Chapitre 5

Longueur, cercle et triangle

cours de 6ème

Chapitre 5 : Longueur, cercle et triangle

A) Unités de longueur

Un tableau des unités de longueur

Exemples :

  • $1~~\text{m}=100~~\text{cm}$ et $1~~\text{dm}=10~~\text{cm}$. Donc :

\[4,5~~\text{m}=4~~\text{m}+5~~\text{dm}=400~~\text{cm}+50~~\text{cm}=450~~\text{cm}\]

  • $1~~\text{hm}=100~~\text{m}$. Donc :

\[0,7~~\text{km}=0~~\text{km}+7~~\text{hm}=700~~\text{m}\]

  • $1~~\text{mm}=0,01~~\text{dm}$. Donc :

\[4~~\text{mm}=0,04~~\text{dm}\]

B) Longueur et milieu d’un segment

Définition : La longueur d’un segment $[AB]$ est la distance du point $A$ au point $B$. Elle est notée $AB$.

Exemple : Le segment $[AB]$ ci-dessous mesure $4,3~\text{cm}$. On note $AB = 4,3~\text{cm}$.

Un segment [AB]

Remarque : Sur une figure géométrique, on indique les segments de même longueur avec un codage.

Exemple : Sur la figure ci-dessous on a $AB = BC$ et $CD =DE$.

Un polygone avec des codages

Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est situé à égale distance de ses extrémités.

Exemple : Dire que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ signifie :
\[I\in [AB]~~~~\text{et}~~~~IA=IB\]

 

Le milieu d'un segment

C) Le cercle

Définitions : Un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un point appelé centre du cercle.
Cette distance est appelée le rayon du cercle.
Le diamètre d’un cercle est le double de son rayon.

Exemple : Le cercle ci-dessous à pour centre $M$. Le rayon de ce cercle est $3,2~\text{cm}$ et son diamètre est donc de $6,4~\text{cm}$ (le
double du rayon).

  • $[MP]$ est un rayon de ce cercle.
  • $[WR]$ est un diamètre de ce cercle.
  • $[WE]$ est une corde de ce cercle.
  • Propriétés :
    Tous les points d’un cercle de centre $O$ sont situés à la même distance du point $O$.
  • Deux points situés à la même distance d’un point $O$ appartiennent à un même cercle de centre $O$.

Définition : Un disque de centre $O$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale au rayon $R$.

D) Construction de triangles

Vocabulaire : Un triangle $TRS$ a :

  • Trois sommets : les points $T$ , $R$ et $S$.
  • Trois côtés : les segments $[TR]$, $[TS]$ et $[RS]$.

Exemple : Le triangle $TRS$ ci-dessous est un triangle quelconque :

Vocabulaire du triangle

Propriété :
$A$ et $ B$ désignent deux points distincts.
Pour tout point $C$, on a $AC+CB\geq AB$.

Propriétés :

  • Si un point $B$ appartient à un segment $[AC]$ alors $AB + BC = AC$.
  • Si $A$, $B$, $C$ sont trois points tels que $AB + BC = AC$ alors le point $B$ appartient au segment $[AC]$.

Exemples :

  • Peut-on construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 8$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 2$ cm ?

$AC+BC=4~\text{cm}+2~\text{cm}=6$ cm et $AB=8$ cm.
Donc $AC+BC<AB$ et on ne peut donc pas construire le triangle ABC.

  • Peut-on construction le triangle $KLM$ tel que $KL = 6$~cm; $LM = 5$~cm et $KM = 4,5$~cm ?

$LM+KM=5~\text{cm}+4,5~\text{cm}=9,5$ cm et $KL=6$ cm.\Donc $LM+KM>KL$ et on peut construire le triangle KLM.

Construction d'un triangle à la règle et au compas

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

  • Comprendre les relations entre les unités de longueur en faisant le lien avec les unités de numération.
  • Savoir construire un segment de longueur donné et placer son milieu.
  • Savoir coder une figure.
  • Connaître le vocabulaire du cercle et savoir tracer des cercles en utilisant mon compas.
  • Connaître le vocabulaire du triangle et savoir tracer des triangles dont on connaît les longueurs des 3 côtés.
  • Réaliser et rédiger un programme de construction.
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