Chapitre 3
La simple distributivé
Chapitre 3 : La simple distributivité
A) La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Propriété (admise) : $k$, $a$, $b$ sont des nombres relatifs quelconques :
$\textcolor{red}{k} \times (a+b)=\textcolor{red}{k}\times a + \textcolor{red}{k}\times b$
Propriété : $k$, $a$, $b$ sont des nombres relatifs quelconques :
$\textcolor{red}{k} \times (a-b)=\textcolor{red}{k}\times a~-~\textcolor{red}{k}\times b$
Démonstration :
$k\times (a-b)=k\times (a+(-b))=k\times a+k\times (-b)=k\times a-k\times b$
Vocabulaire : On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition ou à la soustraction.
B) Développer
Définition : Développer une expression, c’est transformer une expression écrite sous la forme d’un produit en une expression écrite sous la forme d’une somme (ou d’une différence) en appliquant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (ou à la soustraction).
Exemples :
$A=3\textcolor{red}{\times} (6+x)~~~~(\text{A est le produit de 3 par la somme de 6 et de $x$})$
$A=3\times 6+3\times x$
$A=18\textcolor{red}{+}3x~~~~(\text{A est la somme de 18 et du produit de 3 par $x$})$
$B=x\textcolor{red}{\times }(4-x)~~~~(\text{B est le produit de $x$ par la différence de 4 et de $x$})$
$B=x\times 4-x\times x$
$B=4x\textcolor{red}{-}x^{2}~~~~(\text{B est la différence de $4x$ et de $x^{2}$})$
C) Factoriser
Définition : Factoriser une expression, c’est transformer une expression écrite sous la forme d’une somme en une expression écrite sous la forme d’un produit en appliquant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Vocabulaire : On dit que $k$ est un facteur commun aux termes $ka$ et $kb$.
Exemples :
$A=12\textcolor{red}{-}6x~~~~(\text{A est la différence de 12 et de $6x$.})$
$A=\textcolor{red}{6}\times 2-\textcolor{red}{6}\times x\\~~~~(\text{6 est le facteur commun.})$
$A=\textcolor{red}{6}\textcolor{red}{\times} (2-x)~~~~(\text{A est le produit de 6 par la différence de 2 et de $x$.})$
$B=2x\textcolor{red}{+}3x^{2}~~~~(\text{B est la somme de $2x$ et de $3x^{2}$.})$
$B=2\times \textcolor{red}{x}+3x\times \textcolor{red}{x}~~~~(\text{$x$ est le facteur commun.})$
$B=\textcolor{red}{x}\textcolor{red}{\times} (2+3x)~~~~(\text{B est le produit de $x$ par la somme de 2 et de $3x$.})$
Remarque : La factorisation peut permettre de démontrer une propriété.
Exemple : Prouver que la somme de deux nombres pairs quelconque est un nombre pair.
Soit deux nombres pair $2n$ et $2p$.
$2n+2p=2(n+p)$.
Or $2(n+p)$ est un nombre pair donc on a prouvé que la propriété est vraie quelque soit les nombres pairs choisis au départ.
D) Réduire une expression littérale
Définition : Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous la forme la plus simple possible en effectuant des calculs.
Exemples :
\begin{eqnarray*}
A&=&2x+1,3x\\
A&=&(2+1,3)x\\
A&=&3,3x
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&4x^{2}-7x^{2}+2x+4+3x+7\\
B&=&(4-7)x^{2}+(2+3)x+7+4\\
B&=&-3x^{2}+5x+11
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
C&=&-5x(2x-3)+7x\\
C&=&-5x\times 2x- (-5x)\times 3+7x\\
C&=&-10x^{2}-(-15x)+7x\\
C&=&-10x^{2}+15x+7x\\
C&=&-10x^{2}+22x
\end{eqnarray*}
Exemples (cas particuliers) :
\begin{eqnarray*}
A&=&3x\textcolor{red}{+}(8x-7)\\
A&=&3x+1\times (8x-7)\\
A&=&3x+1\times 8x-1\times 7\\
A&=&3x+8x-7\\
A&=&11x-7
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&12x\textcolor{red}{-}(4x+5)\\
B&=&12x+(-1)\times (4x+5)\\
B&=&12x+(-1)\times 4x+(-1)\times 5\\
B&=&12x+(-4x)+(-5)\\
B&=&8x-5
\end{eqnarray*}
Remarque : Réduire une expression peut permettre de prouver que deux expressions sont équivalentes.
Exemple : Les programmes de calcul ci-dessous sont-ils équivalents ?
Programme 1
- Choisir un nombre
- Ajouter 7
- Multiplier le résultat par 2.
Programme 2
- Choisir un nombre
- Multiplier le résultat par 3
- Ajouter 17
- Retrancher 3
- Retrancher le nombre de départ
Choisissons $x$ pour remplacer le nombre de départ :
Programme 1
- $x$
- $x+7$
- $2\times (x+7)$
Programme 2
- $x$
- $3\times x$
- $3x+17$
- $3x+17-3=3x+14$
- $3x+14-x=2x+14$
$2\times (x+7)=2\times x+2\times 7=2x+14$.
Le résultat de ces deux programmes est donc identique pour n’importe quelle valeur de $x$. Donc ces deux programmes de calcul sont équivalents.