Chapitre 9

Angles et parallélisme

cours de 5ème

Chapitre 9 : Angles et parallélisme

A) Vocabulaire

Définition : Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de
l’autre.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{zOt}$ sont opposés par le sommet. Ils ont donc la même mesure.

Deux angles opposés par le sommet

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Deux angles alternes-internes
Les angles codés en vert sont des angles alternes-internes.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Deux angles correspondants
Les angles codés en vert sont des angles correspondants.

B) Propriétés

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) qu’elles forment ont la même mesure.

Démonstration : Les angles $\widehat{xAv}$ et $\widehat{yBu}$ sont alternes-internes.
Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Le symétrique de l’angle $\widehat{xAv}$ par rapport au point $I$ est l’angle $\widehat{yBu}$.
Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles.
Donc $\widehat{xAv}=\widehat{yBu}$.

Pourquoi deux angles alternes-internes ont la même mesure ?

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(CH)$ coupe les droites parallèles $(BD)$ et $(FG)$ respectivement en $A$ et $E$.

Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FEA}$.

Deux angles alternes-internes de même mesure
Les angles $\widehat{FEA}$ et $\widehat{EAD}$ sont alternes-internes. Comme les droites $(BD)$ et $(FG)$ sont parallèles alors ces deux angles ont la même mesure. Donc:
\[\widehat{FEA}=\widehat{EAD}=152°\]

Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(PK)$ coupe la droite $(IL)$ en $J$ et la droite $(MO)$ en $N$.

Prouver que les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Une démonstration du parallélisme de deux droites
Les angles $\widehat{KJL}$ et $\widehat{JNO}$ sont correspondants. Or, ils ont la même mesure. Donc les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Remarque : Si deux droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires à une même droite $(t)$, alors $(d)$ et $(d’)$ sont parallèles. On retrouve le cas étudié en 6ème…

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles

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