Chapitre 19 : Pourcentages

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Chapitre 19

Les pourcentages

Chapitre 19 : Les pourcentages

Définition : Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à $100$.

Exemple : Dire qu’il y a $15 \%$ de sucre dans un gâteau signifie que la masse du sucre est proportionnelle à celle du gâteau et qu’il y a $15$ g de sucre dans $100$ g de gâteau.

Exemple : Sur une tablette de chocolat noir, on lit : « $72 \%$ de cacao ». Cela signifie que $100 $ g de chocolat contiennent $72 $ g de cacao. Pour connaître la quantité de cacao contenue dans une tablette de $250 $ g, il faut calculer $72 \%$ de $250$. Pour cela, on peut utiliser un tableau de proportionnalité :

Il y a donc $180 $ g de cacao dans cette tablette de chocolat.

Ainsi, pour calculer $72 \%$ de $250 $ g, on peut multiplier $250$ par $\dfrac{72}{100}$:
\[\dfrac{72}{100}\times 250=0,72\times 250=180\]

Propriété : Pour calculer $p \%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac{p}{100}$.

Cas particuliers :

Pour calculer $50 \%$ d’une quantité, on la divise par $2$.
Pour calculer $25 \%$ d’une quantité, on la divise par $4$.
Pour calculer $10 \%$ d’une quantité, on la divise par $10$.

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Chapitre 18 : les durées

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Chapitre 18

Les durées

Chapitre 18 : Les durées

A) Durée

Définition : La mesure du temps entre deux instants s’appelle sa durée.

Exemple : Une séance de cinéma commence à 17 h 40 et se termine à 19 h 10. Pour connaître la durée de cette séance,
on peut utiliser la ligne de temps ci-dessous.

$20~\text{min}+ 1~\text{h}~10~\text{min} = 1~\text{h}~30~\text{min}$.
Donc cette séance a duré $1~\text{h}~30~\text{min}$.

B) Unités de durée

Rappels :

- $1~\text{h}= 60~~\text{min} = 3~600~\text{s}$
- $1~\text{min} = 60~\text{s}$
- $\dfrac{1}{10}~\text{h}=6~\text{min}$
- $1~\text{an} = 365~\text{ou}~366~\text{jours}$
- $1~\text{siècle} = 100~\text{ans}$
- $1~\text{millénaire} = 1~000~\text{ans}$

Exemples :

$4~\text{h} = 240~\text{min} = 14~400~\text{s}$
$7 ~\text{jours} = 168~\text{h} = 10~080~\text{min}$
$2,8~\text{h}=2~\text{h}+\dfrac{8}{10}~\text{h}=2~\text{h}+48~\text{min}$

C) Calculs d'instants

A partir de la donnée de l’instant initial et de la durée, on peut calculer l’instant final.

Exemple : Un cours d’une durée de 1 h 30 min commence à 8 h 55. A quelle heure ce cours se termine-t-il ?

Ce cours se termine à 10 h 25.

A partir de la donnée de l’instant final et de la durée, on peut calculer l’instant initial.

Exemple : Un train est arrivé à 15 h 30. Le voyage a duré 1 h 50 min. A quelle heure le train est-il parti ?

Ce train est parti à 13 h 40.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Effectuer des conversions avec les unités de durée.
Calculer la durée entre l’instant initial et l’instant final.
Calculer l’instant final connaissant l’instant initial et la durée.
Calculer l’instant initial connaissant l’instant final et la durée.

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Chapitre 17 : Aires de polygones particuliers

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Chapitre 17

Aires de polygones particuliers

Chapitre 17 : Aires de polygones particuliers

A) Mesurer des aires

L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure. Donner une unité d’aire permet de mesurer l’aire d’une figure dans cette unité. Quand on change d’unité, la mesure de l’aire change.

Exemple : En prenant un carreau comme unité d’aire, on peut dire que l’aire du polygone ci-dessous est égale à 6 unités d’aire.

Remarque : Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes :

Vocabulaire : Pour les terrains ou les pays on utilise parfois le mot superficie à la place du mot aire.

B) Unités d'aires

A chaque unité de longueur (mm, cm, m, dam..) est associée une unité d’aire : $1$ cm$^{2}$ est l’aire d’un carré de côté $1$ cm, $1$ m$^{2}$ est l’aire d’un carré de côté $1$ m…
On remarque que l’on peut placer $100$ carrés de côté $1$ cm dans un carré de côté $1$ dm.

Tableau des unités de surface :

Exemples :

$1~\text{m}^{2}=100~\text{dm}^{2}$
$7,63~\text{cm}^{2}=7,63\times 1~\text{cm}^{2}=7,63\times 0,01~\text{dm}^{2}=7,63\div 100~\text{dm}^{2}=0,0763~\text{dm}^{2}$
$8,3~\text{dam}^{2}=8,3\times 1~\text{dam}^{2}=8,3\times 10~000~\text{dm}^{2}=83~000~\text{dm}^{2}$

C) Aires de polygones particuliers

Ci-dessous, on remarque qu’à partir de la formule de l’aire du rectangle on peut retrouver la formule de l’aire du carré et la formule de l’aire du triangle (un triangle étant toujours la moitié d’un rectangle).

Exemple : Calcul de l’aire du triangle $ABC$ :

\begin{eqnarray*} \text{A}_{\text{ABC}}&=& \text{Base}\times \text{Hauteur}\div 2\\ \text{A}_{\text{ABC}}&=&(3~\text{cm}\times 2~\text{cm})\div 2\\ \text{A}_{\text{ABC}}&=&3~~\text{cm}^{2}\\ \end{eqnarray*}

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Chapitre 16 : Écritures fractionnaires d’un quotient

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Chapitre 16

Ecritures fractionnaires d'un quotient

Chapitre 16 : Ecriture fractionnaire d'un quotient

A) Fraction-quotient

Définition : Le quotient de deux nombres $a$ et $b$ (avec $b$ non nul) est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$. Sous forme fractionnaire, le quotient de $a$ par $b$ s’écrit $\dfrac{\text{a}}{\text{b}}$ (avec $\text{b}\neq 0$).

Exemple : Par quel nombre faut-il multiplier $3$ pour trouver $4$ ?
Le nombre cherché est le quotient de $4$ par $3$, c’est à dire le nombre qui, multiplié par $3$, donne $4$ :

\[3\times \text{?}=4\]\[3\times \dfrac{4}{3}=4\]Ainsi, $\dfrac{4}{3}=4\div 3$. Représentation sur une demi-droite graduée:

Encadrement par deux entiers consécutifs :
\[1<\dfrac{4}{3}<2\]Somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$ :
\[\dfrac{4}{3}=1+\dfrac{1}{3}\]

B) Ecriture fractionnaire et écriture décimale

Certains quotients possèdent une écriture décimale, pour l’obtenir il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Exemple : $\dfrac{3}{4}=3\div 4=0,75$

En revanche, certains quotients ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’un nombre décimal. Il est alors possible de
donner une valeur approchée du quotient.

Exemple : $\dfrac{11}{6}\approx 1,833$ (valeur approchée de ce quotient au millième près.)

C) Prendre une fraction d'une quantité

Propriété : Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier cette fraction par cette quantité.

Exemple : Pour prendre $\dfrac{2}{3}$ de $15~\text{L}$, on doit calculer $2$ fois le tiers de $15~\text{L}$. Le tiers de $15~\text{L}$ c’est $5~\text{L}$. Donc les $\dfrac{2}{3}$ de $15 ~\text{L}$ égale $10~\text{L}$ : \[\dfrac{2}{3}\times 15~\text{L}=2\times (15~\text{L}\div 3)=2\times 5~\text{L}=10~\text{L}\]

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Donner différentes écritures d’un quotient de deux nombres.
Comparer des fractions au nombre 1.
Prendre une fraction d’un nombre.

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Chapitre 15 : Premiers solides de l’espace

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Chapitre 15

Premiers solides de l'espace

Chapitre 15 : Premiers solides de l'espace

A) Parallélépipède rectangle et cube

Définition : Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide de l’espace dont les 6 faces sont des rectangles.

Exemple : Le solide $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle :

Remarques :

Un parallélépipède rectangle possède 8 sommets et 12 arêtes.
Un parallélépipède rectangle est défini par 3 dimensions : sa longueur L, sa largeur l et sa hauteur h.

Définition : Un cube est un solide dont les 6 faces sont des carrés.

Exemple : Le solide ABCDEFGH est un cube :

Remarques :

Un cube est un parallélépipède rectangle particulier.
Les 12 arêtes d’un cube ont la même longueur.

B) Patron d'un parallélépipède rectangle

Définition : Un patron d’un solide est une figure plane qui permet, après découpage et pliage, de fabriquer ce solide.

Remarque : Il existe plusieurs patrons d’un parallélépipède rectangle.

Exemple : Voici deux patrons différents d’un même pavé droit :

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Connaître le vocabulaire relatif au pavé droit.
Savoir se repérer dans l’espace.
Reconnaître, compléter et construire le patron d’un pavé droit.
Construire ou compléter un pavé droit en perspective cavalière.

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Chapitre 14 : Division décimale

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Chapitre 14

La division décimale

Chapitre 14 : La division décimale

A) Définition

Définition : Soit $a$ un nombre décimal et $b$ un nombre entier non nul. On appelle quotient de $a$ par $b$ le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
$a\div b=\blacksquare$ signifie que $b\times \blacksquare=a$.
Le nombre $\blacksquare$ est le quotient de $a$ par $b$.

B) Effectuer une division décimale sans poser l’opération

Exemple : Le quotient peut être un nombre entier:
\[18\div 6=3~~\text{car}~~6\times 3=18\]

Propriété : Diviser un nombre décimal par $10$ ou par $100$ ou par $1 000$ revient à donner à chacun de ses chiffres une valeur $10$ fois, $100$ fois ou $1 000$ fois plus petite.

Exemples :

$5,7\div 10=0,57$
$125\div 100=1,25$
$7\div 1 000=0,007$

Remarque : Diviser un nombre par $10$; $100$ ou $1 000$ revient donc à multiplier ce nombre
par $0,1$; $0,01$ ou $0,001$.

C) Effectuer une division décimale en posant l’opération

Exemple : Le quotient peut être un nombre décimal :

Exemple : Le quotient peut ne pas être un nombre décimal :

Dans ce cas, on donne une valeur approchée décimale du quotient :

$100\div 3\approx 33$ (Valeur approchée à l’unité près).
$100\div 3\approx 33,3$ (Valeur approchée au dixième près).

D) Résoudre un problème

Exemple : Inaya souhaite fabriquer cinq invitations pour son anniversaire en découpant une bande de papier cartonné d’une longueur de $32$ cm.
Quelle est la plus grande longueur qu’elle peut choisir pour que toutes les invitations
aient la même longueur ?

$$32~\text{cm}\div 5 = 6,4~\text{cm}$$
Inaya peut découper des cartons de $6,4$ cm de longueur.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Diviser un nombre par $10$, $100$, $1 000$.
Poser une division décimale.
Donner une valeur approchée du quotient.
Résoudre des problèmes.

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Chapitre 13 : La proportionnalité

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Chapitre 13

La proportionnalité

Chapitre 13 : La proportionnalité

A) Coefficient de proportionnalité

Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l’une à l’autre par une multiplication par un
nombre non nul. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemple : Pour un carré: périmètre = côté $\times$ 4.
On peut représenter une situation de proportionnalité par un tableau à deux lignes.

Remarque : Toutes les situations ne sont pas des situations de proportionnalité. Par exemple, la taille n’est pas proportionnelle
à l’âge. A 20 ans, on ne mesure pas $2$ fois plus qu’à 10 ans.

B) Passage par l'unité

Exemple : On dispose d’un lot de billes toutes identiques. L’enseignant pèse un paquet de $12$ billes. Il trouve $60$ g. Quelle est la masse d’un lot de $51$ billes ?

Si $12$ billes pèsent $60$ g alors une bille pèse $60~\text{g}\div 12=5~\text{g}$.
Donc 51 billes pèsent $51\times 5~\text{g}=255~\text{g}$.

C) Propriétés additives et multiplicatives

Exemple : Un marcheur se déplace à une allure régulière. Il parcourt $400$ m en $5$ min. Son allure étant régulière, il y a
proportionnalité entre la durée du parcours et la distance parcourue. Comment calculer la distance parcourue par ce
marcheur en $10$ min, $15$ min ?

On peut également chercher la distance parcourue en $1$ min: $400\div 5=80$ m.
En $10$ min, on parcourt $10$ fois plus de mètres qu’en $1$ min, c’est à dire $10\times 80~\text{m}=800~\text{m}$.
En $15$ min, on parcourt $15$ fois plus de mètres qu’en $1$ min, c’est à dire $15\times 80~\text{m}=1 200~\text{m}$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Reconnaître une situation de proportionnalité.
Utiliser la méthode la plus adaptée pour résoudre un problème de proportionnalité.

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Chapitre 12 : La symétrie axiale

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Chapitre 12

La symétrie axiale

Chapitre 12 : La symétrie axiale

A) Figures symétriques

Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu’elles se superposent par pliage suivant
cette droite.

Exemple : La figure 1 est le symétrique de la figure 2 par rapport à la droite $(d)$.

B) Médiatrice d'un segment

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui coupe ce segment en son
milieu.

Exemple : $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ : $(d)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(d)$ coupe $[AB]$ en son milieu.

C) Symétrique d'un point

Définition :

Si $A$ n’appartient pas à la droite $(d)$, le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ est le point $A’$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA’]$.
Si $A$ appartient à la droite $(d)$, le symétrique $A’$ du point A par rapport à la droite $(d)$ est le point $A$ lui-même.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le point $A’$ est le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$.

D) Axe de symétrie d'une figure

Définition : Lorsque le symétrique d’une figure par rapport à une droite est la figure elle-même, on dit que cette droite est un axe de symétrie de la figure.

Exemple : La figure de gauche admet 2 axes de symétrie alors que la figure de droite n’en admet qu’un :

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Reconnaître si deux figures sont symétriques par rapport à un axe de symétrie.
Tracer le symétrique d’un point et d’une figure en utilisant un quadrillage.
Tracer le symétrique d’un point et d’une figure en utilisant mon équerre et mon compas.
Reconnaître si une figure possède ou non des axes de symétrie.

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Chapitre 11 : Division euclidienne

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Chapitre 11

La division euclidienne

Chapitre 11 : La division euclidienne

A) Définition

Définition : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier, appelé le dividende, par un nombre entier différent de $0$, appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et le reste, vérifiant :
\[\text{Dividende}=\text{Diviseur}\times \text{Quotient}+\text{Reste}~~~~~~\text{avec Reste < Diviseur}\]

Exemple :

\[213=8\times 26+5\]

$213$ est le dividende.
$8$ est le diviseur.
$26$ est le quotient.
$5$ est le reste.

B) Critères de divisibilité

Définition : Le nombre a est divisible par le nombre $b$ ($b\neq 0$) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. On a donc $a = b\times q$.
• $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.
• $a$ est un multiple de $b$.

Exemple : $65=13\times 5$. On peut alors dire:

$65$ est un multiple de $13$.
$65$ est divisible par $13$.
$13$ est un diviseur de $65$.

Propriétés :

Un nombre entier est divisible par $2$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$.
Un nombre entier est divisible par $5$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Un nombre entier est divisible par $10$ lorsque son chiffre des unités est $0$.
Un nombre entier est divisible par $3$ lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
Un nombre entier est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.

Exemples :

$532$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $2$.
$5~430$ est divisible par $2$, par $5$ et par $10$ car son chiffre des unités est $0$.

Vocabulaire :

Les nombres entiers divisibles par $2$ sont appelés les nombres pairs.
Les nombres entiers non divisibles par $2$ sont appelés les nombres impairs.

Exemple : $6~450$ est divisible par $3$ mais pas par $9$. En effet $6+4+5+0 = 15$ et $15$ est un multiple de $3$ mais pas de $9$.

C) Résoudre des problèmes

Exemple : Pour une course d’orientation, les $245$ élèves de l’école et leurs $38$ accompagnateurs doivent être transportés par car. Un car peut transporter $46$ passagers.
Combien de cars la directrice doit-elle réserver pour pouvoir transporter tous les élèves et tous les accompagnateurs ?

Je calcule le nombre total de passagers à transporter :
\[245+38=283\]

Il y a donc $283$ passagers à transporter.

Je calcule ensuite le nombre de cars à prévoir.

$6$ cars ne suffiront pas car il restera encore $7$ passagers à transporter. La directrice doit donc réserver $6+1=7$ cars.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Savoir poser et effectuer une division euclidienne.
Comprendre la relation entre dividende, diviseur, quotient et reste.
Connaître les critères de divisibilité par $2$, par $3$, par $5$, par $9$ et par $10$.
Résoudre des problèmes mobilisant la division euclidienne.

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Chapitre 10 : Ranger encadrer et intercaler des nombres

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Chapitre 10

Repérage et comparaison de nombres décimaux

Chapitre 10 : Repérage et comparaison de nombres décimaux

A) Repérage sur une demi-droite graduée

Exemple : Sur la demi-droite graduée ci-dessous on a placé les points $A$ et $B$ d’abscisses respectives $8,2$ et $8,42$.

B) Comparaison de deux nombres décimaux

Définition : Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux ou non. Dans le cas où ils ne le sont pas, c’est préciser
lequel est le plus petit (ou le plus grand).

Exemple :

Méthode :

Quand deux nombres ont des parties entières différentes, le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière.
Si les deux nombres ont leurs parties entières égales, on compare :
— Leurs chiffres des dixièmes.
— S’ils sont les mêmes, leurs chiffres des centièmes, et ainsi de suite.

Exemples :

$\textcolor{red}{7},85<\textcolor{red}{11},2$ car $7<11$
$14,\textcolor{red}{2}59<14,\textcolor{red}{3}6$ car $2<3$
$0,4\textcolor{red}{5}7<0,4\textcolor{red}{8}$ car $5<8$

Remarque : $8,32 > 8,4$ est FAUX! ! !

C) Rangement d'une liste de nombres décimaux

Définitions :

Ranger des nombres dans l’ordre croissant consiste à les ranger du plus petit au plus grand.
Ranger des nombres dans l’ordre décroissant consiste à les ranger du plus grand au plus petit.

Exemple : Rangement dans l’ordre croissant de la liste de nombres suivante : $6,0512$ ; $5,2$ ; $7,3$ ; $5,1345$ ; $6,71$ ; $6,5$.
\[5,1345 < 5,2 < 6,0512 < 6,5 < 6,71 < 7,3 \]

Exemple : Rangement dans l’ordre décroissant de la liste de nombres suivante: $5$ ; $4,756$ ; $5,4$ ; $5,3559$ ; $4,3$.
\[5,4 > 5,3559 > 5 > 4,756 > 4,3\]

D) Encadrement d'un nombre décimal

Définition : Encadrer un nombre, c’est écrire qu’il est compris entre deux nombres, l’un plus petit et l’autre plus grand.

Exemple :

Un encadrement de $12,3916$ à l’unité près est :

\[12<12,3916<13\]

Un encadrement de $12,3916$ au dixième près est :

\[12,3<12,3916<12,4\]

Un encadrement de $12,3916$ au centième près est :

\[12,39<12,3916<12,40\]

Un encadrement de $12,3916$ au millième près est :

\[12,391<12,3916<12,392\]

E) Intercaler un nombre décimal entre deux autres

Définition : Intercaler un nombre entre deux nombres donnés, c’est trouver un nombre compris entre les deux.

Exemple : On veut donner un nombre que l’on peut intercaler entre $5,634$ et $5,635$. Par exemple, on peut écrire :
\[5,634 < 5,6347 < 5,635\]

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Lire l’abscisse d’un point sur une demi-droite graduée.
Placer un point d’abscisse donnée sur une demi-droite graduée.
Comparer deux nombres décimaux.
Ranger une liste de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.
Donner un encadrement d’un nombre à l’unité près, au dixième près, au centième près…
Intercaler un nombre entre deux nombres donnés.

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Chapitre 9 : Les angles

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Chapitre 9

Les angles

Chapitre 9 : Les angles

A) Définitions et notations

Définition : Un angle est l’ouverture formée par deux demi-droites de même origine.

Notation : La demi-droite d’origine $A$ passant par $E$ est notée$ [AE)$.

Vocabulaire : Les demi-droites sont les côtés de l’angle. Leur origine est le sommet de l’angle.

Exemples : Sur la figure ci-dessous on a tracé l’angle $\widehat{BAC}$ (ou $\widehat{CAB}$) et l’angle $\widehat{xOy}$ (ou $\widehat{yOx}$).

Exemple : Pour le triangle $ABC$ ci-dessous, l’angle $\widehat{BAC}$ est droit. On a codé ci-dessous les deux autres angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ de ce triangle.

Propriété : D’après la définition, on peut affirmer que deux angles sont égaux s’ils ont la même ouverture : donc on
peut les superposer.

Remarque : Pour comparer deux angles, on peut utiliser du papier calque.

B) Mesure d'un angle

Définition : Comme pour les longueurs, pour pouvoir comparer les angles à l’aide de nombres, il faut choisir un angle pour unité. Depuis plus de 4000 ans l’unité usuelle d’angle est le degré (noté °) : c’est l’angle correspondant à la trois cent soixantième partie du cercle.

Vocabulaire : On classe les angles par catégories selon leur mesure :

Exemple : Sur la figure ci-dessous, l’angle $\widehat{BAC}=42$°.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Identifier des angles dans une figure géométrique.
Connaître le vocabulaire associé aux angles.
Reconnaître qu’un angle est droit, aigu, obtus.
Déterminer la mesure d’un angle en degré en utilisant le rapporteur.
Construire un angle de mesure donnée en utilisant le rapporteur.
Collège

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Chapitre 8 : La multiplication de deux nombres décimaux

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Chapitre 8

La multiplication de deux nombres décimaux

Chapitre 8 : La multiplication de deux nombres décimaux

A) Effectuer une multiplication sans poser l’opération

Il n’est pas toujours nécessaire de poser une opération pour effectuer une multiplication :

Exemples :

$1,4\times 0,5=1,4\times 5$ dixièmes $=7$ dixièmes $=0,7$ (Multiplier un nombre par $0,5$ revient à trouver sa moitié).
$0,3\times 0,2=0,3\times 2$ dixièmes $=0,6$ dixième $=0,06$

Remarque : La multiplication n’agrandit pas forcément le nombre de départ.

Propriétés : Quand on multiplie un nombre :

Par $0,1$, le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes.
Par $0,01$, le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes.
Par $0,001$, le chiffre des unités devient le chiffre des millièmes.

Exemples :

$17,5\times 0,1=1,75$
$256\times 0,01=2,56$
$39,24\times 0,001=0,03924$

B) Effectuer une multiplication en posant l’opération

Exemple : Calcul du produit $2,74\times 5,8$ :

Lorsqu’on multiplie des centièmes par des dixièmes on obtient des millièmes. Ainsi, le nombre de chiffres après la
virgule du produit est obtenu en additionnant les nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs.

Exemple : Un fromage est vendu au prix de 30 euros par kilogramme.
Quel est le prix d’un morceau de ce fromage de 600 g ?

Méthode 1 :
$600~\text{g}=0,6~\text{kg}=\dfrac{6}{10}~\text{kg}$

Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 euros.

Méthode 2 :

Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 euros.

C) Ordre de grandeur

Un ordre de grandeur d’un produit fournit une estimation de ce produit. Il permet d’anticiper ou de contrôler un résultat.

Exemple : Trouver un nombre proche de $10,5\times 2,9$.
On remplace chacun des facteurs par un nombre proche pour pouvoir faire l’opération de tête :
\[10\times 3 = 30\]On dit que $30$ est un ordre de grandeur du produit $10,5\times 2,9$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul mental ou en ligne.
Multiplier deux nombres décimaux en posant le calcul.
Estimer un ordre de grandeur.
Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000.
Multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01, 0,001.
Résoudre des problèmes mobilisant l’addition, la soustraction, la multiplication.

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Chapitre 7 : Périmètre d’un polygone et longueur d’un cercle

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Chapitre 7

Périmètre d'un polygone et longueur d'un cercle

Chapitre 7 : périmètre d'un polygone et longueur d'un cercle.

A) Périmètre d'un polygone

Définition : Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Propriété : Le périmètre d’un polygone se calcule en additionnant les longueurs de ses côtés exprimées dans la même unité.

Exemple : Calculer le périmètre du rectangle ci-dessous :

\begin{eqnarray*}
P&=&2\times 3,2~\text{cm}+2\times 0,2~\text{dm}\\
P&=&2\times 3,2~\text{cm}+2\times 2~\text{cm}\\
P&=&6,4~\text{cm}+4~\text{cm}\\
P&=&10,4~\text{cm}
\end{eqnarray*}

Formules :

Périmètre d’un rectangle de dimensions $L$ et $l$ :

\[\textcolor{red}{P=2\times L+2\times l}~~\text{ou}~~\textcolor{red}{P=2\times (L+l)}\]

Périmètre d’un carré de côté $c$ :

\[\textcolor{red}{P=4\times c}\]

B) Longueur d'un cercle

Propriété : La longueur (ou le périmètre) d’un cercle est égale au produit du nombre pi ( noté $\pi$ ) par le diamètre de ce cercle. En notant $L$ la longueur du cercle, $R$ son rayon et $D$ son diamètre, on a : \[\textcolor{red}{L=\pi \times D~~\text{ou}~~L= 2\times \pi\times R~~\text{avec}~~\pi\approx 3,14}\]

Exemple : Calculer une valeur approchée en cm et au centième près de la longueur du cercle de centre $O$ et de rayon $6~\text{cm}$ :

\begin{eqnarray*}
L&=& 2\times \pi \times R\\
L&\approx &2\times 3,14 \times 6~~\text{cm}\\
L&\approx &18,84~~\text{cm}\\
\end{eqnarray*}

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Effectuer des additions et des soustractions en ligne ou posé.
Effectuer une multiplication d’un entier par un nombre décimal en ligne ou posé.
Calculer le périmètre d’un polygone et organiser mes calculs en ligne.
Calculer le périmètre d’un cercle, d’un demi-cercle, d’un quart de cercle.

Sources :

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Chapitre 6 : Addition, soustraction et multiplication

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Chapitre 6

Addition, soustraction et multiplication d'un entier par un décimal

Chapitre 6 : Addition, soustraction et multiplication d'un entier par un décimal

A) Addition

Définitions :

L’addition est l’opération qui permet de calculer la somme de deux nombres.
Chaque nombre que l’on additionne est appelé terme de la somme.

Exemple : Ci-dessous, $8,7$ est la somme de $3,6$ et de $5,1$.
\[3,6+5,1=8,7\]

B) Soustraction

Définitions : $a$ et $b$ désignent deux nombres décimaux avec $b>a$.

La différence $b-a$ est le nombre manquant dans l’égalité $a+…=b$.
La soustraction est l’opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres.
Chaque nombre que l’on soustrait est appelé terme de la différence.

Exemple : Ci-dessous, $2,6$ est la différence entre $6,8$ et $4,2$.
\[6,8-4,2=2,6\]

C) Multiplication

Définitions :

La multiplication est l’opération qui permet de calculer le produit de deux nombres.
Chaque nombre que l’on multiplie est appelé facteur du produit.

Exemple : Ci-dessous, $20,8$ est le produit de $5,2$ par $4$.
\[5,2\times 4=20,8\]

Remarque : La multiplication n’agrandit pas forcément le nombre de départ.

Propriétés : Quand on multiplie un nombre :

Par $10$, le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines.
Par $100$, le chiffre des unités devient le chiffre des centaines.
Par $1~000$, le chiffre des unités devient le chiffre des milliers.

Exemples :

$12,5\times 100=1~250$
$0,13\times 1~000=130$
$17\times 10= 170$

D) Organiser ses calculs

Propriété : Pour calculer une somme, on peut :

modifier l’ordre des termes ;
regrouper différemment les termes.

Exemple :
\begin{eqnarray*}
A&=&6,4+9,8+3,6\\
A&=&6,4+3,6+9,8\\
A&=&10+9,8\\
A&=&19,8\\
\end{eqnarray*}

Propriété : On ne modifie pas un produit de plusieurs nombres en changeant l’ordre des facteurs et en les regroupant comme on veut.

Exemple :
\begin{eqnarray*}
4\times 8\times 25\times 2\times 125\times 5&=&(4\times 25)\times(8\times 125)\times(2\times 5)\\
&=&100\times 1~000\times 10\\
&=&1~000~000\\
\end{eqnarray*}

Règles :

Les calculs entre parenthèses sont prioritaires.
La multiplication est prioritaire sur les additions et les soustractions.

Exemples :
\begin{eqnarray*}
B&=&1,6\times (4,4-2,4)\\
B&=&1,6\times 2\\
B&=&3,2
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
C&=&2,5\times 4+0,5\times 2\\
C&=&10+1\\
C&=&11
\end{eqnarray*}

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Chapitre 5 : Longueur, cercle et triangle

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Chapitre 5

Longueur, cercle et triangle

Chapitre 5 : Longueur, cercle et triangle

A) Unités de longueur

Exemples :

$1~~\text{m}=100~~\text{cm}$ et $1~~\text{dm}=10~~\text{cm}$. Donc :

\[4,5~~\text{m}=4~~\text{m}+5~~\text{dm}=400~~\text{cm}+50~~\text{cm}=450~~\text{cm}\]

$1~~\text{hm}=100~~\text{m}$. Donc :

\[0,7~~\text{km}=0~~\text{km}+7~~\text{hm}=700~~\text{m}\]

$1~~\text{mm}=0,01~~\text{dm}$. Donc :

\[4~~\text{mm}=0,04~~\text{dm}\]

B) Longueur et milieu d’un segment

Définition : La longueur d’un segment $[AB]$ est la distance du point $A$ au point $B$. Elle est notée $AB$.

Exemple : Le segment $[AB]$ ci-dessous mesure $4,3~\text{cm}$. On note $AB = 4,3~\text{cm}$.

Remarque : Sur une figure géométrique, on indique les segments de même longueur avec un codage.

Exemple : Sur la figure ci-dessous on a $AB = BC$ et $CD =DE$.

Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est situé à égale distance de ses extrémités.

Exemple : Dire que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ signifie :
\[I\in [AB]~~~~\text{et}~~~~IA=IB\]

C) Le cercle

Définition : Un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un point appelé centre du cercle.

Vocabulaire : Cette distance est appelé le rayon du cercle.

Exemple : Le cercle ci-dessous à pour centre $M$. Le rayon de ce cercle est $3,2~\text{cm}$ et son diamètre est donc de $6,4~\text{cm}$ (le
double du rayon).

$[MP]$ est un rayon de ce cercle.
$[WR]$ est un diamètre de ce cercle.
$[WE]$ est une corde de ce cercle.

D) Construction de triangles

Vocabulaire : Un triangle $TRS$ a :

Trois sommets : les points $T$ , $R$ et $S$.
Trois côtés : les segments $[TR]$, $[TS]$ et $[RS]$.

Exemple : Le triangle $TRS$ ci-dessous est un triangle quelconque :

Exemple : Construction du triangle $KLM$ tel que $KL = 6~\text{cm}$; $LM = 5~\text{cm}$ et $KM = 4,5~\text{cm}$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Comprendre les relations entre les unités de longueur en faisant le lien avec les unités de numération.
Savoir construire un segment de longueur donné et placer son milieu.
Savoir coder une figure.
Connaître le vocabulaire du cercle et savoir tracer des cercles en utilisant mon compas.
Connaître le vocabulaire du triangle et savoir tracer des triangles dont on connaît les longueurs des 3 côtés.
Réaliser et rédiger un programme de construction.

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Chapitre 4 : Fractions décimales et nombres décimaux

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Chapitre 4

Fractions décimales et nombres décimaux

Chapitre 4 : Fractions décimales et nombres décimaux

A) Fractions décimales

Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, 100, 1 000, 10 000… Quand on additionne un nombre entier et des fractions décimales, on obtient un nombre décimal.

Exemple : $5$ unités + $4$ dixièmes + $7$ centièmes + $8$ dix-millièmes ou $5+\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}$ est un nombre décimal.

Définitions : Sa partie entière est $5$. Sa partie décimale est $\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}$ ou $\dfrac{4~708}{10~000}$.

Remarque : Un nombre entier est aussi un nombre décimal :
\[5=5+\dfrac{0}{10}+\dfrac{0}{100}+\dfrac{0}{1~000}\]

B) De l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale

Un symbole permet de simplifier l’écriture d’un nombre décimal : la virgule.

Exemple : $5+\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}=5,4708$

Remarque : Un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule.

C) Diverses écritures d’un nombre décimal

Exemple : Voici différentes écritures de $1~837,253$ :

Somme d’un entier et de plusieurs fractions décimales :
\[1~837,253=1~837+\dfrac{2}{10}+\dfrac{5}{100}+\dfrac{3}{1~000}\]
Somme d’un entier et d’une fraction décimale :
\[1~837,253=1~837+\dfrac{253}{1~000}\]
Une seule fraction décimale :
\begin{eqnarray}
1~837,253&=&1~837+\dfrac{253}{1~000}\\
&=&\dfrac{1~837~000}{1~000}+\dfrac{253}{1~000}\\
&=&\dfrac{1~837~253}{1~000}
\end{eqnarray}

Remarque : $1~837,253 = 1~837+0,253$. Sa partie entière est $1~837$ et sa partie décimale est $0,253$.

Remarque : On peut écrire ou supprimer des zéros avant la partie entière et après la partie décimale d’un nombre décimal. Cela ne change pas sa valeur.

Exemples :

$05,300=5,3$
$82,90=82,9$
$12,0=12$
$0,82\neq 82$
$920,3\neq 92,3$

Remarques : Ces zéros inutiles peuvent être utiles :

pour poser une addition ou une soustraction :

$11,032$ est la différence entre $20,75$ et $9,718$.

pour indiquer un prix : $12,8$ euros s’écrira $12,80$ euros pour éviter toute confusion avec les centimes.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Comprendre les relations entre unités, dixièmes, centièmes…
Savoir écrire un nombre sous la forme d’une fraction décimale.
Savoir écrire un nombre comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$.
Savoir donner l’écriture décimale d’un nombre.
Reconnaître différentes écritures d’un même nombre.
Savoir poser une addition et une soustraction et comprendre ces deux algorithmes.
Savoir résoudre des problèmes mobilisant l’addition et la soustraction.

Source :

Le nombre au cycle 3 (Eduscol)

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Chapitre 3 : Droites sécantes, parallèles et perpendiculaires

eric_moisan@orange.fr

Chapitre 3

Droites sécantes, parallèles et perpendiculaires

Chapitre 3 : Droites sécantes, parallèles et perpendiculaires

A) Droites sécantes

Définition : Deux droites sécantes sont deux droites qui n’ont qu’un seul point en commun. Ce point est appelé le point d’intersection.

Exemple : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $E$. $E$ est le point d’intersection.

Les points $A$ et $C$ sont des points distincts. Le point $E$ appartient aux droites $(AB)$ et $(CD)$. On dit que le point $E$ est le point commun aux droites $(AB)$ et $(CD)$. On note : \[E\in (AB)\] \[E\in (CD)\] En revanche, le point $A$ n’appartient pas à la droite $(CD)$. On note : \[A\notin (CD)\]

B) Droites perpendiculaires

Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant quatre angles droits.

Exemple : Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires. On note $(d)\textcolor{red}{\perp} (d’)$ ou $(d’)\textcolor{red}{\perp} (d)$.

C) Droites parallèles

Définition : Deux droites parallèles sont deux droites qui n’ont aucun point en commun.

Remarque : Deux droites parallèles ont un écart constant. Cet écart est la plus courte distance entre un point d’une droite et un point de l’autre droite.

Exemple : La droite $(d’)$ est la parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $A$.

D) Propriétés

Propriété 1 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles.

Exemple :

Sur la figure ci-dessus, les droite (d$_{1}$) et (d$_{2}$) sont perpendiculaires à la droite (d$_{3})$.

Les droites (d$_{1}$) et (d$_{2}$) sont donc parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles.

Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles et la droite $(d_{3})$ est perpendiculaire à la droite $(d_{1})$.
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
Donc la droite $(d_{3})$ est aussi perpendiculaire à la droite $(d_{2})$.

E) Une deuxième méthode de construction de deux droites parallèles

Exemple : Tracé de la parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $A$ :

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Connaître les définitions de droites sécantes, parallèles et perpendiculaires.
Connaître le vocabulaire « point commun », « point d’intersection », « points distincts ».
Savoir utiliser le symbole ∈.
Savoir utiliser l’équerre pour tracer des droites perpendiculaires.
Connaître par coeur les deux propriétés.
Savoir rédiger une petite démonstration en citant correctement la propriété utilisée afin de bien justifier ma réponse.
Savoir tracer deux droites parallèles en utilisant la règle et l’équerre.

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Chapitre 1 : Les nombres entiers

8 commentaires / eric_moisan@orange.fr

Chapitre 1

Les nombres entiers

Chapitre 1 : Les nombres entiers

A ) La numération décimale de position

Notre système de numération est dit décimal de position.

« Décimal » signifie que l’on effectue des groupements par dix.
« De position » signifie que chaque chiffre a une signification différente selon son rang.

Exemples :

$14~\text{centaines et}~~ 23~\text{dizaines} =1~400+230=1~630$
$69~\text{centaines et}~~ 12~\text{dizaines} = 690~\text{dizaines} + 12~\text{dizaines}=702~\text{dizaines}$

Exemples :

$8~712=8\times 1~000+7\times 100+1\times 10+2$
$8$ est le chiffre des milliers et $1$ le chiffre des dizaines.
$8~712=871\times 10+2$
Il y a $871$ dizaines dans $8~712$.
$8~712=87\times 100+12$
Il y a $87$ centaines dans $8~712$.

B) Lire des grands nombres

Tableau de numération :

Exemple : La population de la Chine s’élevait fin 2010 à :

$1~339~713~000$

Ce nombre se lit : $1$ milliard $339$ millions $713$ mille habitants.

C) Représenter des entiers

On peut représenter des entiers sur une demi-droite graduée : il suffit de compter à partir de 0 en reportant régulièrement
le même pas. A chaque point de la demi-droite qui correspond à une graduation, on associe un nombre entier, qu’on appelle abscisse.

Exemples :

Avec un pas de $10$ :

L’abscisse du point $A$ est $20$.

Avec un pas de $50$ :

L’abscisse du point $E$ est $10~050$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Composer et décomposer des grands nombres entiers.
Comprendre le lien entre les unités, les dizaines, les centaines…
Donner différentes écritures d’un nombre entier.
Repérer et placer un nombre entier sur une demi-droite graduée.

Sources :

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Évaluations de 5ème

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5ème

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Devoirs à la maison de 5ème

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Évaluations de 6ème

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Tests de 6ème

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Cartes mentales pour réviser le brevet

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Carte mentale sur Thalès

Carte mentale angles et parallélisme

Carte mentale sur les angles

Carte mentale sur l’arithmétique

Carte mentale sur les conversions

Carte mentale organiser les données

Carte mentale périmètre

Carte mentale sur les pourcentages

Carte mentale sur les puissances

Carte mentale sur Pythagore

Carte mentale sur les probabilités

Carte mentale sur scratch

Carte mentale se repérer

Carte mentale solides

Carte mentale traitement de données

Carte mentale sur les transformations

Carte mentale sur les triangles

Carte mentale sur la trigonométrie

Carte mentale sur les volumes

Carte mentale sur les décimaux

Carte mentale sur la dépendance entre deux grandeurs

Carte mentale déplacements

Carte mentale sur les différentes écritures d’un nombre

Carte mentale sur les effets de transformations

Carte mentale sur les éléments de géométrie

Carte mentale sur les expressions littérales

Carte mentale sur les fractions

Carte mentale sur les longueurs

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Carte mentale sur les objets et les grandeurs

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