Chapitre 12

Division de nombres rationnels

Cours de mathématiques de 4ème

Chapitre 12 : Division de nombres rationnels

A) Inverse d'un nombre rationnel non nul

Définition : L’inverse d’un nombre rationnel non nul $x$ est le nombre, qui multiplié par $x$, donne $1$.

Exemples :

  • L’inverse de $2$ est $0,5$ car $2\times 0,5=1$.
  • L’inverse de $-10$ est $-0,1$ car $-10\times (-0,1)=1$.

Propriétés :

  • L’inverse d’un nombre rationnel non nul $x$ est le nombre $\dfrac{1}{x}$.
  • $a$ et $b$ désignent deux nombres relatifs non nuls. L’inverse de $\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{green}{b}}$ est $\dfrac{\textcolor{green}{b}}{\textcolor{red}{a}}$.

Démonstrations :

  • $x\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{x\times 1}{x}=\dfrac{x}{x}=1$

 

  • $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{b}{a}=\dfrac{a\times b}{b\times a}=1$.

Exemples :

  • L’inverse de $\dfrac{3}{4}$ est $\dfrac{4}{3}$.
  • L’inverse de $\dfrac{-2}{7}$ est $\dfrac{7}{-2}$ c’est à dire $-\dfrac{7}{2}$.

B) Division de deux quotients

Propriété : Diviser par un nombre rationnel différent de $0$ revient à multiplier par son inverse. Ainsi, si $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres relatifs avec $b\neq 0$, $c\neq 0$ et $d\neq 0$, on a:
\[\dfrac{a}{b}\div \dfrac{\textcolor{green}{c}}{\textcolor{red}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{\textcolor{red}{d}}{\textcolor{green}{c}}\]

Démonstration : $\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}$ est le quotient de $\dfrac{a}{b}$ par $\dfrac{c}{d}$, c’est le nombre qui multiplié par $\dfrac{c}{d}$ donne $\dfrac{a}{b}$. Ainsi : \[\dfrac{c}{d}\times \left(\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\] De plus, \[\dfrac{c}{d}\times \left(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\right)=\dfrac{c}{d}\times \dfrac{a\times d}{b\times c}= \dfrac{c\times a\times d}{d\times b\times c}=\dfrac{a}{b}\] Ainsi, $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$ est également le nombre qui multiplié par $\dfrac{c}{d}$ donne $\dfrac{a}{b}$. Donc : \[\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\]

Exemples :

  • $A=\dfrac{-\dfrac{5}{3}~~~}{~\dfrac{6}{7}~}=-\dfrac{5}{3}\times \dfrac{7}{6}=-\dfrac{35}{18}$

 

  • $B=\dfrac{~~~\dfrac{5}{4}~~~}{-3~~~}=\dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{-3}=-\dfrac{5}{12}$

 

  • $C=\dfrac{-4~~}{~~\dfrac{7}{5}~~}=-4\times \dfrac{5}{7}=-\dfrac{20}{7}$

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