Chapitre 9
Triangles
Chapitre 9 : Triangles
A) Somme des mesures des angles dans un triangle
Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.
Démonstration :
On trace la parallèle à la droite $(BC)$ passant par $A$.
Les angles rouges sont alternes-internes ainsi que les angles verts. Or, d’après la propriété précédente, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment ont la même mesure.
Ainsi, les angles rouges ont la même mesure et les angles verts ont la même mesure.
On en déduit que dans le triangle $ABC$ :
\[\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180\text{°}\]
Exemple : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DEF}$.
Dans un triangle, la somme des mesures des angles égales $180\text{°}$. Ainsi :
$\widehat{DEF}+\widehat{DFE}+\widehat{FDE}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}+36\text{°}+20\text{°}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-(20\text{°}+36\text{°})$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-56\text{°}$
$\widehat{DEF}=124\text{°}$
Exemple : Le triangle $IJK$ est rectangle isocèle en $I$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{IKJ}$.
$IKJ$ est isocèle en $I$ donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ainsi, $\widehat{IKJ}=\widehat{IJK}$.
Ainsi :
$\widehat{IKJ}=\dfrac{180\text{°}-90\text{°}}{2}=45\text{°}$
Propriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles mesure $60\text{°}$.
Exemple :
Le triangle $IJK$ est équilatéral donc ses 3 angles ont la même mesure.
$\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}$.
Donc $3\times \widehat{IJK}=180\text{°}$.
Ainsi $\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}=60\text{°}$.
B) Construction de triangles
On peut construire un triangle avec les instruments de géométrie dans chacun des cas ci-dessous :
- on connaît les longueurs des trois côtés ;
- on connaît les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle adjacent à ces deux côtés ;
- on connaît la longueur d’un seul côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents.
Exemples : Dans chaque cas, construction du triangle $ABC$ avec le matériel de géométrie.
- $AB=3$ cm ; $AC = 4,3$ cm ; $CB=$5,2 cm :
- $AB=2,9$ cm ; $AC = 3,4$ cm ; $\widehat{CAB} = 38$° :
- $AB =$ 4,1 cm ; $\widehat{CAB} = 43$° ; $\widehat{CBA} = 51$° :
C) Médiatrices d'un triangle
Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.
Exemple : $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ : $(d)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(d)$ coupe $[AB]$ en son milieu.
Propriété : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
Propriété : Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point. On dit qu’elles sont concourantes.
Définition : Ce point d’intersection est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
Exemple : Cercle circonscrit de centre O à un triangle ABC. (O est à l’extérieur du triangle ABC).
Remarque : Le point $O$ peut également se situer à l’intérieur du triangle.
Définition : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
Propriété (admise) : Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.
Exemple : Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Le centre $O$ du cercle circonscrit se situe au milieu de l’hypoténuse $[AC]$.
D) Hauteurs d'un triangle
Définition : La hauteur issue d’un sommet d’un triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(d)$ est la hauteur issue du sommet $A$ du triangle $ABC$.
Propriété (admise) : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Définition : Leur point de concours est l’orthocentre du triangle.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le point $H$ est l’orthocentre du triangle $ABC$.
E) Médianes d'un triangle
Définition : Une médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(d)$ est la médiane issue du sommet $A$ du triangle $ABC$.
Propriété (admise) : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Définition : Leur point de concours est le centre de gravité du triangle.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le point $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
- Savoir calculer la mesure d’un angle dans un triangle.
- Savoir construire un triangle avec mes instruments de géométrie.
- Connaître les définitions et les propriétés des médiatrices, des hauteurs et des médianes d’un triangles.
- Savoir tracer le cercle circonscrit à un triangle.
- Savoir tracer l’orthocentre et le centre de gravité d’un triangle.