Chapitre 1
Multiplication et division de nombres relatifs
Chapitre 1 : Multiplication et division de nombres relatifs
A) Rappels : addition et soustraction de nombres relatifs
Règle : La somme de deux nombres relatifs de même signe :
- a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
- a pour distance à zéro la somme des distances à zéro.
Exemples :
\[10,1+9,9=20\]
\[-3,7+(-2,3)=-6\]
Règle : La somme de deux nombres relatifs de signes contraires :
- a pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
- a pour distance à zéro la différence des distances à zéro.
Exemples :
\[7+(-2)=5\]
\[-4+7,2=3,2\]
Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on peut ajouter son opposé.
Exemples :
\[4-7=4+(-7)=-3\]
\[12-(-4)=12+4=16\]
Exemples :
On calcule de gauche à droite :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&2-8-(-12)\\
A&=&-6-(-12)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}
On écrit A avec des additions uniquement :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&-7+9+(-8)+12\\
A&=&9+12+(-7)+(-8)\\
A&=&21+(-15)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}
B) Multiplication de nombres relatifs
Règle : Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro et on applique la règle des signes suivante :
- le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif ;
- le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
Démonstration à partir d’un exemple :
On va démontrer que $(-5)\times (-3)=15$.
$(-5)\times (-3)+(-5)\times 3=(-5)\times [(-3)+3]=(-5)\times 0=0$.
Ainsi $(-5)\times 3$ est l’opposé de $(-5)\times (-3)$.
Donc $(-5)\times (-3)=15$. (Car l’opposé de $-15$ est $15$).
Exemples :
- $5,2\times 10=52$ (Le produit est positif)
- $(-6)\times (-4,3)=25,8$ (Le produit est positif)
- $(-5,2)\times 10=-52$ (Le produit est négatif)
- $6\times (-7)=-42$ (Le produit est négatif)
Règle : Quand on multiplie un nombre par $(−1)$ on obtient son opposé.
Démonstration :
$x\times (-1)+x=x\times (-1)+x\times 1=x\times [(-1)+1]=x\times 0=0$
Ainsi $x\times (-1)$ est bien l’opposé de $x$.
Exemples :
- $(-1)\times 5,8=-5,8$
- $(-1)\times (-8)=8$
Règle : Un produit de nombres relatifs est :
- positif si le nombre de facteurs négatifs est pair ;
- négatif si le nombre de facteurs négatifs est impair.
Exemples :
- $(\textcolor{red}{-0,2})\times 5\times (\textcolor{red}{-3})\times (\textcolor{red}{-4})\times (\textcolor{red}{-0,5})=6$ (Il y a $\textcolor{red}{4}$ facteurs négatifs donc le produit est positif).
- $(\textcolor{red}{-3})\times 2\times (\textcolor{red}{-5})\times 4\times (\textcolor{red}{-10})=-1~200$ (Il y a $\textcolor{red}{3}$ facteurs négatifs donc le produit est négatif).
C) Division de deux nombres relatifs
Règle : Pour calculer le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul, on divise leurs distances à zéro et
on applique la règle des signes du produit.
Exemples :
- $56\div (-7)=-8$
- $\dfrac{-56}{-7}=(-56)\div (-7)=8$
- $(-56)\div 7=-8$
Pratique et efficace merci mes élèves adores