D’$ et $C’$ sont aussi alignés.
C) Rotation
Définitions :
- Transformer un point ou une figure par rotation c’est faire tourner ce point ou cette figure par rapport à un centre de rotation et un angle.
- Le sens inverse des aiguille d’une montre est appelé sens direct.
Exemples :
- Le point $M’$ est l’image du point $M$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $45$° dans le sens direct.
- Le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $70$° dans le sens direct.
D) Propriétés de la rotation
Propriété : Une rotation conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $80$° dans le sens direct.
$\text{AB}=\text{A’B’}$- $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A’B’C’}}$
- $A_{\text{ABC}}=A_{\text{A’B’C’}}$
- $P_{\text{ABC}}=P_{\text{A’B’C’}}$
- Les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés donc les points $A’$, $D’$ et $C’$ sont aussi alignés.
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Chapitre 18 : Statistiques et tableur
Chapitre 18
Statistiques et tableur
Chapitre 18 : Statistiques et tableur
A) Moyenne d'une série statistiques
Définition : La moyenne d’une série de valeurs est le nombre obtenu :
- en additionnant toutes les valeurs de la série ;
- en divisant cette somme par l’effectif total de la série.
Exemple : On a relevé les distances (en km) parcourues par un commercial au cours de ses $7$ derniers jours travaillés. On peut calculer la distance moyenne journalière de deux manières différentes :
- Avec un tableur :
En A9, on tape la formule : =MOYENNE(A2: A8) - A la main :
\[\dfrac{374~\text{km}+475~\text{km}+326~\text{km}+408~\text{km}+372~\text{km}+431
~\text{km}+274~\text{km}}{7}=380~\text{km}\]
La distance moyenne journalière parcourue par ce commercial est égales à $380~\text{km}$.
Interprétation : Si ce commercial avait parcouru le même nombre de kilomètres chaque jour, celui-ci serait de $380$ km.
Remarque : Le tableur permet de traiter des données réelles en grand nombre en s’affranchissant de calculs fastidieux.
B) Médiane d'une série statistiques
Définition : Les valeurs d’une série statistique étant rangées par ordre croissant (ou décroissant), la médiane est un nombre M tel que :
- au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à M ;
- au moins la moitié des valeurs de la série sont supérieures ou égales à M.
Exemple : (Effectif total impair)
Calculer la médiane de la série suivante :
\[6-15-26-14-30-21-18-9-13\]
Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[6-9-13-14-15-18-21-26-30\]Je calcule l’effectif total : $9$
$9\div 2=4,5$ donc la médiane est la 5ème valeur : $M=15$
Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Exemple : (Effectif total pair)
Calculer la médiane de la série suivante :
\[16-4-2-12-9-15-17-1\]
Je range les valeurs de la série dans l’ordre croissant :
\[1-2-4-9-12-15-16-17\]Je calcule l’effectif total : $8$
$8\div 2=4$ donc la médiane est la moyenne des 4ème et 5ème valeurs :
\[M = \dfrac{9+12}{2}=10,5\]Il y a $5$ valeurs inférieures ou égales à la médiane et $5$ valeurs supérieures ou égales à la médiane.
Exemple : Calculer la médiane de la série des lancers de javelot ci-dessous.
On peut calculer la médiane de deux manières différentes :
- Avec le tableur :
En H4, on tape la formule : =MEDIANE(A1: G4) - A la main :
L’effectif total est $28$.
$28$ est pair donc la médiane est la moyenne des 14ème et 15ème longueurs. Elles sont égales à $41~\text{m}$ et $42~\text{m}$.
\[M= \dfrac{41~\text{m}+42~\text{m}}{2}=41,5~\text{m}\]La médiane est $41,5~\text{m}$.
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Chapitre 17 : La réciproque du théorème de Thalès
Chapitre 17
La réciproque du théorème de Thalès
Chapitre 17 : La réciproque du théorème de Thalès
Propriété : Si deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en un point $A$,
si les points $A, M, B$ et les points $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre, et si $ \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} $ alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.
Remarque : Ce théorème permet de prouver que deux droites sont parallèles.
Exemple : Avec les données de la figure ci-dessous, démontrer que $(OL)$ est parallèle à $(UP)$.
\[
\left.
\begin{array}{ccccc}
\dfrac{IO}{IP}&=&\dfrac{6}{10,5}&=&\dfrac{4}{7}\\
\\
\dfrac{IL}{IU}&=&\dfrac{4}{7}&&\\
\end{array}
\right\}\mbox{Donc}~~\dfrac{IO}{IP}=\dfrac{IL}{IU}
\]- Les droites $(IP)$ et $(IU)$ sont sécantes en $I$.
- Les points $I, O, P$ et $I,L,U$ sont alignés dans le même ordre.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que $(OL)$ est parallèle à $(UP)$.
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