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Somme d’entiers consécutifs

Sujet : Que peut-on dire de la somme de plusieurs entiers consécutifs ?

Définition : Des entiers naturels consécutifs sont des entiers naturels qui se suivent immédiatement.

Exemple : 234 ; 235 et 236 sont des entiers naturels consécutifs

Nous nous sommes  intéressés à la propriété suivante :

Propriété : la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de trois.

Voici quelques exemple :

  • Les nombres 17,18 et 19 sont trois entiers naturels consécutifs.

17 + 18 + 19 = 54. 54 est un multiple de 3. En effet : 54 = 3 x 18

  • Les nombres 5,6 et 7 sont trois entiers naturels consécutifs.

5 + 6 + 7 = 18. 18 est un multiple de 3. En effet : 18 = 3 x 6.

Afin de démontrer cette propriété, on utilise le calcul littéral :

Appelons n l’entier du milieu.

L’entier qui précède s’écrit n – 1.

L’entier qui suit s’écrit n + 1.

n – 1 + n + n + 1 = 3n qui est multiple de 3.

La propriété est bien démontrée.

Nous avons ensuite essayé de voir si la propriété restait vraie avec quatre nombres entiers naturels consécutifs? Obtenons-nous un multiple de 4 ?

exemple : 13 + 14 + 15 + 16 = 58

58/ 4 = 14,5

14,5 n’étant pas dans la table de 4, donc 58 n’est pas un multiple de 4. Il est démontré que la somme de 4 entier naturels consécutifs n’est pas un multiple de 4.

En revanche, pour la somme de 5 entiers naturels consécutifs, cela fonctionne.

En effet : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 et 15 est bien un multiple de 5.

Démonstration : 

on appelle n l’entier du milieu :

n – 2 + n – 1 + n + n + 1 + n + 2 = 5n

5n est bien l’écriture d’un multiple de 5.

 

Finalement, nous avons voulu montrer que la somme des 999 premiers entiers consécutifs est égale à  499 500.

1 + 2 + 3 + … + 999 = 499 500 ?

Avec un regroupement astucieux des termes de cette somme, nous y sommes parvenus (sans utiliser de calculatrice !) :

1 + 2 + 3 + … +999

= (1+ 999) + (2 + 998) + (3 + 997) +…+ (499 + 501) + 500

= 499 x 1000 + 500

= 499 500

Deux fichiers Scratch à télécharger :