Chapitre 17

La réciproque du théorème de Thalès

Cours de mathématiques de 4ème

Chapitre 17 : La réciproque du théorème de Thalès

Propriété : Si deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en un point $A$,
si les points $A, M, B$ et les points $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre, et si $ \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} $ alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

 

Remarque : Ce théorème permet de prouver que deux droites sont parallèles.

Exemple : Avec les données de la figure ci-dessous, démontrer que $(OL)$ est parallèle à $(UP)$.


  • \[
    \left.
    \begin{array}{ccccc}
    \dfrac{IO}{IP}&=&\dfrac{6}{10,5}&=&\dfrac{4}{7}\\
    \\
    \dfrac{IL}{IU}&=&\dfrac{4}{7}&&\\
    \end{array}
    \right\}\mbox{Donc}~~\dfrac{IO}{IP}=\dfrac{IL}{IU}
    \]
  • Les droites $(IP)$ et $(IU)$ sont sécantes en $I$.
  • Les points $I, O, P$ et $I,L,U$ sont alignés dans le même ordre.
    D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que $(OL)$ est parallèle à $(UP)$.

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