Chapitre 2
La symétrie centrale
Chapitre 2 : La symétrie centrale
A) Figures symétriques par rapport à un point
Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à un point $O$ lorsqu’elles se superposent en effectuant un demi-tour
autour de ce point.
On dit que $O$ est le centre de la symétrie.
Exemple :
B) Symétrique d'un point
Définition : Le symétrique d’un point $M$ par rapport à un point $O$ est le point $M’$ tel que le point $O$ est le milieu du segment $[MM’]$.
Remarque : Dans la symétrie de centre $O$, le symétrique du point $O$ est lui-même.
Exemple : Tracer le symétrique $A’$ du point $A$ par rapport au point $O$ en utilisant le quadrillage.
Exemple : Tracer le symétrique $A’$ du point $A$ par rapport au point $O$ en utilisant la règle et le compas.
C) Propriétés de la symétrie centrale
Propriétés : La symétrie centrale conserve :
• les longueurs ;
• l’alignement des points ;
• les mesures des angles ;
• les aires.
Exemple :
- $AB=A’B’$, $BC=B’C’$, $AC=A’C’$.
- Les points $A$, $E$ et $B$ sont alignés. Il en est de même des points $A’$, $E’$ et $B’$.
- $\widehat{ABC}=90°$ donc $\widehat{A’B’C’}=90°$.
- Les triangles $ABC$ et $A’B’C’$ ont la même aire.
Propriété : Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
Exemple : Les droites $(d’)$ et $(d)$ sont symétriques par rapport au point $O$. Elles sont donc parallèles.
Propriété : Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Exemple : Les segments $[AB]$ et $[A’B’]$ sont symétriques par rapport au point $O$. Ils ont donc la même longueur.
Propriété : Le symétrique d’un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon. Leurs centres sont symétriques
par rapport à ce point.
Exemple : Les cercles $C$ et $C’$ sont symétriques par rapport au point $O$. Ils ont donc le même rayon.
D) Centre de symétrie d'un figure
Propriété : Un point $O$ est centre de symétrie d’une figure lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport au point $O$.
Exemple : La figure ci-dessous possède un centre de symétrie : le point $O$.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
• Savoir construire le symétrique d’un point à la règle et au compas ou avec l’aide d’un quadrillage.
• Savoir construire le symétrique d’une figure à la règle et au compas ou avec l’aide d’un quadrillage.
• Connaître et savoir utiliser les propriétés de la symétrie centrale.
• Savoir reconnaître si une figure possède ou non un centre de symétrie.