Chapitre 1

Multiplication et division de nombres relatifs

Cours de mathématiques de 4ème

Chapitre 1 : Multiplication et division de nombres relatifs

A) Rappels : addition et soustraction de nombres relatifs

Règle : La somme de deux nombres relatifs de même signe :

  • a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
  • a pour distance à zéro la somme des distances à zéro.

Exemples :

\[10,1+9,9=20\]

 

\[-3,7+(-2,3)=-6\]

Règle : La somme de deux nombres relatifs de signes contraires :

  • a pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
  • a pour distance à zéro la différence des distances à zéro.

Exemples :

\[7+(-2)=5\]

 

\[-4+7,2=3,2\]

Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on peut ajouter son opposé.

Exemples :

\[4-7=4+(-7)=-3\]

\[12-(-4)=12+4=16\]

\[-9-5=-9+(-5)=-14\]

Exemples :

On calcule de gauche à droite :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&2-8-(-12)\\
A&=&-6-(-12)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}

 

On écrit A avec des additions uniquement :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&-7+9+(-8)+12\\
A&=&9+12+(-7)+(-8)\\
A&=&21+(-15)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}

B) Multiplication de nombres relatifs

Règle : Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro et on applique la règle des signes suivante :

  • le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif ;
  • le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

Démonstration à partir d’un exemple :

On va démontrer que $(-5)\times (-3)=15$.

$(-5)\times (-3)+(-5)\times 3=(-5)\times [(-3)+3]=(-5)\times 0=0$.

Ainsi $(-5)\times 3$ est l’opposé de $(-5)\times (-3)$.

Donc $(-5)\times (-3)=15$. (Car l’opposé de $-15$ est $15$).

Exemples :

  • $5,2\times 10=52$ (Le produit est positif)
  • $(-6)\times (-4,3)=25,8$ (Le produit est positif)
  • $(-5,2)\times 10=-52$ (Le produit est négatif)
  • $6\times (-7)=-42$ (Le produit est négatif)

Règle : Quand on multiplie un nombre par $(−1)$ on obtient son opposé.

Démonstration :

$x\times (-1)+x=x\times (-1)+x\times 1=x\times [(-1)+1]=x\times 0=0$

Ainsi $x\times (-1)$ est bien l’opposé de $x$.

Exemples :

  • $(-1)\times 5,8=-5,8$
  • $(-1)\times (-8)=8$

Règle : Un produit de nombres relatifs est :

  • positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ;
  • négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.

Exemples :

  • $(\textcolor{red}{-0,2})\times 5\times (\textcolor{red}{-3})\times (\textcolor{red}{-4})\times (\textcolor{red}{-0,5})=6$ (Il y a $\textcolor{red}{4}$ facteurs négatifs donc le produit est positif).
  • $(\textcolor{red}{-3})\times 2\times (\textcolor{red}{-5})\times 4\times (\textcolor{red}{-10})=-1~200$ (Il y a $\textcolor{red}{3}$ facteurs négatifs donc le produit est négatif).

C) Division de deux nombres relatifs

Règle : Pour calculer le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise leurs distances à zéro et
on applique la règle des signes du produit.

Exemples :

  • $56\div (-7)=-8$
  • $\dfrac{-56}{-7}=(-56)\div (-7)=8$
  • $(-56)\div 7=-8$

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