Chapitre 19
Angles dans un triangle
Chapitre 19 : Angles dans un triangle
A) Somme des mesures des angles dans un triangle
Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.
Démonstration :
On trace la parallèle à la droite $(BC)$ passant par $A$.
Les angles rouges sont alternes-internes ainsi que les angles verts. Or, d’après la propriété précédente, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment ont la même mesure.
Ainsi, les angles rouges ont la même mesure et les angles verts ont la même mesure.
On en déduit que dans le triangle $ABC$ :
\[\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180\text{°}\]
Exemple : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DEF}$.
Dans un triangle, la somme des mesures des angles égales $180\text{°}$. Ainsi :
$\widehat{DEF}+\widehat{DFE}+\widehat{FDE}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}+36\text{°}+20\text{°}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-(20\text{°}+36\text{°})$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-56\text{°}$
$\widehat{DEF}=124\text{°}$
Exemple : Le triangle $IJK$ est rectangle isocèle en $I$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{IKJ}$.
$IKJ$ est isocèle en $I$ donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ainsi, $\widehat{IKJ}=\widehat{IJK}$.
Ainsi :
$\widehat{IKJ}=\dfrac{180\text{°}-90\text{°}}{2}=45\text{°}$
B) Triangle équilatéral
Propriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles mesure $60\text{°}$.
Exemple :
Le triangle $IJK$ est équilatéral donc ses 3 angles ont la même mesure.
$\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}$.
Donc $3\times \widehat{IJK}=180\text{°}$.
Ainsi $\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}=60\text{°}$.
