Définition : désigne un nombre positif. La racine carrée de est le nombre positif dont le carré est . Ce nombre est notée (lire « racine carrée de ».)
Ainsi,
Exemple : Quelques carrés parfaits à connaître :
Donc ; ; ; ; …
Remarque : Il n’existe pas de nombre entier positif dont le carré vaut . Or : Donc est comprise entre et . Pour obtenir une valeur approchée de , on utilise la calculatrice : .
B) L'égalité de Pythagore
Propriété : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Exemple :
L’égalité de Pythagore :
Vocabulaire : Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est le plus grand côté du triangle.
Démonstration :
Le quadrilatère est un losange car il a 4 côtés de même longueur. De plus, la somme des mesures des deux angles aigus d’un triangle rectangle est égale à . Donc : . Ainsi, . Le quadrilatère est un losange possédant un angle droit, c’est donc un carré.
Le quadrilatère est un carré car il a 4 angles droits et 4 côté de même longueur.
On construit maintenant un quadrilatère en y replaçant les 4 triangles rectangles.
Le quadrilatère a 4 côtés de même longueur donc c’est un losange. De plus, il possède un angle droit donc c’est un carré.
Les deux quadrilatères et sont deux carrés dont les côtés ont la même longueur, ils ont donc la même aire. Ainsi : .
En observant les deux carrés, on en déduit que l’aire du carré rouge est égale à la somme de l’aire du carré bleu et de l’aire du carré orange. Ainsi : ééé
Remarque : Ce théorème permet de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle connaissant les deux autres.
C) Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle
Exemple : Le triangle ci-dessous est rectangle en . Calculer la longueur .
Le triangle est rectangle en . D’après le théorème de Pythagore :
Exemple : Le triangle ci-dessous est rectangle en . Calculer la longueur .
Le triangle est rectangle en . D’après le théorème de Pythagore :
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Comment je peux trouver l’aire d’un carré mais aven en fonction de à ,b et c ?