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Chapitre 10 : Comparer des nombres en écriture fractionnaire

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Chapitre 10

Comparer des nombres en écriture fractionnaire

cours de 5ème

Chapitre 10 : Comparer des nombres en écriture fractionnaire

A) Comparer des nombres en écriture fractionnaire à 1

Propriétés :

  • Si le numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à 1.
  • Si le numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à 1.
  • Si le numérateur est égal au dénominateur alors la fraction est égale à 1.

Exemples :

  • $\dfrac{11}{15}<1$ car $11<15$
  • $\dfrac{17}{15}>1$ car $17>15$
  • $\dfrac{15}{15}=1$ car le numérateur est égal au dénominateur.

B) Comparer des nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur ou de même numérateur

Propriété : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple : Trois parts d’un gâteau coupé en 4, c’est davantage qu’une part de ce même gâteau.

Comparaison de fractions ayant le même dénominateur

 

$\dfrac{1}{4}<\dfrac{3}{4}$

Propriété : Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple : On a une plus grande part de gâteau quand il est coupé en 4 que quand il est coupé en 8.

Comparaison de deux fractions de même numérateur

 

$\dfrac{3}{4}>\dfrac{3}{8}$

Exemple : Comparer $\dfrac{18,1}{6}$ et $\dfrac{43}{12}$.

On utilise la propriété des quotients égaux pour obtenir le même dénominateur :
$\dfrac{18,1}{6}=\dfrac{18,1\times \textcolor{red}{2}}{6\times \textcolor{red}{2}}=\dfrac{36,2}{12}$
Or $36,2<43$, donc: $\dfrac{36,2}{12}<\dfrac{43}{12}$
Ainsi: $\dfrac{18,1}{6}<\dfrac{43}{12}$

C) Comparer des nombres en écriture fractionnaire en calculant le quotient

Propriété : Pour comparer deux fractions on peut également calculer le quotient.

Exemple : Pierre et Bintou boivent chacun une bouteille avec la même quantité d’eau. Pierre boit $\dfrac{9}{12}$ de sa bouteille. Bintou boit $\dfrac{10}{16}$ de sa bouteille. Lequel des deux a bu le plus d’eau ? Comparer deux fractions à partir de leur écriture décimale Donc $\dfrac{9}{12}>\dfrac{10}{16}$. Pierre a bu le plus d’eau.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

  • Comparer des nombres en écriture fractionnaire à 1.
  • Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ayant même numérateur ou même dénominateur.
  • Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ayant des numérateurs et des dénominateurs différents. (en convertissant au même dénominateur, en calculant leur quotient, en les comparant au nombre 1…).
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Chapitre 9 : Angles et parallélisme

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Chapitre 9

Angles et parallélisme

cours de 5ème

Chapitre 9 : Angles et parallélisme

A) Vocabulaire

Définition : Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de
l’autre.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{zOt}$ sont opposés par le sommet. Ils ont donc la même mesure.

Deux angles opposés par le sommet

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Deux angles alternes-internes
Les angles codés en vert sont des angles alternes-internes.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Deux angles correspondants
Les angles codés en vert sont des angles correspondants.

B) Propriétés

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) qu’elles forment ont la même mesure.

Démonstration : Les angles $\widehat{xAv}$ et $\widehat{yBu}$ sont alternes-internes.
Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Le symétrique de l’angle $\widehat{xAv}$ par rapport au point $I$ est l’angle $\widehat{yBu}$.
Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles.
Donc $\widehat{xAv}=\widehat{yBu}$.

Pourquoi deux angles alternes-internes ont la même mesure ?

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(CH)$ coupe les droites parallèles $(BD)$ et $(FG)$ respectivement en $A$ et $E$.

Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FEA}$.

Deux angles alternes-internes de même mesure
Les angles $\widehat{FEA}$ et $\widehat{EAD}$ sont alternes-internes. Comme les droites $(BD)$ et $(FG)$ sont parallèles alors ces deux angles ont la même mesure. Donc:
\[\widehat{FEA}=\widehat{EAD}=152°\]

Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(PK)$ coupe la droite $(IL)$ en $J$ et la droite $(MO)$ en $N$.

Prouver que les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Une démonstration du parallélisme de deux droites
Les angles $\widehat{KJL}$ et $\widehat{JNO}$ sont correspondants. Or, ils ont la même mesure. Donc les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Remarque : Si deux droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires à une même droite $(t)$, alors $(d)$ et $(d’)$ sont parallèles. On retrouve le cas étudié en 6ème…

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles

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Chapitre 2 : Fraction partage

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Chapitre 2

Les fractions

cours de 6ème

Chapitre 2 : Les fractions

A) Fraction-partage

Pour mesurer une longueur ou une masse, il suffit de se donner une unité et de compter le nombre d’unités qu’on peut reporter. Mais parfois, on doit partager l’unité choisie en un nombre de parties égales. Quand on partage une unité en parts égales, chaque part est une fraction de l’unité.

Exemple : L’unité est la longueur d’une bande (ou son aire).

Une bande unité découpée en parts égales

Une fraction

  • $\dfrac{4}{3}=4\times \dfrac{1}{3}$
  • $\dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}=1+\dfrac{1}{3}$ (Somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$).

B) Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Définition : On appelle demi-droite graduée une demi-droite sur laquelle on a choisi une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.

Exemple : Pour placer $\dfrac{7}{3}$ sur une demi-droite graduée, on peut :

  • Reporter $7$ fois le tiers de l’unité ($\dfrac{7}{3}=7\times \dfrac{1}{3}$).
  • Utiliser $\dfrac{7}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{1}{3}=2+\dfrac{1}{3}$.

placer des fractions sur une demi-droite

C) Egalités de fractions

Des fractions égales

D’après les demi-droites graduées ci-dessus, on peut écrire :
\[\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{4}~~\text{et}~~\dfrac{2}{2}=\dfrac{4}{4}\]

Propriété : Une fraction ne change pas si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Exemples :

  • $\dfrac{8,1}{5}=\dfrac{8,1\times 10}{5 \times 10}=\dfrac{81}{50}$
  • $\dfrac{21}{30}=\dfrac{21\div 3}{30 \div 3}=\dfrac{7}{10}$

D) Résoudre un problème

Exemple : Zélie a préparé un cocktail de jus de fruits qui contient $\dfrac{1}{10}$ de sirop de grenadine, $\dfrac{7}{10}$ de jus d’orange et du jus d’ananas. Elle a utilisé $\dfrac{1}{2}~\text{L}$ de jus d’ananas.
Quel volume de cocktail Zélie a-t-elle préparé ?


$2~\text{L} + \dfrac{1}{2}~\text{L}=2,5~\text{L}$
Zélie a préparé 2,5 L de cocktail de jus de fruits.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

  • Indiquer la fraction représentée par une partie colorée.
  • Placer une fraction sur une demi-droite graduée.
  • Écrire une fraction comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
  • Écrire des égalités entre des fractions simples.
  • Résoudre des problèmes avec des fractions.
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Source :

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