Démonstration :

Le quadrilatère $MNOP$ est un losange car il a 4 côtés de même longueur. De plus, la somme des mesures des deux angles aigus d’un triangle rectangle est égale à $90°$. Donc :
$\widehat{\text{DOP}}+\widehat{\text{DPO}}=\widehat{\text{DOP}}+\widehat{\text{CON}}
=90°$.
Ainsi, $\widehat{\text{PON}}=\widehat{\text{DOC}}-90°=180°-90°=90°$.
Le quadrilatère $MNOP$ est un losange possédant un angle droit, c’est donc un carré.

Le quadrilatère $ABCD$ est un carré car il a 4 angles droits et 4 côté de même longueur.

On construit maintenant un quadrilatère $EFGH$ en y replaçant les 4 triangles rectangles.

Le quadrilatère $EFGH$ a 4 côtés de même longueur donc c’est un losange. De plus, il possède un angle droit donc c’est un carré.

Les deux quadrilatères $ABCD$ et $EFGH$ sont deux carrés dont les côtés ont la même longueur, ils ont donc la même aire. Ainsi : $A_{\text{ABCD}}=A_{\text{EFGH}}$.

En observant les deux carrés, on en déduit que l’aire du carré rouge est égale à la somme de l’aire du carré bleu et de l’aire du carré orange. Ainsi :
\begin{eqnarray*}
A_{\text{carré rouge}}&=&A_{\text{carré bleu}}+A_{\text{carré orange}}\\
\text{c}^{2}&=&\text{b}^{2}+\text{a}^{2}
\end{eqnarray*}