Chapitre 9
Angles et parallélisme
Chapitre 9 : Angles et parallélisme
A) Vocabulaire
Définition : Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de
l’autre.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{zOt}$ sont opposés par le sommet. Ils ont donc la même mesure.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.
Les angles codés en vert sont des angles alternes-internes.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.
Les angles codés en vert sont des angles correspondants.
B) Propriétés
Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) qu’elles forment ont la même mesure.
Démonstration : Les angles $\widehat{xAv}$ et $\widehat{yBu}$ sont alternes-internes.
Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Le symétrique de l’angle $\widehat{xAv}$ par rapport au point $I$ est l’angle $\widehat{yBu}$.
Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles.
Donc $\widehat{xAv}=\widehat{yBu}$.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(CH)$ coupe les droites parallèles $(BD)$ et $(FG)$ respectivement en $A$ et $E$.
Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FEA}$.
Les angles $\widehat{FEA}$ et $\widehat{EAD}$ sont alternes-internes. Comme les droites $(BD)$ et $(FG)$ sont parallèles alors ces deux angles ont la même mesure. Donc:
\[\widehat{FEA}=\widehat{EAD}=152°\]
Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(PK)$ coupe la droite $(IL)$ en $J$ et la droite $(MO)$ en $N$.
Prouver que les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.
Les angles $\widehat{KJL}$ et $\widehat{JNO}$ sont correspondants. Or, ils ont la même mesure. Donc les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.
Remarque : Si deux droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires à une même droite $(t)$, alors $(d)$ et $(d’)$ sont parallèles. On retrouve le cas étudié en 6ème…
