Chapitre 11
Le théorème de Thalès
Chapitre 11 : Le théorème de Thalès
A) Le théorème de Thalès
Propriété : $ABC$ est un triangle.
Si les points $M$ et $N$ sont des points respectifs des demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ tels que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors :
\[\dfrac{A\textcolor{red}{M}}{A\textcolor{blue}{B}}=\dfrac{A\textcolor{red}{N}}{A\textcolor{blue}{C}}=\dfrac{\textcolor{red}{MN}}{\textcolor{blue}{BC}}\]
Démonstration : Les droites $(BC)$ et $(MN)$ étant parallèles, les angles correspondants $\widehat{ABC}$ et $\widehat{AMN}$ et les angles correspondants $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ANM}$ ont la même mesure.
Ainsi, les triangles $ABC$ et $AMN$ ont leurs angles deux à deux de même mesure (on dit que les deux triangles sont semblables).
Donc le triangle $ABC$ est un agrandissement (ou une réduction) du triangle $AMN$. On obtient donc les longueurs des côtés d’un des triangles en multipliant par un nombre non nul les longueurs des côtés de l’autre triangle. Ceci revient à dire que le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
On peut alors écrire les égalités suivantes :
\[\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\]
- En présence d’une configuration de Thalès, le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
- Le triangle $AMN$ est un agrandissement ou une réduction du triangle $ABC$.
- Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs.
B) Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
Exemple : Soit un triangle tel que $AC = 7$ cm, $AB = 2,5$ cm et $BC = 8$ cm.
Soit $M$ un point appartenant au segment $[AB]$ tel que $AM = 1,7$ cm et $N$ le point d’intersection de la droite $(BC)$ avec la parallèle à $(AC)$ passant par $M$.
Calculer $BN$.
$M\in [AB]$
$N\in [BC]$
Les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}\]
\[\dfrac{0,8}{2,5}=\dfrac{BN}{8}=\dfrac{MN}{7}\]
Donc :
\[\dfrac{0,8}{2,5}=\dfrac{BN}{8}\]
Ainsi :
\[BN=\dfrac{0,8\times 8}{2,5}=2,56~\text{cm}\]
C) Justifier que deux droites ne sont pas parallèles
Propriété : $ABC$ est un triangle.
Si les points $M$ et $N$ sont des points respectifs des demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ tels que $\dfrac{A\textcolor{red}{M}}{A\textcolor{blue}{B}}\neq \dfrac{A\textcolor{red}{N}}{A\textcolor{blue}{C}} $ alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.
Exemple : On donne les longueurs suivantes :
$AB = 6,3$ cm ; $BC = 4,9$ cm ; $AE = 17$ cm et $DE = 7$ cm.
Les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
\[
\left.
\begin{array}{ccccc}
\dfrac{AB}{AC}&=&\dfrac{6,3}{11,2}&=&\dfrac{9}{16}\\
\\
\dfrac{AD}{AE}&=&\dfrac{10}{17}&
\end{array}
\right\}\mbox{Donc}~~\dfrac{AB}{AC}\neq \dfrac{AD}{AE}
\]Donc les droites $(BD)$ et $(CE)$ ne sont pas parallèles.