Chapitre 2

Le théorème de Pythagore

Cours de mathématiques de 4ème

Chapitre 2 : Le théorème de Pythagore

A) Racine carré d’un nombre positif

Définition : a désigne un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a. Ce nombre est notée a (lire « racine carrée de a ».) Ainsi, a0   et   (a)2=a

Exemple : Quelques carrés parfaits à connaître :

Donc 0=0 ; 1=1 ; 9=3 ; 16=4 ; 25=5

Remarque : Il n’existe pas de nombre entier positif dont le carré vaut 27. Or :
522762Donc 27 est comprise entre 5 et 6. Pour obtenir une valeur approchée de 27, on utilise la calculatrice :
275,2.

B) L'égalité de Pythagore

Propriété : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exemple :


L’égalité de Pythagore : AC2=AB2+BC2

Vocabulaire : Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est le plus grand côté du triangle.

Démonstration :

Le quadrilatère MNOP est un losange car il a 4 côtés de même longueur. De plus, la somme des mesures des deux angles aigus d’un triangle rectangle est égale à 90°. Donc :
DOP^+DPO^=DOP^+CON^=90°.
Ainsi, PON^=DOC^90°=180°90°=90°.
Le quadrilatère MNOP est un losange possédant un angle droit, c’est donc un carré.

Le quadrilatère ABCD est un carré car il a 4 angles droits et 4 côté de même longueur.

On construit maintenant un quadrilatère EFGH en y replaçant les 4 triangles rectangles.

Le quadrilatère EFGH a 4 côtés de même longueur donc c’est un losange. De plus, il possède un angle droit donc c’est un carré.

Les deux quadrilatères ABCD et EFGH sont deux carrés dont les côtés ont la même longueur, ils ont donc la même aire. Ainsi : AABCD=AEFGH.

En observant les deux carrés, on en déduit que l’aire du carré rouge est égale à la somme de l’aire du carré bleu et de l’aire du carré orange. Ainsi :
Acarré rouge=Acarré bleu+Acarré orangec2=b2+a2

Remarque : Ce théorème permet de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle connaissant les deux autres.

C) Calculer une longueur d’un côté d’un triangle rectangle

Exemple : Le triangle ABC ci-dessous est rectangle en A. Calculer la longueur BC.

Le triangle ABC est rectangle en A.
D’après le théorème de Pythagore :
BC2=AC2+AB2BC2=42+32BC2=16+9BC2=25BC=25BC=5 cm

Exemple : Le triangle DEF ci-dessous est rectangle en E. Calculer la longueur EF.

Le triangle DEF est rectangle en E.
D’après le théorème de Pythagore :

DF2=ED2+EF282=32+EF264=9+EF2EF2=649EF2=55EF=55EF7,4 cm

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