Chapitre 11
Introduction au calcul littéral
Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral
A) Des nombres et des lettres
Définition : Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent des nombres.
Remarque : Une expression littérale peut traduire un programme de calcul.
Exemple : Voici un programme de calcul :
- Choisir un nombre
- Multiplier le résultat par 2
- Ajouter 10
En effectuant ce programme de calcul avec $x$, on obtient :
- $x$
- $2\times x$
- $2\times x+10$
L’expression littérale $2\times x+10$ permet de traduire ce programme de calcul.
Remarque : Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.
Exemples :
- Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être la somme de deux entiers consécutifs » par l’expression littérale :
\[n+(n+1)\] - Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être un multiple de 3 » par l’expression littérale :
\[3\times n\]
B) Simplification d'écriture
Règle : On peut supprimer le signe $\times $ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.
Exemples :
- Le périmètre d’un carré est donné par l’expression : $P=4\times c=4c$.
- Le périmètre d’un rectangle est donné par l’expression : $P=2\times (l+L)=2(l+L)$.
- Le périmètre d’un cercle est donné par l’expression : $P=2\times \pi\times R=2\pi R$.
Exemples :
- $2\times a=2a$
- $a\times b=ab$
- $2+3\times b=2+3b$
- $a\times 2+4\times b=2\times a+4b=2a+4b$
- $(2+3)\times b=5\times b=5b$
- $a\times a=a^{2}$
C) Remplacer des lettres par des nombres
Pour calculer une expression littérale pour certaines valeurs des lettres, il suffit de remplacer les lettres par ces valeurs.
D) Distributivité
Propriété : $a$, $b$ et $k$ désignent des nombres.
- $a\textcolor{red}{k}+b\textcolor{red}{k}=(a+b)\textcolor{red}{k}$
- $a\textcolor{red}{k}-b\textcolor{red}{k}=(a-b)\textcolor{red}{k}$
Exemples : Réduire les expressions ci-dessous.
\begin{eqnarray*}
C&=&2x^{2}+3x+6-x+8\\
C&=&2x^{2}+(3-1)x+6+8\\
C&=&2x^{2}+2x+14
\end{eqnarray*}
Définition : Développer un produit c’est transformer ce produit en somme ou en différence.
Exemples : Développer les expressions suivantes.
\begin{eqnarray*}
A&=&6(7+x)\\
A&=&6\times 7+6\times x\\
A&=&42+6x
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&9(y-6)\\
B&=&9\times y-9\times 6\\
B&=&9y-54
\end{eqnarray*}
Définition : Factoriser une somme (ou une différence), c’est transformer cette somme (ou cette différence) en un produit.
Exemples : Factoriser les expressions suivantes.
\begin{eqnarray*}
A&=&6a+5a^{2}\\
A&=&6\times a+5\times a\times a\\
A&=&a(6+5a)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&9x-x\\
B&=&9\times x-9\times 1\\
B&=&9(x-1)
\end{eqnarray*}
Remarque : On peut également utiliser ces règles pour réduire une expression littérale.
Exemples : Réduire les expressions suivantes.
\begin{eqnarray*}
A&=&12x+7x\\
A&=&(12+7)x\\
A&=&19x
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
B&=&3,5a-1,2a\\
B&=&(3,5-1,2)a\\
B&=&2,3a\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
C&=&2x^{2}+3x+6-x+8\\
C&=&2x^{2}+(3-1)x+6+8\\
C&=&2x^{2}+2x+14
\end{eqnarray*}
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
- Écrire une expression littérale traduisant un programme de calcul ou un problème.
- Simplifier une expression littérale.
- Remplacer une lettre par un nombre pour calculer la valeur d’une expression littérale.
- Développer et factoriser une expression littérale en utilisant la distributivité.
- Réduire une expression littérale.