Chapitre 13
Le parallélogramme
Chapitre 13 : Le parallélogramme
A) Définition du parallélogramme
Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Exemple : Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
B) Propriétés d’un parallélogramme
Propriétés :
- Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il possède un centre de symétrie qui est le point d’intersection de ses diagonales.
- Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
- Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
- Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
Démonstration :
- On introduit le point $O$, milieu de la diagonale $[AC]$. Le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$ est le point $C$. Le symétrique d’une droite étant une droite parallèle, on en déduit que les symétriques des droites $(AB)$ et $(BC)$ par rapport au point $O$ sont respectivement les droites $(CD)$ et $(AD)$. Le symétrique du point $B$ par rapport au point $O$ est donc à l’intersection des droites $(AD)$ et $(CD)$ : c’est donc le point $D$. Ainsi, le point $O$ est le centre de symétrie de ce parallélogramme.
- Le point $O$ étant le centre de symétrie du parallélogramme $ABCD$, le symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $O$ est le segment $[DC]$ et le symétrique du segment $[AD]$ par rapport au point $O$ est le segment $[BC]$. La symétrie centrale conservant les longueurs, on a bien : $AB=DC$ et $AD=BC$.
Exemple :
- $AB=DC$ et $AD=BC$.
- $(AB)//(DC)$ et $(AD)//(BC)$.
- $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ et $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$.
C) Reconnaître un parallélogramme
Propriétés :
- Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
- Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
- Connaître les propriétés du parallélogramme pour effectuer des constructions et mener des raisonnements.
- Reconnaître des parallélogrammes.
merci