Chapitre 15
Trigonométrie
Chapitre 15 : Trigonométrie
A) Vocabulaire du triangle rectangle
B) Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle
Propriété : Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, le rapport $\dfrac{BA}{BC}$ ne dépend que de la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.
Démonstration : Sur la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $A’BC’$ est un triangle rectangle en $A’$. Ces deux triangles ont leur angle aigu de sommet $B$ en commun.
Les droites $(AC)$ et $(A’C’)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(AB)$ donc elles sont parallèles entre elles.
$A$ appartient au côté $[BA’]$.
$C$ appartient au côté $[BC’]$.
D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{BA}{BA’}=\dfrac{BC}{BC’}(=\dfrac{AC}{A’C’})\]L’égalité des produits en croix permet d’écrire :
\[BA\times BC’=BC\times BA’\]Ainsi :
\[\dfrac{BA\times BC’}{BC\times BC’}=\dfrac{BC\times BA’}{BC\times BC’}\]Donc :
\[\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BA’}{BC’}\]Donc, le rapport $\dfrac{BA}{BC}$ dépend uniquement de la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.
Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport:
\[\dfrac{\text{longueur du côté adjacent à cet angle}}{\text{longueur de l’ hypoténuse}}\]
Exemple :
\[cos(\widehat{BAC})=\dfrac{AB}{AC}\]\[cos(\widehat{ACB})=\dfrac{BC}{AC}\]
Remarques :
- Un cosinus n’a pas d’unité.
- Le cosinus d’un angle aigu est un nombre toujours compris entre $0$ et $1$.
Exemple : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que $AB=5~\text{cm}$ et $\widehat{ABC}=25$°. Calculer la longueur $BC$, arrondir au dixième.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$:
\begin{eqnarray*}
cos(\widehat{ABC})&=&\dfrac{BC}{AB}\\
cos(25\text{°})&=&\dfrac{BC}{5}\\
\dfrac{cos(25\text{°})}{1}&=&\dfrac{BC}{5}\\
BC&=&\dfrac{5\times cos(25\text{°})}{1}\\
BC&\approx &4,5~~\text{cm (On utilise la touche cos de la calculatrice).}
\end{eqnarray*}
Exemple : Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ tel que $AC=2~\text{cm}$ et $BC=5~\text{cm}$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$, arrondir au degré près.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, d’après le théorème de Pythagore :
\begin{eqnarray*}
AB^{2}&=&AC^{2}+BC^{2}\\
AB^{2}&=&2^{2}+5^{2}\\
AB^{2}&=&4+25\\
AB^{2}&=&29\\
AB&=&\sqrt{29}\\
AB&\approx &5,4~\text{cm}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
cos(\widehat{BAC})&=&\dfrac{AC}{AB}\\
cos(\widehat{BAC})&=&\dfrac{2}{5,4}\\
\widehat{BAC}&\approx &68\text{° (On utilise la touche arccos de la calculatrice).}
\end{eqnarray*}