Chapitre 23 : parallélogrammes particuliers

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Chapitre 23

Parallélogrammes particuliers

Chapitre 23 : Parallélogrammes particuliers

A) Rectangle

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Propriétés :

Si un quadrilatère est un rectangle, alors c’est un parallélogramme qui a une angle droit.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.

Propriétés :

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales de même longueur.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

Exemple : Un rectangle ABCD.

B) Losange

Définition : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.

Propriétés :

Si un quadrilatère est un losange, alors c’est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.

Propriétés :

Si un quadrilatère est un losange, alors c’est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un losange.

Exemple : Un losange EFGH.

C) Carré

Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Propriétés :

Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur.
Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un carré.

Propriétés :

Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur et perpendiculaire.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires, alors c’est un carré.

Exemple : Un carré MNOP.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Savoir reconnaitre des parallélogrammes particuliers.
Connaitre leurs propriétés caractéristiques.
Savoir utiliser une propriété caractéristique sur les diagonales ou les côtés pour construire ou donner la nature du quadrilatère.

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Chapitre 22 : Le cylindre de révolution

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Chapitre 22

Cylindre de révolution et volume

Chapitre 22 : Cylindre de révolution et volume

A) Représentation en perspective cavalière et patron

Définition : Un cylindre de révolution est un solide constitué de :

deux disques superposables, appelés bases du cylindre ;
une surface latérale qui peut être déroulée en un rectangle.

Définition : La hauteur d’un cylindre est la longueur du segment qui joint les centres des bases.

Exemple :

Exemple : Un patron d’un cylindre de révolution :

B) Volume d'un cylindre

Propriété : Le volume d’un cylindre est donné par la formule :
\[V=A_{base}\times \text{hauteur}=\pi\times R^{2}\times h\]

Exemple : Calcul, en $\text{cm}^{3}$ et au dixième près, du volume du cylindre ci-dessous :

\[V=\pi\times R^{2}\times h=\pi\times (4~\text{cm})^{2}\times 8~\text{cm}=128\pi\approx 402,1~\text{cm}^{3} \]

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Construire une représentation en perspective cavalière d’un cylindre de révolution.
Construire le patron d’un cylindre de révolution.
Effectuer des conversions avec les unités de volume et de capacité.
Calculer le volume d’un cylindre de révolution.

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Chapitre 21 : Statistiques

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Chapitre 21

Statistiques

Chapitre 21 : Statistiques

A) Effectifs et fréquences

Définitions :

L’effectif d’une donnée est le nombre de fois où cette donnée apparaît dans une liste.
L’effectif total est le nombre de données dans une liste.
La fréquence d’une donnée est le quotient de son effectif par l’effectif total.

Exemple : Un pêcheur a mesuré la taille des poissons d’une même espèce remontés dans son filet. Voici ses mesures en cm :
\[9-13-11-10-12-13-14-14-10-14-14-10\]\[14-12-15-15-12-15-15-13-15-15-13-15\]

L’effectif total est 24.
L’effectif de la valeur 12 est 3.
La fréquence de la valeur 10 est :
$\dfrac{3}{24}+\dfrac{1}{8}=0,125$ soit 12,5 %.

B) Moyenne d'une série de données

Définition : La moyenne d’une série de données est le nombre obtenu :

en additionnant toutes les données de la série ;
en divisant cette somme par l’effectif total de la série.

Exemple : Voici les performances de huit athlètes qui ont participé à un concours de
lancer de javelot :
62 m – 73 m – 58 m – 64 m – 71 m – 62 m – 65 m – 59 m.
Calculer la longueur moyenne de ces lancers.
[\dfrac{62~\text{m}+73~\text{m}+58~\text{m}+64~\text{m}+71~\text{m}+62~\text{m}+65~\text{m}+59~\text{m}}{8}=64,25~\text{m}\]La longueur moyenne de ces lancers est de 64,25 m.

C) Représenter graphiquement des données

Règle : Dans un diagramme en barres les hauteurs des barres sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) qu’elles représentent.

Exemple : Calculer le nombre moyen d’animaux possédé par un élève de sixième en utilisant le diagramme ci-dessous.

\[\dfrac{0\times 32+1\times 21+2\times 15+3\times 7+4\times 3}{32+21+15+7+3}\approx 1\]En moyenne, les élèves possèdent environ un animal.

Règle : Dans un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) les mesures des angles de chaque secteur sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) qu’ils représentent.

Exemple : Le diagramme circulaire ci-dessous représente la répartition des 120 jeunes d’un club de judo. 45 % de ces jeunes ont entre 10 et 14 ans.

Calculer le nombre de membres de moins de 10 ans.
Calculer la mesure de l’angle du secteur « de 10 à 14 ans ».

Un quart des membres ont moins de 10 ans d’après ce diagramme.
$120\div 4=30$.
Il y a 30 membres de moins de 30 ans dans ce club.
L’angle du secteur vaut :
Calcul du coefficient de proportionnalité :
\[360\div 100=3,6\]

La mesure de l’angle du secteur « de 10 à 14 ans » est de 162°.

On peut également utiliser un graphique pour représenter l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre.

Exemple : Clotilde se rend chez Juliette en bus, passe un moment avec elle et revient à son domicile. On modélise cette activité par le graphique suivant avec en abscisse le temps en minutes et en ordonnée la distance qui sépare Clotilde de chez elle.

D’après ce graphique, Clotilde a passé 120 min (c’est à dire 2 h ) chez Juliette.
D’après ce graphique, le bus a mis 20 min pour parcourir 3 km. On peut calculer sa vitesse moyenne. En effet :
En 60 min, il aura parcouru : $3~\text{km}\times 3=9~\text{km}$.
Sa vitesse moyenne est de $9~\text{km/h}$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Calculer une fréquence et l’exprimer sous forme fractionnaire, décimale, d’un pourcenatge
Calculer une moyenne.
Lire et représenter graphiquement des données.

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Chapitre 21 : Les échelles

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Chapitre 21

Les échelles

Chapitre 21 : Les échelles

Définition : L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité:
\[\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}\]

Exemple : Sur une carte à l’échelle $\dfrac{1}{1~000}$, $1~\text{cm}$ sur la carte représente $1~000~\text{cm}$ dans la réalité, c’est à dire $10~\text{m}$.

$4,2~\text{cm}$ sur la carte représentent dans la réalité $4,2\times \times 10~\text{m}=42~\text{m}$.

Exemple : Sur un plan, un appartement est représenté par un carré de côté $10~\text{cm}$. La longueur réelle du côté du carré est de $9~\text{m}$. Calculer l’échelle de ce plan.

D’après la définition de l’échelle :
\[\dfrac{10~\text{cm}}{9~\text{m}}=\dfrac{10~\text{cm}}{900~\text{cm}}=\dfrac{1~\text{cm}}{90~\text{cm}}\]Ainsi, l’échelle de ce plan est égale à $\dfrac{1}{90}$.

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Chapitre 20 : Equations

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Chapitre 20

Equations

Chapitre 20 : Equations

A) Tester une égalité

Vocabulaire : Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe =.

Exemple :

\[\underbrace{5\times 4}_{\textcolor{red}{\text{Membre de gauche}}}=\underbrace{12+8}_{\textcolor{red}{\text{Membre de droite}}}\]

Définition : Tester une égalité de deux expressions signifie remplacer chaque lettre identique par une même valeur, et
indiquer si l’égalité est vraie ou fausse pour cette valeur.

Exemple : On considère l’égalité $3x-5=5x-9$.

Cette égalité est-elle vraie pour $x=2$ ?

On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{2}-5=6-5=1$
On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{2}-9=10-9=1$

On trouve le même résultat, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est vraie pour $x=2$.

2. Cette égalité est-elle vraie pour $x=4$ ?

On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{4}-5=12-5=7$
On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{4}-9=20-9=11$

On trouve des résultats différents, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est fausse pour $x=4$.

B) Équations du premier degré à une inconnue

Définition : Une équation est une égalité dans laquelle figure une lettre appelée inconnue.

Exemple : $x-0,4=0,1$ est une équation d’inconnue $x$.

Définition : Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’égalité est vrai.

Définition : Résoudre une équation c’est trouver toutes ses solutions.

Exemples : Résoudre les équations suivantes :
\begin{eqnarray*}
x+7&=&13\\
x+7\textcolor{red}{-7}&=&13\textcolor{red}{-7}\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
La solution de cette équation est 6.

\begin{eqnarray*}
10x&=&1,3\\
10x\textcolor{red}{\div 10}&=&1,3\textcolor{red}{\div 10}\\
x&=&0,13
\end{eqnarray*}
La solution de cette équation est 0,13.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Tester une égalité.
Résoudre une équation simple.

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Chapitre 20 : Ratio

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Chapitre 20

Ratio

Chapitre 20 : Ratio

Exemple : Une poche de bonbons est partagée entre Maroi et Esteban dans un ratio $3 : 4$ (lire « trois pour quatre»). Cela veut dire que Maroi reçoit $3$ bonbons quand Esteban en reçoit $4$. C’est un partage inégal. Pour une poche contenant $21$ bonbons, représentons les tours de distribution :

Maroi reçoit donc neuf bonbons quand Esteban en reçoit douze. La quantité de bonbons de Maroi partagée en $3$ est
égale à la quantité de bonbons d’Esteban partagée en $4$.

Définitions :

On dit que deux nombres a et b sont dans le ratio $3:4$ si :

\[\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}\]

On dit que trois nombres a, b et c sont dans le ratio $2:3:7$ si :

\[\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{7}\]

Remarque : un ratio permet de parler des proportions de deux ou trois quantités les unes par rapports aux autres. Notre premier exemple pourrait se traduire aussi par : Maroi a reçu $\dfrac{3}{7}$ des bonbons et Esteban en a reçu $\dfrac{4}{7}$ (le dénominateur a été obtenu en ajoutant le nombre de parts de Maroi et le nombre de parts d’Esteban). Chacune de ces fractions permet de comparer une partie à la
totalité, ce ne sont pas des ratios.

Remarque : En France, on dit que le sexe-ratio est de $105:100$ parce qu’il naît environ $105$ garçons pour $100$ filles.

Exemple : Comment partager $48$ macarons entre Simon et Mandy dans le ratio $5:11$ ?

D’après le schéma ci-dessus, $1$ brique unité vaut :
\[48~\text{macarons}\div 16=3~\text{macarons}\]Donc Simon recevra :
\[3~\text{macarons} \times 5=15~\text{macarons}\]Mandy recevra :
\[3~\text{macarons} \times 11=33~\text{macarons}\]

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Chapitre 19 : Fonctions

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Chapitre 19

Fonctions

Chapitre 19 : Fonctions

A) Expression d'une grandeur en fonction d'une autre

Vocabulaire : Dans certaines situations, on constate qu’une grandeur dépend d’une autre grandeur. Pour rendre compte de cette dépendance, on désigne chaque grandeur par des lettres et on écrit une formule littérale qui exprime une grandeur en fonction d‘une autre.

Exemple : Le périmètre d’un carré dépend de la longueur de son côté. On désigne par $c$ la longueur du côté du carré. Alors le périmètre $P$ du carré s’exprime par la formule $P=4c$.

B) Utilisation d'un tableau de valeurs, d'un graphique

Exemple : Une cuve contient 1 000 L d’eau. On la remplit avec une pompe qui a un débit de 400 L par heure. On note $t$ la durée, en h, de fonctionnement de la pompe. La quantité d’eau $Q$, en L, qu’il y a dans la piscine après $t$ heures de fonctionnement de la pompe est $1~000+400t$.
On peut noter $Q(t)$ (lire » $Q$ de $t$ » ) cette quantité d’eau après $t$ heures de fonctionnement de la pompe. Ainsi :
\[Q(t)=1~000+400t\]On peut traduire cette relation de dépendance par un tableau de valeurs :

On peut également traduire cette relation de dépendance par un graphique :

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Comprendre l’expression « en fonction de ».
Produire une formule simple représentant la dépendance de deux grandeurs.
Produire un tableau de valeurs.
Placer un point dans un repère.
Lire et interpréter un graphique.

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Chapitre 19 : Somme des mesures des angles d’un triangle

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Chapitre 19

Angles dans un triangle

Chapitre 19 : Angles dans un triangle

A) Somme des mesures des angles dans un triangle

Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.

Démonstration :
On trace la parallèle à la droite $(BC)$ passant par $A$.
Les angles rouges sont alternes-internes ainsi que les angles verts. Or, d’après la propriété précédente, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment ont la même mesure.
Ainsi, les angles rouges ont la même mesure et les angles verts ont la même mesure.
On en déduit que dans le triangle $ABC$ :
\[\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180\text{°}\]

Exemple : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DEF}$.

Dans un triangle, la somme des mesures des angles égales $180\text{°}$. Ainsi :
$\widehat{DEF}+\widehat{DFE}+\widehat{FDE}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}+36\text{°}+20\text{°}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-(20\text{°}+36\text{°})$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-56\text{°}$
$\widehat{DEF}=124\text{°}$

Exemple : Le triangle $IJK$ est rectangle isocèle en $I$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{IKJ}$.

$IKJ$ est isocèle en $I$ donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ainsi, $\widehat{IKJ}=\widehat{IJK}$.
Ainsi :
$\widehat{IKJ}=\dfrac{180\text{°}-90\text{°}}{2}=45\text{°}$

B) Triangle équilatéral

Propriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles mesure $60\text{°}$.

Exemple :

Le triangle $IJK$ est équilatéral donc ses 3 angles ont la même mesure.
$\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}$.
Donc $3\times \widehat{IJK}=180\text{°}$.
Ainsi $\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}=60\text{°}$.

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Sujet et correction du brevet blanc de mathématiques d’avril 2022

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Sujet et correction brevet blanc mathématiques d'avril 2022

Le sujet

La correction

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Sujet et correction du brevet blanc de mathématiques de janvier 2022

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Sujet et correction brevet blanc mathématiques janvier 2022

Le sujet

La correction

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Sujet et correction du brevet de mathématiques Métropole juin 2021

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Sujet et correction brevet mathématiques Métropole juin 2021

Voici la correction en vidéo du sujet de brevet de mathématiques de Métropole juin 2021.

L’exercice 1 regroupe deux questions de statistiques (étendu et moyenne), une question de tableur et une question de pourcentages.
L’exercice 2 traite des notions du programme de mathématiques telles que la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers, la recherche de diviseurs communs à deux nombres et le théorème de Thalès.
L’exercice 3 est un QCM sur les probabilités et les transformations.
Dans l’exercice 4, un script Scratch est associé à un programme de calcul. On y retrouve des questions de calcul littéral et de résolution d’équations.
Enfin, dans le dernier exercice de ce sujet de brevet de mathématiques, on retrouve le théorème de Pythagore et des calculs d’aires et de volumes.

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Sujet et correction du brevet blanc de mathématiques de mai 2021

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Sujet et correction brevet blanc mathématiques mai 2021

Le sujet de brevet mathématiques de mai 2021 proposait aux élèves
du collège 6 exercices indépendants les uns des autres. L’épreuve était notée sur 100 et l’usage de la calculatrice autorisé. Toute trace de recherche même incomplète était prise en compte dans l’évaluation de la copie.

Ci-dessous, retrouvez au format pdf à télécharger librement :

Le sujet brevet maths de mai 2021.

Le corrigé brevet maths de mai 2021.

Retrouvez également le sujet et la correction du sujet du brevet blanc de mathématiques de janvier 2021 ici.

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Sujet et correction du brevet de mathématiques janvier 2021

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Sujet et correction brevet blanc de mathématiques janvier 2021

Le sujet de brevet mathématiques de janvier 2021 proposait aux élèves du collège 6 exercices traitant de différents chapitres vus depuis le début de l’année de 3ème :

Tout d’abord, l’exercice 1 est un problème de partage utilisant la notion de décomposition de nombres en produits de facteurs premiers ;
Ensuite, l’exercice 2 propose des calculs de volumes ;
l’exercice 3 traite des données statistiques ;
Après cela, l’exercice 4 est un programme de calcul que l’on associe à une expression littérale ;
l’exercice 5 traite de la notion de fonctions ;
Enfin, l’exercice 6 est une application de la proportionnalité à des calculs de vitesses, de durées et de distances.

Ci-dessous, retrouvez au format pdf à télécharger librement :

Le sujet brevet maths de janvier 2021.

Le corrigé brevet maths janvier 2021.

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Sujets de brevet blanc de mathématiques de janvier 2020

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Sujet et correction du brevet blanc de mathématiques janvier 2020

Le sujet

La correction

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Chapitre 18 : Soustraction de nombres relatifs

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Chapitre 18

Soustraction de nombres relatifs

Chapitre 18 : Soustraction de nombres relatifs

A) Soustraire deux nombres relatifs

Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on peut ajouter son opposé.

Démonstration à partir d’un exemple : Démontrons que $3-(-2)=3+2=5$.
$3-(-2)=3+0-(-2)=3+2+(-2)-(-2)=3+2+0=3+2=5$

Exemples :

\[4-7=4+(-7)=-3\]

\[12-(-4)=12+4=16\]

\[-9-5=-9+(-5)=-14\]

B) Distance entre deux points sur une droite graduée

Propriété : Sur une droite graduée, la distance entre deux points est égale à la différence entre la plus grande abscisse
et la plus petite.

Exemple :

Distance entre le point $A$ d’abscisse $2$ et le point $B$ d’abscisse $-3$ :
\[AB=2-(-3)=2+3=5\]

C) Calculer une expression avec des additions et des soustractions

Exemples :

On calcule de gauche à droite :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&2-8-(-12)\\
A&=&-6-(-12)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}

On écrit A avec des additions uniquement :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&-7+9+(-8)+12\\
A&=&9+12+(-7)+(-8)\\
A&=&21+(-15)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}

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Chapitre 17 : Prisme droit et volume

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Chapitre 17

Prisme droit et volume

Chapitre 17 : Prisme droit et volume

A) Prisme droit

Définition : Un prisme droit est un solide de l’espace qui possède :

deux faces parallèles appelées bases et qui sont des polygones superposables ;
d’autres faces appelées faces latérales et qui sont des rectangles.

Exemple : Un prisme droit à base triangulaire :

Exemple : D’autres prismes droits :

La base est le polygone $ABCD$ :

La base est le polygone $IJKLM$ :

Remarque : Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un prisme droit particulier.

B) Patron d'un prisme droit

Définition : On appelle patron d’un solide un dessin qui permet de réaliser ce solide après découpage et collage, sans que deux faces se superposent.

Exemple : Patron d’un prisme droit à base triangulaire :

C) Unités de volume et de capacité

Le grand cube ci-dessous est composé de petits cubes d’arêtes 1 cm. On constate qu’il comporte 1 000 de ces petits cubes.

Ainsi :
\[1~\text{dm}^{3}=1~000~\text{cm}^{3}\]Par ailleurs, on peut remplir ce grand cube avec une bouteille de 1 litre. Ainsi :
\[1~\text{dm}^{3}=1~\text{L}\]Chaque unité de volume est 1 000 fois plus grande que l’unité immédiatement inférieure.
Chaque unité de capacité est 10 plus grande que l’unité immédiatement inférieure.

Exemples :

Conversion de 0,67 m$^{3}$ en dm$^{3}$ :
\[0,67~\text{m}^{3}=0,67\times 1~\text{m}^{3}=0,67\times 1~000~\text{dm}^{3}=670~\text{dm}^{3}\]
Conversion de 75 cL en L :
\[75~\text{cL}=75\times 1~\text{cL}=75\times 0,01~\text{L}=0,75~\text{L}\]
Conversion de 4,3 m$^{3}$ en L :
\[4,3~\text{m}^{3}=4~300~\text{dm}^{3}=4~300~\text{L}\]

D) Volumes du pavé droit, du cube et du prisme droit

Formule : Le volume d’un pavé droit de longueur $l$, de largeur $L$ et de hauteur $h$ est égal au produit de ses 3 dimensions :
\[V_{\text{pavé droit}}=L\times l\times h\]

Formule : Le volume d’un cube est égal au cube de la longueur $c$ de son arête :
\[V_{\text{cube}}=c\times c\times c\]

Formule : Le volume d’un prisme droit de hauteur $h$ est donné par la formule:
\[V_{\text{prisme droit}}=A_{\text{base}}\times h\]

Exemples :

Volume d’un pavé droit de longueur $5~\text{dm}$, de largeur $3~\text{dm}$ et de hauteur $2~~\text{dm}$ est égal à :
\[V_{\text{pavé droit}}=5~\text{dm}\times 3~\text{dm}\times 2~\text{dm}=305~\text{dm}^{3}\]
Volume d’un cube ayant des arêtes de longueur $3~\text{cm}$ :
\[V_{\text{cube}}=3~\text{cm}\times 3~\text{cm}\times 3~\text{cm}=27~\text{cm}^{3}\]
Volume du prisme droit ci-dessous :

\[A_{\text{base}}=\dfrac{3~\text{cm}\times 5~\text{cm}}{2}=7,5~\text{cm}^{2}\]\[V_{\text{prisme droit}}=7,5~\text{cm}^{2}\times 8~\text{cm}=60~\text{cm}^{3}\]

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Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Construire une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit.
Construire le patron d’un prisme droit.
Effectuer des conversions avec les unités de volume et de capacité.
Calculer le volume d’un pavé droit, d’un cube, d’un prisme droit.

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Chapitre 16 : Notion de probabilité

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Chapitre 16

Notion de probabilité

Chapitre 16 : Notion de probabilité

A) Issues d'une expérience aléatoire

Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat (ou issue).

Définition : Un événement est constitué par certaines issues d’une expérience aléatoire.

Exemples : Dans chacune des situations ci-dessous, plusieurs issues (ou résultats) sont possibles.

Lancer une pièce équilibrée est une expérience aléatoire. Cette expérience a deux issues : pile ou face.
Tirer une boule dans une urne est une expérience aléatoire. Cette expérience a deux issues : rouge ou jaune.
Dans le troisième exemple, on peut s’intéresser à l’événement « obtenir un nombre impair ». On a $6$ chances sur $8$ d’obtenir un nombre impair.

B) Notion de probabilité

Exemples : Retour à l’exemple précédent :

Dans le premier exemple, on a $1$ chance sur $2$ de tirer « Pile ». On dira alors que la probabilité de cette issue est égale à $\dfrac{1}{2}$.
Dans le deuxième exemple, la probabilité de tirer une boule rouge est de $\dfrac{3}{5}$. Il y a $60$ % de chance d’obtenir une boule rouge.
Dans le troisième exemple, la probabilité de tomber sur une case comportant le chiffre $1$ est $\dfrac{2}{8}$

Définition : La probabilité d’une issue est égale au quotient de nombre d’issues favorables (issues dans lesquelles on obtient le résultat) par le nombre total d’issues possibles.

On peut ainsi positionner un événement sur une échelle de probabilité graduée de 0 à 1 :

Propriétés :

La probabilité d’une issue est un nombre compris entre $0$ et $1$.
La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à $1$.

Exemple : En reprenant l’exemple de la roue de loterie des exemples précédents :
$\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+1+3+1+1}{8}=\dfrac{8}{8}=1$

Remarques :

Une probabilité peut s’exprimer sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).
En classe de 5e, on étudie des expériences aléatoires où toutes les issues ont la même probabilité. On appelle ces expériences des situations d’équiprobabilité.

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Chapitre 15 : Aire et périmètre

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Chapitre 15

Aire et périmètre

Chapitre 15 : Aire et périmètre

A) Périmètre d'une figure

Définition : Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Tableau des unités de longueur :

Exemples :

$0,65~\text{m}=0,65\times 1~\text{m}=0,65\times 100~\text{cm}=65~\text{cm}$ car $1~\text{m}=100~\text{cm}$.
$152~\text{m}=152\times 1~\text{m}=152\times 0,001~\text{km}=152\div 1~000~\text{km}=0,152~\text{km}$ car $1~\text{km}=1~000~\text{m}$

Formulaire :

B) Aire d'une figure

Définition : L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure.

Donner une unité d’aire permet de mesurer l’aire d’une figure dans cette unité. Quand on change d’unité, la mesure
de l’aire change.
Tableau des unités d’aire :

Exemples :

$1~\text{m}^{2}=100~\text{dm}^{2}$
$7,63~\text{cm}^{2}=7,63\times 1~\text{cm}^{2}=7,63\times 0,01~\text{dm}^{2}=7,63\div 100~\text{dm}^{2}=0,0763~~\text{dm}^{2}$
$8,3~\text{dam}^{2}=8,3\times 1~\text{dam}^{2}=8,3\times 10~000~\text{dm}^{2}=83~000~\text{dm}^{2}$

Formulaire :

Exemple : Calculer l’aire d’un disque de diamètre 5 dm. Arrondir au centimètre près.

Le rayon de ce disque est égal à $5~\text{dm}\div 2=2,5~\text{dm}$.\\

$A_{\text{disque}}=\pi\times R^{2}=\pi\times (2,5~\text{dm})^{2}=\dfrac{25}{4}\pi~\text{dm}^{2}\approx 19,6~\text{dm}^{2}$
}}}

Exemple : Calculer l’aire du triangle $MEU$.

$A_{MEU}=\dfrac{EU\times MK}{2}=\dfrac{4~\text{cm}\times 3,1~\text{cm}}{2}=6,2~\text{cm}^{2}$

Exemple : Calculer l’aire du parallélogramme ci-dessous.

$A_{IJKL}=3,1~\text{cm}\times 6~\text{cm}=18,6~\text{cm}^{2}$

Propriété : Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.

Démonstration : Sur la figure ci-contre, $(CI)$ est la médiane issue de $C$ du triangle $ABC$.
On trace la hauteur $(CH)$ issue du sommet $C$ du triangle $ABC$.
On peut alors calculer les aires des triangles $ACI$ et $ICB$ :
\[A_{ACI}=\dfrac{CH\times AI}{2}\]\[A_{ICB}=\dfrac{CH\times BI}{2}\]Or, $AI=BI$ car $I$ est le milieu de $[BC]$.
On en déduit que $A_{ACI}=A_{ICB}$.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, $ME=5$ cm, $EU=3,9$ cm, $MU=6,4$ cm et $EK=2$ cm. Calculer l’aire du triangle $MIU$.

$A_{MEU}=\dfrac{2~\text{cm}\times 6,4~\text{cm}}{2}=6,4~\text{cm}^{2}$\\

Or, la droite $(IU)$ est une médiane du triangle $MEU$. Elle partage donc ce triangle en deux triangles de même mesure. On en déduit que :\\

$A_{MIU}=\dfrac{A_{MEU}}{2}=\dfrac{6,4~\text{cm}^{2}}{2}=3,2~\text{cm}^{2}$

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Calculer le périmètre d’un polygone, d’un cercle et d’une figure.
Calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle, d’un parallélogramme, d’un disque et d’une figure complexe.
Effectuer des conversions avec les unités d’aire.
Utiliser la propriété de la médiane pour calculer des aires.

Chapitre 15 : Aire et périmètre Lire la suite »

Chapitre 14 : Additionner des nombres relatifs

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Chapitre 14

Additionner des nombres relatifs

Chapitre 14 : Additionner des nombres relatifs

A) Additionner deux nombres relatifs

Règle : La somme de deux nombres relatifs de même signe :

a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
a pour distance à zéro la somme des distances à zéro.

Exemples :

\[10,1+9,9=20\]

\[-3,7+(-2,3)=-6\]

Règle : La somme de deux nombres relatifs de signes contraires :

a pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
a pour distance à zéro la différence des distances à zéro.

Exemples :

\[7+(-2)=5\]

\[-7,2+4=-3,2\]

Démonstrations à partir d’exemples :

Justifions que $-6+(-9)=-15$ :
$-6+(-9)+6+9=-6+6+(-9)+9=0+0=0$
Donc l’opposé de $6+9$ est égal à $-6+(-9)$. Ainsi :
$-6+(-9)=-(6+9)=-15$.
Justifions que $6+(-9)=-3$ :
$6+(-9)=6+(-6)+(-3)=0+(-3)=-3$

B) Additionner plusieurs nombres relatifs

Propriétés : Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut :

modifier l’ordre des termes ;
regrouper différemment les termes.

Exemples :
\[5+(-8)=-3\]

\[-8+5=-3\]

Exemples :
Pour calculer une telle expression, on peut regrouper les nombres positifs et les nombres négatifs :
\begin{eqnarray*}
A&=&\textcolor{green}{-5}+\textcolor{red}{6}+\textcolor{green}{(-7)}+\textcolor{red}{15}\\
A&=&\textcolor{green}{-5}+\textcolor{green}{(-7)}+\textcolor{red}{6}+\textcolor{red}{15}\\
A&=&-12+21\\
A&=&9
\end{eqnarray*}
Pour calculer une telle expression, on peut effectuer les calculs de gauche à droite :
\begin{eqnarray*}
A&=&\textcolor{red}{-5+6}+(-7)+15\\
A&=&1+(-7)+15\\
A&=&-6+15\\
A&=&9
\end{eqnarray*}
Pour calculer une telle expression, on peut regrouper les nombres opposés :
\begin{eqnarray*}
B&=&-7,1+(-3,6)+(-4,3)+3,6\\
B&=&-7,1+(-4,3)+\textcolor{red}{(-3,6)}+\textcolor{red}{3,6}\\
B&=&-7,1+(-4,3)\\
B&=&-11,4
\end{eqnarray*}

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
• Savoir additionner deux nombres relatifs.
• Savoir additionner plusieurs nombres relatifs.

Chapitre 14 : Additionner des nombres relatifs Lire la suite »

Chapitre 13 : Le parallélogramme

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Chapitre 13

Le parallélogramme

Chapitre 13 : Le parallélogramme

A) Définition du parallélogramme

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

Exemple : Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

B) Propriétés d’un parallélogramme

Propriétés :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il possède un centre de symétrie qui est le point d’intersection de ses diagonales.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.

Démonstration :

On introduit le point $O$, milieu de la diagonale $[AC]$. Le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$ est le point $C$. Le symétrique d’une droite étant une droite parallèle, on en déduit que les symétriques des droites $(AB)$ et $(BC)$ par rapport au point $O$ sont respectivement les droites $(CD)$ et $(AD)$. Le symétrique du point $B$ par rapport au point $O$ est donc à l’intersection des droites $(AD)$ et $(CD)$ : c’est donc le point $D$. Ainsi, le point $O$ est le centre de symétrie de ce parallélogramme.
Le point $O$ étant le centre de symétrie du parallélogramme $ABCD$, le symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $O$ est le segment $[DC]$ et le symétrique du segment $[AD]$ par rapport au point $O$ est le segment $[BC]$. La symétrie centrale conservant les longueurs, on a bien : $AB=DC$ et $AD=BC$.

Exemple :

$AB=DC$ et $AD=BC$.
$(AB)//(DC)$ et $(AD)//(BC)$.
$\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ et $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$.

C) Reconnaître un parallélogramme

Propriétés :

Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Connaître les propriétés du parallélogramme pour effectuer des constructions et mener des raisonnements.
Reconnaître des parallélogrammes.

Sources :

Chapitre 13 : Le parallélogramme Lire la suite »

Chapitre 12 : Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire

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Chapitre 12

Addition et soustraction de fractions

Chapitre 12 : Addition et soustraction de fractions

A) Les fractions ont même dénominateur

Règle : Pour additionner (ou pour soustraire) deux quotients de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait)
les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

Démonstration : Démontrons que $\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{8}{7}$.
On sait que les nombres $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{3}{7}$ vérifient :
\[7\times \dfrac{5}{7}=5~~~\text{et}~~~7\times \dfrac{3}{7}=3\]Donc,
\[7\times (\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{7})=7\times \dfrac{5}{7}+7\times \dfrac{3}{7}=5+3=8\]Or,
\[7\times \dfrac{8}{7}=8\]On en déduit que :
\[\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{8}{7}=\dfrac{5+3}{7}\]

Exemples :

$\dfrac{13}{\textcolor{red}{4}}+\dfrac{6}{\textcolor{red}{4}}=\dfrac{13+6}{\textcolor{red}{4}}=\dfrac{19}{\textcolor{red}{4}}$

$\dfrac{5,7}{\textcolor{red}{5}}+\dfrac{1,3}{\textcolor{red}{5}}=\dfrac{5,7+1,3}{\textcolor{red}{5}}=\dfrac{7}{\textcolor{red}{5}}$

$\dfrac{18}{\textcolor{red}{12}}-\dfrac{11}{\textcolor{red}{12}}=\dfrac{18-11}{\textcolor{red}{12}}=\dfrac{7}{\textcolor{red}{12}}$

B) Les fractions ont des dénominateurs différents

Règle : Pour additionner (ou pour soustraire) deux quotients de dénominateurs différents, on les écrit avec le même
dénominateur.

Exemples :

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\textcolor{red}{\times 2}}{2\textcolor{red}{\times 2}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{7}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7\textcolor{red}{\times 3}}{5\textcolor{red}{\times 3}}-\dfrac{1\textcolor{red}{\times 5}}{3\textcolor{red}{\times 5}}=\dfrac{21}{15}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{16}{15}$

$3+\dfrac{5}{4}=\dfrac{12}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{17}{4}$

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Addition ou soustraire plusieurs fractions ayant le même dénominateur.
Additionner ou soustraire plusieurs fractions ayant des dénominateurs différents en
les convertissant au même dénominateur.

Sources :

Les fractions (Eduscol)

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Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral

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Chapitre 11

Introduction au calcul littéral

Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral

A) Des nombres et des lettres

Définition : Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent des nombres.

Remarque : Une expression littérale peut traduire un programme de calcul.

Exemple : Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre
Multiplier le résultat par 2
Ajouter 10

En effectuant ce programme de calcul avec $x$, on obtient :

$x$
$2\times x$
$2\times x+10$

L’expression littérale $2\times x+10$ permet de traduire ce programme de calcul.

Remarque : Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.

Exemples :

Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être la somme de deux entiers consécutifs » par l’expression littérale :
\[n+(n+1)\]
Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation « être un multiple de 3 » par l’expression littérale :
\[3\times n\]

B) Simplification d'écriture

Règle : On peut supprimer le signe $\times $ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.

Exemples :

Le périmètre d’un carré est donné par l’expression : $P=4\times c=4c$.
Le périmètre d’un rectangle est donné par l’expression : $P=2\times (l+L)=2(l+L)$.
Le périmètre d’un cercle est donné par l’expression : $P=2\times \pi\times R=2\pi R$.

Exemples :

$2\times a=2a$
$a\times b=ab$
$2+3\times b=2+3b$

$a\times 2+4\times b=2\times a+4b=2a+4b$
$(2+3)\times b=5\times b=5b$
$a\times a=a^{2}$

C) Remplacer des lettres par des nombres

Pour calculer une expression littérale pour certaines valeurs des lettres, il suffit de remplacer les lettres par ces valeurs.

Exemple : Calculer l’expression $A=5x(x+2)$ pour $x=3$. \begin{eqnarray*} A&=&5\times \textcolor{red}{x}\times (\textcolor{red}{x}+2)~~~~~\text{(On replace les signes $\times $ dans l’expression).}\\ A&=&5\times \textcolor{red}{3}\times (\textcolor{red}{3}+2)~~~~~~\text{(On remplace la lettre $x$ par sa valeur 3)}.\\ A&=&5\times 3\times 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(On effectue les calculs).}\\ A&=&75 \end{eqnarray*}

D) Distributivité

Propriété : $a$, $b$ et $k$ désignent des nombres.

$a\textcolor{red}{k}+b\textcolor{red}{k}=(a+b)\textcolor{red}{k}$
$a\textcolor{red}{k}-b\textcolor{red}{k}=(a-b)\textcolor{red}{k}$

Exemples : Réduire les expressions ci-dessous.

\begin{eqnarray*} A&=&12x+7x\\ A&=&(12+7)x\\ A&=&19x \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} B&=&3,5a-1,2a\\ B&=&(3,5-1,2)a\\ B&=&2,3a\\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
C&=&2x^{2}+3x+6-x+8\\
C&=&2x^{2}+(3-1)x+6+8\\
C&=&2x^{2}+2x+14
\end{eqnarray*}

Définition : Développer un produit c’est transformer ce produit en somme ou en différence.

Exemples : Développer les expressions suivantes.
\begin{eqnarray*}
A&=&6(7+x)\\
A&=&6\times 7+6\times x\\
A&=&42+6x
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
B&=&9(y-6)\\
B&=&9\times y-9\times 6\\
B&=&9y-54
\end{eqnarray*}

Définition : Factoriser une somme (ou une différence), c’est transformer cette somme (ou cette différence) en un produit.

Exemples : Factoriser les expressions suivantes.

\begin{eqnarray*}
A&=&6a+5a^{2}\\
A&=&6\times a+5\times a\times a\\
A&=&a(6+5a)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
B&=&9x-x\\
B&=&9\times x-9\times 1\\
B&=&9(x-1)
\end{eqnarray*}

Remarque : On peut également utiliser ces règles pour réduire une expression littérale.

Exemples : Réduire les expressions suivantes.
\begin{eqnarray*}
A&=&12x+7x\\
A&=&(12+7)x\\
A&=&19x
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
B&=&3,5a-1,2a\\
B&=&(3,5-1,2)a\\
B&=&2,3a\\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
C&=&2x^{2}+3x+6-x+8\\
C&=&2x^{2}+(3-1)x+6+8\\
C&=&2x^{2}+2x+14
\end{eqnarray*}

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Écrire une expression littérale traduisant un programme de calcul ou un problème.
Simplifier une expression littérale.
Remplacer une lettre par un nombre pour calculer la valeur d’une expression littérale.
Développer et factoriser une expression littérale en utilisant la distributivité.
Réduire une expression littérale.

Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral Lire la suite »

Chapitre 10 : Comparer des nombres en écriture fractionnaire

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Chapitre 10

Comparer des fractions

Chapitre 10 : Comparer des fractions

A) Comparer des fractions à 1 ou à 1/2

Propriétés :

Si le numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à 1.
Si le numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à 1.
Si le numérateur est égal au dénominateur alors la fraction est égale à 1.

Propriétés :

Si le double du numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à $\dfrac{1}{2}$.
Si le double du numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à $\dfrac{1}{2}$.

Exemples :

$\dfrac{11}{15}<1$ car $11<15$.
$\dfrac{15}{15}=1$ car le numérateur est égal au dénominateur.
$\dfrac{15}{29}>\dfrac{1}{2}$ car $15\times 2=30>29$.
$\dfrac{16}{29}<\dfrac{1}{2}$ car $16\times 2=32<29$.

Remarques : Ces deux propriétés permettent dans certains cas de comparer des fractions entre elles.

Exemples :

$\dfrac{17}{15}>1$ et $\dfrac{14}{15}<1$ donc $\dfrac{17}{15}>\dfrac{14}{15}$.
$\dfrac{6}{15}<\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{11}{13}>\dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{6}{15}<\dfrac{11}{13}$.

B) Comparer des fractions de même dénominateur ou de même numérateur

Propriété : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple : Trois parts d’un gâteau coupé en 4, c’est davantage qu’une part de ce même gâteau.

$\dfrac{1}{4}<\dfrac{3}{4}$

Propriété : Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple : On a une plus grande part de gâteau quand il est coupé en 4 que quand il est coupé en 8.

$\dfrac{3}{4}>\dfrac{3}{8}$

Exemple : Comparer $\dfrac{18,1}{6}$ et $\dfrac{43}{12}$.

On utilise la propriété des quotients égaux pour obtenir le même dénominateur :
$\dfrac{18,1}{6}=\dfrac{18,1\times \textcolor{red}{2}}{6\times \textcolor{red}{2}}=\dfrac{36,2}{12}$
Or $36,2<43$, donc: $\dfrac{36,2}{12}<\dfrac{43}{12}$
Ainsi: $\dfrac{18,1}{6}<\dfrac{43}{12}$

C) Comparer des fractions en calculant le quotient

Propriété : Pour comparer deux fractions on peut également calculer le quotient.

Exemple : Pierre et Bintou boivent chacun une bouteille avec la même quantité d’eau. Pierre boit $\dfrac{9}{12}$ de sa bouteille. Bintou boit $\dfrac{10}{16}$ de sa bouteille. Lequel des deux a bu le plus d’eau ? $Comparer deux fractions à partir de leur écriture décimale$ Donc $\dfrac{9}{12}>\dfrac{10}{16}$. Pierre a bu le plus d’eau.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Comparer des fractions à 1 ou à 1/2.
Comparer deux fractions ayant même numérateur ou même dénominateur.
Comparer deux fractions ayant des numérateurs et des dénominateurs différents. (en convertissant au même dénominateur, en calculant leur quotient, en les comparant au nombre 1…).

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Chapitre 9 : Les triangles

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Chapitre 9

Triangles

Chapitre 9 : Triangles

A) Somme des mesures des angles dans un triangle

Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.

Exemple : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DEF}$.

Exemple : Le triangle $IJK$ est rectangle isocèle en $I$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{IKJ}$.

$IKJ$ est isocèle en $I$ donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ainsi, $\widehat{IKJ}=\widehat{IJK}$.
Ainsi :
$\widehat{IKJ}=\dfrac{180\text{°}-90\text{°}}{2}=45\text{°}$

Propriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles mesure $60\text{°}$.

Exemple :

B) Construction de triangles

On peut construire un triangle avec les instruments de géométrie dans chacun des cas ci-dessous :

on connaît les longueurs des trois côtés ;
on connaît les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle adjacent à ces deux côtés ;
on connaît la longueur d’un seul côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents.

Exemples : Dans chaque cas, construction du triangle $ABC$ avec le matériel de géométrie.

$AB=3$ cm ; $AC = 4,3$ cm ; $CB=$5,2 cm :
$AB=2,9$ cm ; $AC = 3,4$ cm ; $\widehat{CAB} = 38$° :
$AB =$ 4,1 cm ; $\widehat{CAB} = 43$° ; $\widehat{CBA} = 51$° :

C) Médiatrices d'un triangle

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.

Exemple : $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ : $(d)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(d)$ coupe $[AB]$ en son milieu.

Propriété : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Propriété : Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point. On dit qu’elles sont concourantes.

Définition : Ce point d’intersection est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.

Exemple : Cercle circonscrit de centre O à un triangle ABC. (O est à l’extérieur du triangle ABC).

Remarque : Le point $O$ peut également se situer à l’intérieur du triangle.

Définition : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

Propriété (admise) : Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.

Exemple : Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Le centre $O$ du cercle circonscrit se situe au milieu de l’hypoténuse $[AC]$.

D) Hauteurs d'un triangle

Définition : La hauteur issue d’un sommet d’un triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(d)$ est la hauteur issue du sommet $A$ du triangle $ABC$.

Propriété (admise) : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.

Définition : Leur point de concours est l’orthocentre du triangle.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le point $H$ est l’orthocentre du triangle $ABC$.

E) Médianes d'un triangle

Définition : Une médiane d’un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(d)$ est la médiane issue du sommet $A$ du triangle $ABC$.

Propriété (admise) : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.

Définition : Leur point de concours est le centre de gravité du triangle.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le point $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Savoir calculer la mesure d’un angle dans un triangle.
Savoir construire un triangle avec mes instruments de géométrie.
Connaître les définitions et les propriétés des médiatrices, des hauteurs et des médianes d’un triangles.
Savoir tracer le cercle circonscrit à un triangle.
Savoir tracer l’orthocentre et le centre de gravité d’un triangle.

Chapitre 9 : Les triangles Lire la suite »

Chapitre 9 : Angles et parallélisme

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Chapitre 9

Angles et parallélisme

Chapitre 9 : Angles et parallélisme

A) Vocabulaire

Définition : Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de
l’autre.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{zOt}$ sont opposés par le sommet. Ils ont donc la même mesure.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Les angles codés en vert sont des angles alternes-internes.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Les angles codés en vert sont des angles correspondants.

B) Propriétés

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) qu’elles forment ont la même mesure.

Démonstration : Les angles $\widehat{xAv}$ et $\widehat{yBu}$ sont alternes-internes.
Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Le symétrique de l’angle $\widehat{xAv}$ par rapport au point $I$ est l’angle $\widehat{yBu}$.
Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles.
Donc $\widehat{xAv}=\widehat{yBu}$.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(CH)$ coupe les droites parallèles $(BD)$ et $(FG)$ respectivement en $A$ et $E$.

Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FEA}$.

Les angles $\widehat{FEA}$ et $\widehat{EAD}$ sont alternes-internes. Comme les droites $(BD)$ et $(FG)$ sont parallèles alors ces deux angles ont la même mesure. Donc:
\[\widehat{FEA}=\widehat{EAD}=152°\]

Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(PK)$ coupe la droite $(IL)$ en $J$ et la droite $(MO)$ en $N$.

Prouver que les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Les angles $\widehat{KJL}$ et $\widehat{JNO}$ sont correspondants. Or, ils ont la même mesure. Donc les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Remarque : Si deux droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires à une même droite $(t)$, alors $(d)$ et $(d’)$ sont parallèles. On retrouve le cas étudié en 6ème…

Chapitre 9 : Angles et parallélisme Lire la suite »

Chapitre 8 : Introduction aux nombres relatifs

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Chapitre 8

Introduction aux nombres relatifs

Chapitre 8 : Introduction aux nombres relatifs

A) Les nombres relatifs

On peut effectuer des soustractions pour lesquelles le 1er nombre est plus petit que le 2ème, le résultat est un nombre
négatif, il s’écrit avec un signe « -« .

\[7-9=3-5=1-3=0-2=(-2)\]

Exemples :
• $7 256$ est un nombre positif.
• $(−25,6)$ est un nombre négatif.
• $0$ est à la fois un nombre positif et un nombre négatif.

Remarque : On peut donc désormais compléter des égalités du type $9+…=7$ ! En effet :

\[9+(-2)=7\]

Définition : Les nombres négatifs et les nombres positifs font partis d’un ensemble appelé l’ensemble des nombres relatifs.

B) Opposés

Définition : Deux nombres sont opposés quand leur somme vaut zéro. Ainsi, l’opposé de $a$ est $(-a)$.

Propriété : L’opposé de l’opposé d’un nombre relatif $a$ est $a$ lui-même. Ainsi :
\[-(-a)=a\]

Exemple :

\[7+(-7)=0\]Les deux nombres $(-7)$ et $7$ sont opposés.

Définition : La valeur absolue d’un nombre relatif $a$, noté $\lvert a \rvert$, est un nombre positif égal à :

$a$ si $a$ est positif ;
$(-a)$ si $a$ est négatif.

Exemples :

La valeur absolue de $4,5$ est $4,5$.
La valeur absolue de $(-5)$ est $5$.

C) Repérage sur une droite graduée

Définition : Sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre relatif correspond à la distance entre ce point et l’origine de la droite.

Exemple : Sur cette droite graduée, l’abscisse de $A$ est $(−2)$, l’abscisse de $B$ est $2$.

La distance à zéro du nombre $(−2)$ est $2$.
La distance à zéro du nombre $2$ est $2$.

Remarque : Sur la droite graduée ci-dessus, les points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à l’origine $O$. Les nombres
$2$ et $(−2)$ sont opposés.

D) Comparer des nombres relatifs

Règles :

Si deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui est le plus éloigné de zéro.
Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif.
Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.

Exemples :

$-5,3<-3$

$-200<7,01$

$4,49<4,7$

E) Repérage dans le plan

Définition : Un repère du plan est constitué de deux droites graduées (ou axes) de même origine $O$. $O$ est l’origine du repère.

Définition : Dans un repère, chaque point est repéré par deux nombres relatifs :

Le premier nombre, lu sur l’axe horizontal, est appelé l’abscisse du point.
Le second nombre, lu sur l’axe vertical, est appelé l’ordonnée du point.

Exemple :

Les coordonnées du point $A$ sont : $(\textcolor{red}{-4};\textcolor{green}{3})$.
L’abscisse de $A $est $(−4)$.
L’ordonnée de $A $est $3$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée ou placer un point d’abscisse donnée sur cette droite graduée.
Comparer des nombres relatifs.
Ranger des nombres relatifs dans l’ordre croissant ou décroissant.
Lire les coordonnées d’un point dans un repère ou placer un point de coordonnées données dans ce repère.

Chapitre 8 : Introduction aux nombres relatifs Lire la suite »

Chapitre 7 : Pourcentages

1 commentaire / eric_moisan@orange.fr

Chapitre 7

Les pourcentages

Chapitre 7 : Les pourcentages

Définition : Une proportion est la valeur qui exprime le rapport $\dfrac{\text{partie}}{\text{tout}}$.

Exemple : Dans un groupe de 40 personnes, 18 ne possèdent pas de
smartphone. La proportion de personnes ne possédant pas de smartphone est $\dfrac{18}{40}$.

B) Appliquer un pourcentage

Définition : Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à $100$ .

Propriété : Pour calculer $p\%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac{p}{100}$.

Exemple : Calculer $30\%$ de $50~\text{L}$.

\[\dfrac{30}{100}\times 50~\text{L}=0,30\times 50~\text{L}=15~\text{L}\]

$30 \%$ de $50~\text{L}$ c’est donc $15~\text{L}$.

Cas particuliers :

Pour calculer $50 \%$ d’un nombre, on le divise par $2$.
Pour calculer $25 \%$ d’un nombre, on le divise par $4$.
Pour calculer $10 \%$ d’un nombre, on le divise par $10$.

C) Calculer un pourcentage

Méthode : Calculer un pourcentage revient à écrire une proportion de dénominateur 100.

Exemple : $7$ élèves sur $28$ sont gauchers. Quel est le pourcentage de gauchers ?

\[\dfrac{7}{28}=0,25=\dfrac{25}{100}\]Donc $25\% $ de ces élèves sont gauchers.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Calculer une proportion.
Appliquer un pourcentage.
Calculer un pourcentage.

Chapitre 7 : Pourcentages Lire la suite »

Chapitre 6 : Les nombres premiers

5 commentaires / eric_moisan@orange.fr

Chapitre 6

Les nombres premiers

Chapitre 6 : Les nombres premiers

A) Multiples et diviseurs d'un nombre

Définition : Le nombre $a$ est divisible par le nombre $b$ ($b\neq 0$) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$.
On a donc :
\[a=b\times q\]

$b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.
$a$ est un multiple de $b$.

Exemple : 56 = 7 x 8.

7 et 8 sont des diviseurs de 56.
56 est un multiple de 7 et un multiple de 8.

Critères de divisibilité :

Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

B) Nombres premiers

Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples :

12 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12.
1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.
0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non-nul.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 sont tous les nombres premiers inférieurs à 30.

C) Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette
décomposition est unique, à l’ordre près.

Exemple : Décomposition de 90 en produit de facteurs premiers.

$90=2\times 45$
$90=2\times 3\times 15$
$90=2\times 3\times 3\times 5$

Exemple : La décomposition en produit de facteurs premiers permet de simplifier une fraction.
\[\dfrac{76}{90}=\dfrac{2\times 2\times 19}{2\times 3\times 3\times 5}=\dfrac{2\times 19}{3\times 3\times 5}=\dfrac{38}{45}\]

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Chapitre 5 : Inégalité triangulaire et construction de triangle

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Chapitre 5

L'inégalité triangulaire

Chapitre 5 : L'inégalité triangulaire

Propriété : Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté.

Exemple : Dans un triangle $ABC$, on a :

\[AC+CB>\textcolor{blue}{AB}\]

\[AB+BC>\textcolor{green}{AC}\]

\[BA+AC>\textcolor{red}{BC}\]

Conséquence : Cela signifie que pour pouvoir construire un triangle dont on donne les longueurs des trois côtés, il suffit de vérifier que la somme des deux plus petites longueurs est supérieure à la troisième.

Exemples :

Peut-on construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 8~\text{cm}$, $AC =4~\text{cm}$ et $BC = 2~\text{cm}$ ?
$AC +BC = 4~\text{cm}+2~\text{cm}= 6~\text{cm}$ et $AB = 8~\text{cm}$.
Donc $AC +BC < AB$ et on ne peut donc pas construire le triangle $ABC$.
Peut-on construire un triangle $EFG$ tel que $EF = 7,2~\text{cm}$, $EG = 4,5~\text{cm}$ et $FG = 3,3~\text{cm}$ ?

$EG +GF = 4,5~\text{cm}+3,3~\text{cm}= 7,8~\text{cm}$ et $EF = 7,2~\text{cm}$. Donc $EG +GF > EF$ et on peut construire le triangle $EFG$.

Propriétés :

Si un point $B$ appartient à un segment $[AC]$ alors $\textcolor{red}{AB} + \textcolor{green}{BC} = AC$.
Si $A$, $B$, $C$ sont trois points tels que $\textcolor{red}{AB} + \textcolor{green}{BC} = AC$ alors le point $B$ appartient au segment $[AC]$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Utiliser l’inégalité triangulaire pour justifier qu’un triangle est constructible ou non.
Construire des triangles dont on connaît les longueurs des 3 côtés.
Construire un triangle en respectant une échelle.

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Chapitre 4 : La proportionnalité

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Chapitre 4

La proportionnalité

Chapitre 4 : La proportionnalité

A) Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition : Une situation où l’on étudie deux grandeurs est dite de proportionnalité lorsqu’on obtient les valeurs prises par une grandeur en multipliant par un même nombre non nul les valeurs prises par l’autre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemples :

La situation ci-dessous est une situation de proportionnalité :
1 kg de cerises coûte 1,30 € , 2 kg de cerises coûtent 2,60 € et 0,5 kg de cerises coûte 0,65 € .

Le coefficient de proportionnalité est 1,3.

La situation ci-dessous n’est pas une situation de proportionnalité :
Le prix de location d’un vélo est de 17 € pour 2 heures et de 38 € pour 5 heures.

\[2\times 8,5=17\]\[5\times 8,5=42,5\neq38\]

Ce n’est pas une situation de proportionnalité.

B) D'autres méthodes de résolution d'un problème de proportionnalité

Utiliser le coefficient de proportionnalité permet de résoudre un problème de proportionnalité. Mais ce n’est pas la seule méthode…

Propriété : Pour résoudre un problème de proportionnalité, on peut utiliser :

l’addition (ou la soustraction) de quantités ;
la multiplication (ou la division) d’une quantité par un nombre non nul ;
le retour à l’unité.

Exemples : 4 kg de cerises coûtent 11,20 euros.

Combien coûtent 12 kg de cerises ?On peut ici utiliser la multiplication d’une quantité par un nombre non nul :

On remarque que : $4~\text{kg}\times 3=12~\text{kg}$.

Ainsi, le prix de 12 kg de cerises est égal à :
$11,20~\text{€} \times 3=33,60~\text{€}$

2. Combien coûte 16 kg de cerises ?

On peut utiliser ici l’addition de quantités :
On remarque que $4~\text{kg}+12~\text{kg}=16~\text{kg}$.
Ainsi, le prix de 16 kg de cerises est égal à :
$11,20~\text{€}+33,60~\text{€}=44,80~\text{€}$

3. Combien coûte 5 kg de cerises ?

On peut utiliser ici le retour à l’unité :
4 kg de cerises coûtent 11,20 € donc 1 kg de cerises coûte :
$11,20~\text{kg}\div 4=2,80~\text{€}$
5 kg de cerises coûtent alors « 5 fois plus cher » :
$2,80~\text{€}\times 5=14~\text{€}$

Remarque : Dans l’exemple précédent, la méthode du retour à l’unité permet de trouver le coefficient de proportionnalité. 2,80 est le nombre qui permet de passer de la masse de cerises achetées au prix à payer.

C) Reconnaître une situation de proportionnalité à partir d'un tableau ou d'un graphique

Exemple : Voici le prix des photos dans un photomaton. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?

\[8\div 20=0,4\]\[12\div 30=0,4\]\[24\div 60=0,4\]Ce tableau est bien un tableau de proportionnalité : le prix est bien proportionnel au nombre de photos.

Propriétés (admises) :

Dans un repère, toute situation de proportionnalité se représente graphiquement par des points alignés avec l’origine du repère.
Dans un repère, tout graphique dont les points sont alignés avec l’origine du repère représente une situation de proportionnalité.

Exemples : Le(s)quel(s) de ces trois graphiques représentent une situation de proportionnalité ?

Cas 1 : Les points sont alignés avec l’origine du repère donc c’est une situation de proportionnalité.
Cas 2 : Les points sont alignés mais pas avec l’origine du repère donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.
Cas 3 : Les points ne sont pas alignés donc ce n’est pas une situation de proportionnalité.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Reconnaître une situation de proportionnalité.
Compléter un tableau de proportionnalité.
Résoudre un problème relevant de la proportionnalité en utilisant la méthode la plus efficace.
Reconnaître une situation de proportionnalité à partir d’un tableau ou d’un graphique.

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