Chapitre 9
Multiplication de nombres rationnels
Chapitre 9 : Multiplication de nombres rationnels
A) Multiplier deux nombres rationnels
Règle : Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire :
- on multiplie les numérateurs entre eux ;
- on multiplie les dénominateurs entre eux.
$a$, $b$, $c$ et $d$ représentent quatre nombres décimaux, avec $c\neq 0$ et $d\neq 0$ :
\[\dfrac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{c}}\times \dfrac{\textcolor{blue}{b}}{\textcolor{red}{d}}=\dfrac{\textcolor{blue}{a\times b}}{\textcolor{red}{c\times d}}\]
Démonstration à partir d’un exemple :
Par définition du quotient de deux nombres :
\[5\times \dfrac{4}{5}=4~~\text{et}~~3\times \dfrac{2}{3}=2\]$\dfrac{4\times 2}{5\times 3}$ est le nombre qui multiplié par $5\times 3$ donne $4\times 2$ :
$(5\times 3)\times \dfrac{4\times 2}{5\times 3}=4\times 2$
Or $(5\times 3)\times (\dfrac{4}{5}\times \dfrac{2}{3})=(5\times \dfrac{4}{5})\times (3\times \dfrac{2}{3})=4\times 2$.
Ainsi :
$\dfrac{4}{5}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{4\times 2}{5\times 3}$
Exemples :
- \[\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{2\times 4}{3\times 5}=\dfrac{8}{15}\]
- \[\dfrac{4,2}{7}\times \dfrac{3}{1,2}=\dfrac{4,2\times 3}{7\times 1,2}=\dfrac{12,6}{8,4}\]
- \[2\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{\textcolor{red}{1}}\times \dfrac{4}{3}=\dfrac{2\times 4}{1\times 3}=\dfrac{8}{3}\]
Exemple : Il est parfois utile de simplifier les fractions avant de se lancer dans les calculs.
\[\dfrac{25}{40}\times \dfrac{16}{20}=\dfrac{25\times 16}{40\times 20}=\dfrac{5\times 5\times 8\times 2}{8\times 5\times 5\times 4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\]
B) Prendre une fraction d’une quantité
Règle : Pour prendre une fraction d’une quantité, on multiplie cette fraction par cette quantité.
Exemple : Un triathlon se présente sous la forme d’un parcours de $20~\text{km}$ partagé en trois parties :
- natation pendant $\dfrac{1}{20}$ du parcours ;
- vélo pendant $\dfrac{3}{4}$ du parcours ;
- course à pied pendant le reste du parcours.
- Calculer la distance parcourue à la nage.
On calcule $\dfrac{1}{20}$ de $20~\text{km}$ :
$\dfrac{1}{20}\times 20~\text{km}=\dfrac{1\times 20~\text{km}}{20}=\dfrac{20~\text{km}}{20}=1~\text{km}~~(\text{ou}~~\dfrac{1}{20}\times 20~\text{km}=0,05\times 20~\text{km}=1~\text{km})$
On nage donc pendant $1~\text{km}$.
2. Calculer la distance parcourue à vélo.
On calcule $\dfrac{3}{4}$ de $20~\text{km}$ :
$\dfrac{3}{4}\times 20~\text{km}=\dfrac{3\times 20~\text{km}}{4}=\dfrac{60~\text{km}}{4}=15~\text{km}$
On pédale donc pendant $15~\text{km}$.
3. En déduire la distance parcourue en courant.
$20~\text{km}-1~\text{km}-15~\text{km}=4~\text{km}$
On court donc pendant $4~\text{km}$.
C) Enchaînement d’opérations
Il faut évidemment respecter les priorités opératoires pour calculer des expressions avec des nombres en écriture fractionnaire.
Exemples : Calculer les expressions suivantes :
\begin{eqnarray*}
A&=&\dfrac{7}{4}-\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}\times \dfrac{3}{2}}\\
A&=&\dfrac{7}{4}-\dfrac{9}{8}\\
A&=&\dfrac{7\textcolor{red}{\times 2}}{4\textcolor{red}{\times 2}}-\dfrac{9}{8}\\
A&=&\dfrac{14}{8}-\dfrac{9}{8}\\
A&=&\dfrac{5}{8}
\end{eqnarray*}