Chapitre 14
Équations
Chapitre 14 : Équations
A) Équations du premier degré à une inconnue
Définition : Une équation est une égalité dans laquelle figurent un ou plusieurs nombres inconnus, désignés le plus souvent par des lettres.
Définition : Une équation est dite du premier degré à une inconnue $x$ lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme $ax+b=cx+d$ (où $a,b,c$ et $d$ désignent des nombres avec $a\neq c$).
Exemple : $2,1x-0,4=1,3x+0,1$ est une équation du premier degré à une inconnue $x$.
Définition : Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vrai.
Exemple : Les nombres $1$ et $-2$ sont-ils solutions de l’équation suivante :
\[3x+2=9x-4\]
- Pour $\textcolor{red}{x=1}$ :
On calcule le membre de gauche : $3\times \textcolor{red}{1}+2=5$.
On calcule le membre de droite : $9\times \textcolor{red}{1}-4=5$.
Les résultats étant identiques on conclut que $1$ est solution de cette équation.
- Pour $\textcolor{red}{x=-2}$ :
On calcule le membre de gauche : $3\times (\textcolor{red}{-2})+2=-6+2=-4$.
On calcule le membre de droite : $9\times (\textcolor{red}{-2})-4=-18-4=-22$.
Les résultats étant différents on conclut que $-2$ n’est pas solution de cette équation.
B) Résoudre une équation
Définition : Résoudre une équation c’est trouver toutes ses solutions.
Propriété : On obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que l’équation initiale lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres de cette équation.
Démonstration : Si $a=b$, on a $a-b=0$. Ainsi :
$(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b+c-c=a-b=0$.
Donc $a+c=b+c$.
Propriété : On obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que l’équation initiale lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre non nul les deux membres de cette équation.
Démonstration : Si $a=b$, on a $a-b=0$. Ainsi :
$a\times c-b\times c=(a-b)\times c=0\times c=0$.
Donc $a\times c=b\times c$.
Exemples : Résoudre les équations suivantes :\begin{eqnarray*}
9x&=&-3x+30\\
9x\textcolor{red}{+3x}&=&-3x+30\textcolor{red}{+3x}\\
12x&=&30\\
\dfrac{12x}{\textcolor{red}{12}}&=&\dfrac{30}{\textcolor{red}{12}}\\
x&=&\dfrac{30}{12}
\end{eqnarray*}
La solution de cette équation est $\dfrac{30}{12}$.
On peut noter :
\[S=\{\dfrac{30}{12}\}\]
\begin{eqnarray*}
2,1x-0,4&=&1,3x+0,1\\
2,1x-0,4\textcolor{red}{-1,3x}&=&1,3x+0,1\textcolor{red}{-1,3x}\\
0,8x-0,4&=&0,1\\
0,8x-0,4\textcolor{red}{+0,4}&=&0,1\textcolor{red}{+0,4}\\
0,8x&=&0,5\\
\dfrac{0,8x}{\textcolor{red}{0,8}}&=&\dfrac{0,5}{\textcolor{red}{0,8}}\\
x&=&0,625
\end{eqnarray*}
La solution de cette équation est 0,625.
On peut noter :
\[S=\{0,625\}\]