Chapitre 15
Aire et périmètre
Chapitre 15 : Aire et périmètre
A) Périmètre d'une figure
Définition : Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.
Tableau des unités de longueur :
Exemples :
- $0,65~\text{m}=0,65\times 1~\text{m}=0,65\times 100~\text{cm}=65~\text{cm}$ car $1~\text{m}=100~\text{cm}$.
- $152~\text{m}=152\times 1~\text{m}=152\times 0,001~\text{km}=152\div 1~000~\text{km}=0,152~\text{km}$ car $1~\text{km}=1~000~\text{m}$
Formulaire :
B) Aire d'une figure
Définition : L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure.
Donner une unité d’aire permet de mesurer l’aire d’une figure dans cette unité. Quand on change d’unité, la mesure
de l’aire change.
Tableau des unités d’aire :
- $1~\text{m}^{2}=100~\text{dm}^{2}$
- $7,63~\text{cm}^{2}=7,63\times 1~\text{cm}^{2}=7,63\times 0,01~\text{dm}^{2}=7,63\div 100~\text{dm}^{2}=0,0763~~\text{dm}^{2}$
- $8,3~\text{dam}^{2}=8,3\times 1~\text{dam}^{2}=8,3\times 10~000~\text{dm}^{2}=83~000~\text{dm}^{2}$
Formulaire :
Exemple : Calculer l’aire d’un disque de diamètre 5 dm. Arrondir au centimètre près.
Le rayon de ce disque est égal à $5~\text{dm}\div 2=2,5~\text{dm}$.\\
$A_{\text{disque}}=\pi\times R^{2}=\pi\times (2,5~\text{dm})^{2}=\dfrac{25}{4}\pi~\text{dm}^{2}\approx 19,6~\text{dm}^{2}$
}}}
Exemple : Calculer l’aire du triangle $MEU$.
$A_{MEU}=\dfrac{EU\times MK}{2}=\dfrac{4~\text{cm}\times 3,1~\text{cm}}{2}=6,2~\text{cm}^{2}$
Exemple : Calculer l’aire du parallélogramme ci-dessous.
$A_{IJKL}=3,1~\text{cm}\times 6~\text{cm}=18,6~\text{cm}^{2}$
Propriété : Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.
Démonstration : Sur la figure ci-contre, $(CI)$ est la médiane issue de $C$ du triangle $ABC$.
On trace la hauteur $(CH)$ issue du sommet $C$ du triangle $ABC$.
On peut alors calculer les aires des triangles $ACI$ et $ICB$ :
\[A_{ACI}=\dfrac{CH\times AI}{2}\]\[A_{ICB}=\dfrac{CH\times BI}{2}\]Or, $AI=BI$ car $I$ est le milieu de $[BC]$.
On en déduit que $A_{ACI}=A_{ICB}$.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, $ME=5$ cm, $EU=3,9$ cm, $MU=6,4$ cm et $EK=2$ cm. Calculer l’aire du triangle $MIU$.
$A_{MEU}=\dfrac{2~\text{cm}\times 6,4~\text{cm}}{2}=6,4~\text{cm}^{2}$\\
Or, la droite $(IU)$ est une médiane du triangle $MEU$. Elle partage donc ce triangle en deux triangles de même mesure. On en déduit que :\\
$A_{MIU}=\dfrac{A_{MEU}}{2}=\dfrac{6,4~\text{cm}^{2}}{2}=3,2~\text{cm}^{2}$
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
- Calculer le périmètre d’un polygone, d’un cercle et d’une figure.
- Calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un parallélogramme, d’un disque et d’une figure complexe.
- Effectuer des conversions avec les unités d’aire.
- Utiliser la propriété de la médiane pour calculer des aires.
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