Chapitre 11

Introduction au calcul littéral

cours de 5ème

Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral

A) Des nombres et des lettres

Définition : Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent des nombres.

Remarque : Une expression littérale peut traduire un programme de calcul.

Exemple : Voici un programme de calcul :

  • Choisir un nombre
  • Multiplier le résultat par 2
  • Ajouter 10

En effectuant ce programme de calcul avec $x$, on obtient :

  • $x$
  • $2\times x$
  • $2\times x+10$

L’expression littérale $2\times x+10$ permet de traduire ce programme de calcul.

Remarque : Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.

Exemples :

  • Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être la somme de deux entiers consécutifs” par l’expression littérale :
    \[n+(n+1)\]
  • Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être un multiple de 3” par l’expression littérale :
    \[3\times n\]

B) Simplification d'écriture

Règle : On peut supprimer le signe $\times $ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.

Exemples :

  • Le périmètre d’un carré est donné par l’expression : $P=4\times c=4c$.
  • Le périmètre d’un rectangle est donné par l’expression : $P=2\times (l+L)=2(l+L)$.
  • Le périmètre d’un cercle est donné par l’expression : $P=2\times \pi\times R=2\pi R$.

Exemples :

  • $2\times a=2a$
  • $a\times b=ab$
  • $2+3\times b=2+3b$

 

  • $a\times 2+4\times b=2\times a+4b=2a+4b$
  • $(2+3)\times b=5\times b=5b$
  • $a\times a=a^{2}$

C) Remplacer des lettres par des nombres

Pour calculer une expression littérale pour certaine valeur des lettres, il suffit de remplacer les lettres par ces valeurs.

Exemple : Calculer l’expression $A=5x(x+2)$ pour $x=3$. \begin{eqnarray*} A&=&5\times \textcolor{red}{x}\times (\textcolor{red}{x}+2)~~~~~\text{(On replace les signes $\times $ dans l’expression).}\\ A&=&5\times \textcolor{red}{3}\times (\textcolor{red}{3}+2)~~~~~~\text{(On remplace la lettre $x$ par sa valeur 3)}.\\ A&=&5\times 3\times 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(On effectue les calculs).}\\ A&=&75 \end{eqnarray*}

D) Tester une égalité

Vocabulaire : Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe =.

Exemple :

\[\underbrace{5\times 4}_{\textcolor{red}{\text{Membre de gauche}}}=\underbrace{12+8}_{\textcolor{red}{\text{Membre de droite}}}\]

Définition : Tester une égalité de deux expressions signifie remplacer chaque lettre identique par une même valeur, et
indiquer si l’égalité est vraie ou fausse pour cette valeur.

Exemple : On considère l’égalité $3x-5=5x-9$.

  1. Cette égalité est-elle vraie pour $x=2$ ?
  • On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{2}-5=6-5=1$
  • On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{2}-9=10-9=1$

On trouve le même résultat, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est vraie pour $x=2$.

          2. Cette égalité est-elle vraie pour $x=4$ ?

  • On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{4}-5=12-5=7$
  • On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{4}-9=20-9=11$

On trouve des résultats différents, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est fausse pour $x=4$.

E) Distributivité

Propriété : $a$, $b$ et $k$ désignent des nombres.

  • $a\textcolor{red}{k}+b\textcolor{red}{k}=(a+b)\textcolor{red}{k}$
  • $a\textcolor{red}{k}-b\textcolor{red}{k}=(a-b)\textcolor{red}{k}$

Exemples : Réduire les expressions ci-dessous.

\begin{eqnarray*} A&=&12x+7x\\ A&=&(12+7)x\\ A&=&19x \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} B&=&3,5a-1,2a\\ B&=&(3,5-1,2)a\\ B&=&2,3a\\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
C&=&2x^{2}+3x+6-x+8\\
C&=&2x^{2}+(3-1)x+6+8\\
C&=&2x^{2}+2x+14
\end{eqnarray*}

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

  • Écrire une expression littérale traduisant un programme de calcul ou un problème.
  • Simplifier une expression littérale.
  • Remplacer une lettre par un nombre pour calculer la valeur d’une expression littérale.
  • Tester une égalité.
  • Réduire une expression.

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