Chapitre 23
Les triangles
Chapitre 23 : Les triangles
A) Triangles particuliers
Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Vocabulaire : Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.
Exemple : Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ :
Définition : Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur.
Vocabulaire : Dans un triangle isocèle :
- Le sommet commun aux côtés de même longueur est appelé le sommet principal.
- Le côté opposé au sommet principal est appelé la base.
Exemple : Le triangle $DEF$ est isocèle en $F$.
Remarque : Un triangle peut être à la fois isocèle et rectangle.
Exemple : Le triangle $GHI$ est rectangle isocèle en $G$ :
Propriétés :
- Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
- Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.
Exemple : Dans le triangle $ABC$ isocèle en $A$ :
- La droite $(AI)$ est la médiatrice de la base $[BC]$ et l’axe de symétrie du triangle $ABC$.
- Les angles à la base $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ ont la même mesure : $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Propriétés réciproques (admises) :
- Un triangle qui possède un axe de symétrie est isocèle.
- Un triangle qui a deux angles de même mesure est isocèle.
Définition : Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur.
Exemple : Le triangle $I JK$ est équilatéral.
Propriétés :
- Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
- Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure.
Exemple : Dans le triangle équilatéral $I JK$ :
- Les droites $(d_{1})$, $(d_{2})$ et $(d_{3})$, médiatrices respectives des côtés $[IK]$, $[KJ]$ et $[IJ]$, sont les axes de symétries.
- $\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{KIJ}$.
Propriétés réciproques (admises) :
- Un triangle qui possède 3 axes de symétrie est équilatéral.
- Un triangle qui a ses 3 angles de même mesure est un triangle équilatéral.
B) Cercle circonscrit à un triangle
Propriété : Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point. On dit qu’elles sont concourantes.
Définition : Ce point d’intersection est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
Exemple : Cercle circonscrit de centre O à un triangle ABC. (O est à l’extérieur du triangle ABC).
Exemple : Cercle circonscrit de centre O à un triangle ABC. (O est à l’intérieur du triangle ABC).
C) Somme des mesures des angles d'un triangle
Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.
Exemple : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DEF}$.
Dans un triangle, la somme des mesures des angles égales $180\text{°}$. Ainsi :
$\widehat{DEF}+\widehat{DFE}+\widehat{FDE}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}+36\text{°}+20\text{°}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-(20\text{°}+36\text{°})$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-56\text{°}$
$\widehat{DEF}=124\text{°}$
Exemple : Le triangle $IJK$ est rectangle isocèle en $I$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{IKJ}$.
$IKJ$ est isocèle en $I$ donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ainsi, $\widehat{IKJ}=\widehat{IJK}$.
Ainsi :
$\widehat{IKJ}=\dfrac{180\text{°}-90\text{°}}{2}=45\text{°}$
Propriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles mesure $60\text{°}$.