Chapitre 3
La division
Chapitre 3 : La division
A) Division euclidienne
Définition : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier, appelé le dividende, par un nombre entier différent de $0$, appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et le reste, vérifiant :
\[\text{Dividende}=\text{Diviseur}\times \text{Quotient}+\text{Reste}~~~~~~\text{avec Reste < Diviseur}\]
Exemple :
\[213=8\times 26+5\]
- $213$ est le dividende.
- $8$ est le diviseur.
- $26$ est le quotient.
- $5$ est le reste.
B) Critères de divisibilité
Définition : Le nombre a est divisible par le nombre $b$ ($b\neq 0$) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. On a donc $a = b\times q$.
• $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.
• $a$ est un multiple de $b$.
Exemple : $65=13\times 5$. On peut alors dire:
- $65$ est un multiple de $13$.
- $65$ est divisible par $13$.
- $13$ est un diviseur de $65$.
Propriétés :
- Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
- Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
- Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
- $5~430$ est divisible par 2, par 5 et par 10 car son chiffre des unités est 0.
- $93$ est divisible par 3 car $9+3=12$ et 12 est un multiple de 3.
- $135$ est divisible par 3 et par 9 car $1+3+5=9$ et 9 est un multiple de 3 et de 9.
C) La division décimale
Définition : Soit $a$ un nombre décimal et $b$ un nombre entier non nul. On appelle quotient de $a$ par $b$ le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
$a\div b=\blacksquare$ signifie que $b\times \blacksquare=a$.
Le nombre $\blacksquare$ est le quotient de $a$ par $b$.
Propriété : Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un
même nombre non nul.
Démonstration : Démontrons que $\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{10}$.
$\dfrac{3}{2}\times 10=\dfrac{3}{2}\times 2\times 5$.
Or, $\dfrac{3}{2}\times 2=3$. On peut donc écrire :
$\dfrac{3}{2}\times 10=3\times 5=15$.
Par définition du quotient, on a donc que $\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{10}$, puisque $\dfrac{3}{2}$ multiplié par 10 donne 15.
Exemples :
Règle : Pour calculer le quotient d’un nombre décimal par un nombre décimal, on applique la propriété précédente pour obtenir un diviseur entier.
Exemples : Calculer $9,54\div 1,8$.
On ne sait pas poser cette division car le diviseur est un nombre écrit avec une écriture décimale. On utilise la propriété précédente pour écrire ce quotient avec un diviseur sous la forme d’un nombre entier :
$\dfrac{9,54}{1,8}=\dfrac{9,54\times \textcolor{red}{10}}{1,8\times \textcolor{red}{10}}=\dfrac{95,4}{18}$
On peut maintenant poser l’opération, on trouve alors :
Donc: $9,54\div 1,8=5,3$
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
- Additionner, soustraire, multiplier et diviser pour résoudre des problèmes.
- Utiliser les notions de multiples et diviseurs.
- Connaître les critères de divisibilité.
- Utiliser la propriété des quotients égaux pour diviser par un nombre décimal.