Trigonométrie

Démonstration :  Sur la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ et $A^{\prime }B{C}^{\prime }$ est un triangle rectangle en $A^{\prime }$. Ces deux triangles ont leur angle aigu de sommet $B$ en commun.

Les droites $(AC)$ et $(A^{\prime }{C}^{\prime })$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(AB)$ donc elles sont parallèles entre elles.
$A$ appartient au côté $[B{A}^{\prime }]$.
$C$ appartient au côté $[B{C}^{\prime }]$.
D’après le théorème de Thalès :
$${\displaystyle \frac{BA}{B{A}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{BC}{B{C}^{\prime }}}(={\displaystyle \frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}})$$L’égalité des produits en croix permet d’écrire :
$$BA\times B{C}^{\prime }=BC\times B{A}^{\prime }$$Ainsi :
$${\displaystyle \frac{BA\times B{C}^{\prime }}{BC\times B{C}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{BC\times B{A}^{\prime }}{BC\times B{C}^{\prime }}}$$Donc :
$${\displaystyle \frac{BA}{BC}}={\displaystyle \frac{B{A}^{\prime }}{B{C}^{\prime }}}$$Donc, le rapport ${\displaystyle \frac{BA}{BC}}$ dépend uniquement de la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.