Chapitre 19
Translation et rotation
Chapitre 19 : Translation et rotation
A) Translation
Définition : Transformer un point ou une figure par translation c’est faire glisser ce point ou cette figure selon une direction, un sens et une longueur donnés.
Remarque : La translation est symbolisée par une flèche qui donne la direction, le sens et la longueur de ce déplacement.
Exemples : Sur les figures ci-dessous, le quadrilatère $A’B’C’D’$ et le triangle $A’B’C’$ sont les images du quadrilatère $ABCD$ et du triangle $ABC$ par la translation qui transforme le point $F$ en $G$. On dit que la translation est de vecteur $\overrightarrow{FG}$.
B) Propriétés de la translation
Propriété : Si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme aussi $C$ en $D$, alors $ABDC$ est un parallélogramme éventuellement aplati.
Exemple : Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
Démonstration : D’après la définition d’une translation, on a :
$AB=CD$ et $(AB)$//$(CD)$.
Un quadrilatère qui possède deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme donc $ABDC$ est un parallélogramme.
Propriété : Une translation conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la translation qui transforme $E$ en $E’$. On a :
$\text{AB}=\text{A’B’}$- $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A’B’C’}}$
- $A_{\text{ABC}}=A_{\text{A’B’C’}}$
- $P_{\text{ABC}}=P_{\text{A’B’C’}}$
- Les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés donc les points $A’$, $D’$ et $C’$ sont aussi alignés.
C) Rotation
Définitions :
- Transformer un point ou une figure par rotation c’est faire tourner ce point ou cette figure par rapport à un centre de rotation et un angle.
- Le sens inverse des aiguille d’une montre est appelé sens direct.
Exemples :
- Le point $M’$ est l’image du point $M$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $45$° dans le sens direct.
- Le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $70$° dans le sens direct.
D) Propriétés de la rotation
Propriété : Une rotation conserve l’alignement, les longueurs, les angles et les aires.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $80$° dans le sens direct.
$\text{AB}=\text{A’B’}$- $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A’B’C’}}$
- $A_{\text{ABC}}=A_{\text{A’B’C’}}$
- $P_{\text{ABC}}=P_{\text{A’B’C’}}$
- Les points $A$, $D$ et $C$ sont alignés donc les points $A’$, $D’$ et $C’$ sont aussi alignés.