Chapitre 3
Nombres en écriture fractionnaire
Chapitre 3 : Nombres en écriture fractionnaire
A) Ecriture fractionnaire d'un quotient
Définition : $a$ et $b$ désignent deux nombres avec $b \neq 0$. Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
On le note $a \div b$ ou en écriture fractionnaire : $\dfrac{a}{b}$.
Exemple : Compléter l’égalité ci-dessous :
\[3\times…=4\]\[3\times\dfrac{4}{3}=4\]
Exemples :
- $\dfrac{3}{4}=3\div 4=0,75$ (le quotient s’écrit sous forme d’un nombre décimal).
- $\dfrac{11}{6}\approx 1,833$ (le quotient ne s’écrit pas sous forme d’un nombre décimal. On donne ici une valeur approchée au millième près).
B) Placer une fraction sur une demi-droite graduée
Exemple : Pour placer sur la demi-droite graduée ci-dessous, les fractions $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{3}$, il faut couper l’unité en 3 parties égales.
C) Quotients égaux
Propriété : Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un
même nombre non nul.
Démonstration : Démontrons que $\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{10}$.
$\dfrac{3}{2}\times 10=\dfrac{3}{2}\times 2\times 5$.
Or, $\dfrac{3}{2}\times 2=3$. On peut donc écrire :
$\dfrac{3}{2}\times 10=3\times 5=15$.
Par définition du quotient, on a donc que $\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{10}$, puisque $\dfrac{3}{2}$ multiplié par 10 donne 15.
Exemples :
Remarque : Pour calculer le quotient d’un nombre décimal par un nombre décimal, on applique la propriété précédente pour obtenir un diviseur entier.
Exemples : Calculer $9,54\div 1,8$.
On ne sait pas poser cette division car le diviseur est un nombre écrit avec une écriture décimale. On utilise la propriété précédente pour écrire ce quotient avec un diviseur sous la forme d’un nombre entier :
$\dfrac{9,54}{1,8}=\dfrac{9,54\times \textcolor{red}{10}}{1,8\times \textcolor{red}{10}}=\dfrac{95,4}{18}$
On peut maintenant poser l’opération, on trouve alors :
Donc: $9,54\div 1,8=5,3$
D) Simplifier une fraction
Définition : Simplifier une fraction, c’est écrire une fraction qui lui est égale mais avec un numérateur et un dénominateur
plus petits.
Exemples :
Remarque : Il est utile de connaître certains critères de divisibilité pour simplifier une fraction.
Propriétés :
- Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
- Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
- Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
• Donner l’écriture décimale d’un quotient.
• Placer une fraction sur une demi-droite graduée.
• Compléter des égalités du type $3\times …=4$.
• Compléter des égalités du type $\dfrac{8}{5}=\dfrac{…}{45}$.
• Déterminer si deux quotients sont égaux ou non.
• Résoudre des problèmes de proportion.
• Simplifier une fraction.