Chapitre 11
Introduction au calcul littéral
Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral
A) Des nombres et des lettres
Définition : Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent des nombres.
Remarque : Une expression littérale peut traduire un programme de calcul.
Exemple : Voici un programme de calcul :
- Choisir un nombre
- Multiplier le résultat par 2
- Ajouter 10
En effectuant ce programme de calcul avec $x$, on obtient :
- $x$
- $2\times x$
- $2\times x+10$
L’expression littérale $2\times x+10$ permet de traduire ce programme de calcul.
Remarque : Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.
Exemples :
- Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être la somme de deux entiers consécutifs” par l’expression littérale :
\[n+(n+1)\] - Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être un multiple de 3” par l’expression littérale :
\[3\times n\]
B) Simplification d'écriture
Règle : On peut supprimer le signe $\times $ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.
Exemples :
- Le périmètre d’un carré est donné par l’expression : $P=4\times c=4c$.
- Le périmètre d’un rectangle est donné par l’expression : $P=2\times (l+L)=2(l+L)$.
- Le périmètre d’un cercle est donné par l’expression : $P=2\times \pi\times R=2\pi R$.
Exemples :
- $2\times a=2a$
- $a\times b=ab$
- $2+3\times b=2+3b$
- $a\times 2+4\times b=2\times a+4b=2a+4b$
- $(2+3)\times b=5\times b=5b$
- $a\times a=a^{2}$
C) Remplacer des lettres par des nombres
Pour calculer une expression littérale pour certaine valeur des lettres, il suffit de remplacer les lettres par ces valeurs.
D) Tester une égalité
Vocabulaire : Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe =.
Exemple :
\[\underbrace{5\times 4}_{\textcolor{red}{\text{Membre de gauche}}}=\underbrace{12+8}_{\textcolor{red}{\text{Membre de droite}}}\]
Définition : Tester une égalité de deux expressions signifie remplacer chaque lettre identique par une même valeur, et
indiquer si l’égalité est vraie ou fausse pour cette valeur.
Exemple : On considère l’égalité $3x-5=5x-9$.
- Cette égalité est-elle vraie pour $x=2$ ?
- On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{2}-5=6-5=1$
- On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{2}-9=10-9=1$
On trouve le même résultat, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est vraie pour $x=2$.
2. Cette égalité est-elle vraie pour $x=4$ ?
- On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{4}-5=12-5=7$
- On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{4}-9=20-9=11$
On trouve des résultats différents, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est fausse pour $x=4$.
E) Distributivité
Propriété : $a$, $b$ et $k$ désignent des nombres.
- $a\textcolor{red}{k}+b\textcolor{red}{k}=(a+b)\textcolor{red}{k}$
- $a\textcolor{red}{k}-b\textcolor{red}{k}=(a-b)\textcolor{red}{k}$
Exemples : Réduire les expressions ci-dessous.
\begin{eqnarray*}
C&=&2x^{2}+3x+6-x+8\\
C&=&2x^{2}+(3-1)x+6+8\\
C&=&2x^{2}+2x+14
\end{eqnarray*}
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
- Écrire une expression littérale traduisant un programme de calcul ou un problème.
- Simplifier une expression littérale.
- Remplacer une lettre par un nombre pour calculer la valeur d’une expression littérale.
- Tester une égalité.
- Réduire une expression.