Chapitre 12
Division de nombres rationnels
Chapitre 12 : Division de nombres rationnels
A) Inverse d'un nombre rationnel non nul
Définition : L’inverse d’un nombre rationnel non nul $x$ est le nombre, qui multiplié par $x$, donne $1$.
Exemples :
- L’inverse de $2$ est $0,5$ car $2\times 0,5=1$.
- L’inverse de $-10$ est $-0,1$ car $-10\times (-0,1)=1$.
Propriétés :
- L’inverse d’un nombre rationnel non nul $x$ est le nombre $\dfrac{1}{x}$.
- $a$ et $b$ désignent deux nombres relatifs non nuls. L’inverse de $\dfrac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{green}{b}}$ est $\dfrac{\textcolor{green}{b}}{\textcolor{red}{a}}$.
Démonstrations :
- $x\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{x\times 1}{x}=\dfrac{x}{x}=1$
- $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{b}{a}=\dfrac{a\times b}{b\times a}=1$.
Exemples :
- L’inverse de $\dfrac{3}{4}$ est $\dfrac{4}{3}$.
- L’inverse de $\dfrac{-2}{7}$ est $\dfrac{7}{-2}$ c’est à dire $-\dfrac{7}{2}$.
B) Division de deux quotients
Propriété : Diviser par un nombre rationnel différent de $0$ revient à multiplier par son inverse. Ainsi, si $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres relatifs avec $b\neq 0$, $c\neq 0$ et $d\neq 0$, on a:
\[\dfrac{a}{b}\div \dfrac{\textcolor{green}{c}}{\textcolor{red}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{\textcolor{red}{d}}{\textcolor{green}{c}}\]
Démonstration :
$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}$ est le quotient de $\dfrac{a}{b}$ par $\dfrac{c}{d}$, c’est le nombre qui multiplié par $\dfrac{c}{d}$ donne $\dfrac{a}{b}$.
Ainsi :
\[\dfrac{c}{d}\times \left(\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\]
De plus,
\[\dfrac{c}{d}\times \left(\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\right)=\dfrac{c}{d}\times \dfrac{a\times d}{b\times c}= \dfrac{c\times a\times d}{d\times b\times c}=\dfrac{a}{b}\]
Ainsi, $\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}$ est également le nombre qui multiplié par $\dfrac{c}{d}$ donne $\dfrac{a}{b}$.
Donc :
\[\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}\]
Exemples :
- $A=\dfrac{-\dfrac{5}{3}~~~}{~\dfrac{6}{7}~}=-\dfrac{5}{3}\times \dfrac{7}{6}=-\dfrac{35}{18}$
- $B=\dfrac{~~~\dfrac{5}{4}~~~}{-3~~~}=\dfrac{5}{4}\times \dfrac{1}{-3}=-\dfrac{5}{12}$
- $C=\dfrac{-4~~}{~~\dfrac{7}{5}~~}=-4\times \dfrac{5}{7}=-\dfrac{20}{7}$