Les tableaux permettent de rassembler un grand nombre de données qu’ils présentent de façon organisée. Un tableau à double entrée permet d’organiser des données selon deux types d’informations mis en relation.
Exemple : Le tableau à double entrée ci-dessous donne la répartition des élèves d’une classe selon deux types d’informations : leur sexe et leur âge.
D’après ce tableau, on peut dire :
Il y a 15 garçons dans la classe.
Il y a 10 filles qui ont 12 ans.
Il y a 27 élèves dans cette classe.
B) Diagrammes en barre
Un diagramme en barres permet de comparer des données.
Exemple : Le diagramme en barres ci-dessous représente le sport pratiqué en dehors de l’école par les élèves d’une classe de 6e :
On voit rapidement que le football est le sport le plus pratiqué dans la classe.
C) Diagrammes circulaires et semi-circulaires
Les diagrammes circulaires et semi-circulaires permettent de mettre en évidence la répartition de données suivant plusieurs catégories.
Exemple : Le diagramme circulaire et le diagramme semi-circulaire ci-dessous donnent le nombre de repas pris au restaurant par un enfant durant les vacances.
On constate que plus de la moitié des enfants prennent 0 repas ou 1 repas au restaurant pendant les vacances.
D) Les graphiques
Un graphique permet de représenter l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre.
Exemple : On a relevé toutes les heures les températures à Paris le 4 janvier 2015 :
On peut constater qu’il a fait 0 degré à 2 h du matin. On peut également décrire l’évolution de la température : elle augmente entre minuit et 1 h, diminue entre 1 h et 2 h et augmente à nouveau jusqu’à 10 du matin.
Définition : L’échelled’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité: \[\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}\]
Exemple : Sur une carte à l’échelle $\dfrac{1}{1~000}$, $1~\text{cm}$ sur la carte représente $1~000~\text{cm}$ dans la réalité, c’est à dire $10~\text{m}$.
$4,2~\text{cm}$ sur la carte représentent dans la réalité $4,2\times 10 ~\text{m}=42~\text{m}$.
Définition : Le volume d’un solide est l’espace occupé par ce solide dans une unité de volume donnée.
Exemple : Pour trouver le volume de chaque solide, il suffit de compter le nombre d’unités de volume qui le constituent. Les deux solides ci-dessous ont pour volume $12$ (en unités de volume) alors qu’ils n’ont pas la même forme.
B) Unités de volume et de capacité
Définition : Une unité de volume souvent utilisée est le $\text{m}^{3}$. Un mètre cube est le volume occupé par un cube d’arête $1$ mètre.
Exemple : On remarque que l’on peut placer $1~000$ cubes de côté $1~\text{cm}$ dans un cube de côté $1~\text{dm}$ :
$1~\text{dm}^{3}=1~000~\text{cm}^{3}$
Définition : Pour mesurer des capacités, on utilise des unités de volume spécifiques. L’unité de capacité de base est le litre (L) qui est la quantité de liquide que peut contenir un cube d’un décimètre de côté. Ainsi :
$1~\text{L}=1~\text{dm}^{3}$
Exemple : On peut vider une bouteille de lait de $1~\text{L}$ dans un cube de côté $1~\text{dm}$. Le liquide arrivera à ras bord :
Propriété : Le volume d’un parallélépipède rectangle est obtenu en multipliant ses trois dimensions, exprimées dans
la même unité :
\[\textcolor{red}{V=L\times l\times h}\]
Exemple : Le volume du parallélépipède rectangle ci-dessous est :
A) Symétrique d'une droite, d'un segment, d'un cercle
Propriété : Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite ( la symétrie axiale conserve l’alignement des points).
Exemple : Le symétrique de la droite ($\Delta$ ) par rapport à la droite $(d)$ est la droite ($\Delta$ ‘).
Propriété : Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur.
Exemple : Le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à la droite $(d)$ est le segment $[A’B’]$ avec $AB=A’B’$.
Propriété : Le symétrique d’un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon. Leurs centres sont symétriques par rapport à cette droite.
Exemple : Le symétrique du cercle $C$ par rapport à la droite $(d)$ est le cercle $C’$ de même rayon. Les centres respectifs $O$ et $O’$ des cercles $C$ et $C’$ sont symétriques par rapport à la droite $(d)$.
Propriété : La symétrie axiale conserve également les mesures d’angles et les aires.
B) Propriétés de la médiatrice d'un segment
Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Exemple :
Propriété (admise) : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
Exemple :
Exemple : Une deuxième méthode de construction de la médiatrice d’un segment au compas :
C) Une deuxième construction du symétrique d’un point
Exemple : Construction à la règle et au compas du symétrique d’un point par rapport à une droite.
Définition : Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à $100$.
Exemple : Dire qu’il y a $15 \%$ de sucre dans un gâteau signifie que la masse du sucre est proportionnelle à celle du gâteau et qu’il y a $15$ g de sucre dans $100$ g de gâteau.
Exemple : Sur une tablette de chocolat noir, on lit : « $72 \%$ de cacao ». Cela signifie que $100 $ g de chocolat contiennent $72 $ g de cacao. Pour connaître la quantité de cacao contenue dans une tablette de $250 $ g, il faut calculer $72 \%$ de $250$. Pour cela, on peut utiliser un tableau de proportionnalité :
Il y a donc $180 $ g de cacao dans cette tablette de chocolat.
Ainsi, pour calculer $72 \%$ de $250 $ g, on peut multiplier $250$ par $\dfrac{72}{100}$: \[\dfrac{72}{100}\times 250=0,72\times 250=180\]
Propriété : Pour calculer $p \%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac{p}{100}$.
Cas particuliers :
Pour calculer $50 \%$ d’une quantité, on la divise par $2$.
Pour calculer $25 \%$ d’une quantité, on la divise par $4$.
Pour calculer $10 \%$ d’une quantité, on la divise par $10$.
Définition : La mesure du temps entre deux instants s’appelle sa durée.
Exemple : Une séance de cinéma commence à 17 h 40 et se termine à 19 h 10. Pour connaître la durée de cette séance, on peut utiliser la ligne de temps ci-dessous.
$20~\text{min}+ 1~\text{h}~10~\text{min} = 1~\text{h}~30~\text{min}$. Donc cette séance a duré $1~\text{h}~30~\text{min}$.
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure. Donner une unité d’aire permet de mesurer l’aire d’une figure dans cette unité. Quand on change d’unité, la mesure de l’aire change.
Exemple : En prenant un carreau comme unité d’aire, on peut dire que l’aire du polygone ci-dessous est égale à 6 unités d’aire.
Remarque : Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes :
Vocabulaire : Pour les terrains ou les pays on utilise parfois le mot superficie à la place du mot aire.
B) Unités d'aires
A chaque unité de longueur (mm, cm, m, dam..) est associée une unité d’aire : $1$ cm$^{2}$ est l’aire d’un carré de côté $1$ cm, $1$ m$^{2}$ est l’aire d’un carré de côté $1$ m… On remarque que l’on peut placer $100$ carrés de côté $1$ cm dans un carré de côté $1$ dm.
Ci-dessous, on remarque qu’à partir de la formule de l’aire du rectangle on peut retrouver la formule de l’aire du carré et la formule de l’aire du triangle (un triangle étant toujours la moitié d’un rectangle).
Chapitre 16 : Ecriture fractionnaire d'un quotient
A) Fraction-quotient
Définition : Le quotient de deux nombres $a$ et $b$ (avec $b$ non nul) est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$. Sous forme fractionnaire, le quotient de $a$ par $b$ s’écrit $\dfrac{\text{a}}{\text{b}}$ (avec $\text{b}\neq 0$).
Exemple : Par quel nombre faut-il multiplier $3$ pour trouver $4$ ? Le nombre cherché est le quotient de $4$ par $3$, c’est à dire le nombre qui, multiplié par $3$, donne $4$ :
\[3\times \text{?}=4\]\[3\times \dfrac{4}{3}=4\]Ainsi, $\dfrac{4}{3}=4\div 3$. Représentation sur une demi-droite graduée:
Encadrement par deux entiers consécutifs : \[1<\dfrac{4}{3}<2\]Somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$ : \[\dfrac{4}{3}=1+\dfrac{1}{3}\]
B) Ecriture fractionnaire et écriture décimale
Certains quotients possèdent une écriture décimale, pour l’obtenir il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.
Exemple : $\dfrac{3}{4}=3\div 4=0,75$
En revanche, certains quotients ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’un nombre décimal. Il est alors possible de donner une valeur approchée du quotient.
Exemple : $\dfrac{11}{6}\approx 1,833$ (valeur approchée de ce quotient au millième près.)
C) Prendre une fraction d'une quantité
Propriété : Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier cette fraction par cette quantité.
Exemple : Pour prendre $\dfrac{2}{3}$ de $15~\text{L}$, on doit calculer $2$ fois le tiers de $15~\text{L}$. Le tiers de $15~\text{L}$ c’est $5~\text{L}$. Donc les $\dfrac{2}{3}$ de $15 ~\text{L}$ égale $10~\text{L}$ :
\[\dfrac{2}{3}\times 15~\text{L}=2\times (15~\text{L}\div 3)=2\times 5~\text{L}=10~\text{L}\]
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Donner différentes écritures d’un quotient de deux nombres.
Définition : Soit $a$ un nombre décimal et $b$ un nombre entier non nul. On appelle quotientde $a$ par $b$ le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. $a\div b=\blacksquare$ signifie que $b\times \blacksquare=a$. Le nombre $\blacksquare$ est le quotient de $a$ par $b$.
B) Effectuer une division décimale sans poser l’opération
Exemple : Le quotient peut être un nombre entier: \[18\div 6=3~~\text{car}~~6\times 3=18\]
Propriété : Diviser un nombre décimal par $10$ ou par $100$ ou par $1 000$ revient à donner à chacun de ses chiffres une valeur $10$ fois, $100$ fois ou $1 000$ fois plus petite.
Exemples :
$5,7\div 10=0,57$
$125\div 100=1,25$
$7\div 1 000=0,007$
Remarque : Diviser un nombre par $10$; $100$ ou $1 000$ revient donc à multiplier ce nombre par $0,1$; $0,01$ ou $0,001$.
C) Effectuer une division décimale en posant l’opération
Exemple : Le quotient peut être un nombre décimal :
Exemple : Le quotient peut ne pas être un nombre décimal :
Dans ce cas, on donne une valeur approchée décimale du quotient :
$100\div 3\approx 33$ (Valeur approchée à l’unité près).
$100\div 3\approx 33,3$ (Valeur approchée au dixième près).
D) Résoudre un problème
Exemple : Inaya souhaite fabriquer cinq invitations pour son anniversaire en découpant une bande de papier cartonné d’une longueur de $32$ cm. Quelle est la plus grande longueur qu’elle peut choisir pour que toutes les invitations aient la même longueur ?
$$32~\text{cm}\div 5 = 6,4~\text{cm}$$ Inaya peut découper des cartons de $6,4$ cm de longueur.
Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l’une à l’autre par une multiplication par un nombre non nul. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.
Exemple : Pour un carré: périmètre = côté $\times$ 4. On peut représenter une situation de proportionnalité par un tableau à deux lignes.
Remarque : Toutes les situations ne sont pas des situations de proportionnalité. Par exemple, la taille n’est pas proportionnelle à l’âge. A 20 ans, on ne mesure pas $2$ fois plus qu’à 10 ans.
B) Passage par l'unité
Exemple : On dispose d’un lot de billes toutes identiques. L’enseignant pèse un paquet de $12$ billes. Il trouve $60$ g. Quelle est la masse d’un lot de $51$ billes ?
Si $12$ billes pèsent $60$ g alors une bille pèse $60~\text{g}\div 12=5~\text{g}$. Donc 51 billes pèsent $51\times 5~\text{g}=255~\text{g}$.
C) Propriétés additives et multiplicatives
Exemple : Un marcheur se déplace à une allure régulière. Il parcourt $400$ m en $5$ min. Son allure étant régulière, il y a proportionnalité entre la durée du parcours et la distance parcourue. Comment calculer la distance parcourue par ce marcheur en $10$ min, $15$ min ?
On peut également chercher la distance parcourue en $1$ min: $400\div 5=80$ m. En $10$ min, on parcourt $10$ fois plus de mètres qu’en $1$ min, c’est à dire $10\times 80~\text{m}=800~\text{m}$. En $15$ min, on parcourt $15$ fois plus de mètres qu’en $1$ min, c’est à dire $15\times 80~\text{m}=1 200~\text{m}$.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Reconnaître une situation de proportionnalité.
Utiliser la méthode la plus adaptée pour résoudre un problème de proportionnalité.
Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu’elles se superposent par pliage suivant cette droite.
Exemple : La figure 1 est le symétrique de la figure 2 par rapport à la droite $(d)$.
B) Médiatrice d'un segment
Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui coupe ce segment en son milieu.
Exemple : $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ : $(d)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(d)$ coupe $[AB]$ en son milieu.
C) Symétrique d'un point
Définition :
Si $A$ n’appartient pas à la droite $(d)$, le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ est le point $A’$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA’]$.
Si $A$ appartient à la droite $(d)$, le symétrique $A’$ du point A par rapport à la droite $(d)$ est le point $A$ lui-même.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, le point $A’$ est le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$.
D) Axe de symétrie d'une figure
Définition : Lorsque le symétrique d’une figure par rapport à une droite est la figure elle-même, on dit que cette droite est un axe de symétrie de la figure.
Exemple : La figure de gauche admet 2 axes de symétrie alors que la figure de droite n’en admet qu’un :
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Reconnaître si deux figures sont symétriques par rapport à un axe de symétrie.
Tracer le symétrique d’un point et d’une figure en utilisant un quadrillage.
Tracer le symétrique d’un point et d’une figure en utilisant mon équerre et mon compas.
Reconnaître si une figure possède ou non des axes de symétrie.
Définition : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier, appelé le dividende, par un nombre entier différent de $0$, appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotientet le reste, vérifiant : \[\text{Dividende}=\text{Diviseur}\times \text{Quotient}+\text{Reste}~~~~~~\text{avec Reste < Diviseur}\]
Exemple :
\[213=8\times 26+5\]
$213$ est le dividende.
$8$ est le diviseur.
$26$ est le quotient.
$5$ est le reste.
B) Critères de divisibilité
Définition : Le nombre a est divisible par le nombre $b$ ($b\neq 0$) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. On a donc $a = b\times q$. • $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$. • $a$ est un multiple de $b$.
Exemple : $65=13\times 5$. On peut alors dire:
$65$ est un multiple de $13$.
$65$ est divisible par $13$.
$13$ est un diviseur de $65$.
Propriétés :
Un nombre entier est divisible par $2$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$.
Un nombre entier est divisible par $5$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Un nombre entier est divisible par $10$ lorsque son chiffre des unités est $0$.
Un nombre entier est divisible par $3$ lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
Un nombre entier est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.
Exemples :
$532$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $2$.
$5~430$ est divisible par $2$, par $5$ et par $10$ car son chiffre des unités est $0$.
Vocabulaire :
Les nombres entiers divisibles par $2$ sont appelés les nombres pairs.
Les nombres entiers non divisibles par $2$ sont appelés les nombres impairs.
Exemple : $6~450$ est divisible par $3$ mais pas par $9$. En effet $6+4+5+0 = 15$ et $15$ est un multiple de $3$ mais pas de $9$.
C) Résoudre des problèmes
Exemple : Pour une course d’orientation, les $245$ élèves de l’école et leurs $38$ accompagnateurs doivent être transportés par car. Un car peut transporter $46$ passagers. Combien de cars la directrice doit-elle réserver pour pouvoir transporter tous les élèves et tous les accompagnateurs ?
Je calcule le nombre total de passagers à transporter : \[245+38=283\]
Il y a donc $283$ passagers à transporter.
Je calcule ensuite le nombre de cars à prévoir.
$6$ cars ne suffiront pas car il restera encore $7$ passagers à transporter. La directrice doit donc réserver $6+1=7$ cars.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
Savoir poser et effectuer une division euclidienne.
Comprendre la relation entre dividende, diviseur, quotient et reste.
Connaître les critères de divisibilité par $2$, par $3$, par $5$, par $9$ et par $10$.
Résoudre des problèmes mobilisant la division euclidienne.
Chapitre 10 : Repérage et comparaison de nombres décimaux
A) Repérage sur une demi-droite graduée
Exemple : Sur la demi-droite graduée ci-dessous on a placé les points $A$ et $B$ d’abscisses respectives $8,2$ et $8,42$.
B) Comparaison de deux nombres décimaux
Définition :Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux ou non. Dans le cas où ils ne le sont pas, c’est préciser lequel est le plus petit (ou le plus grand).
Exemple :
Méthode :
Quand deux nombres ont des parties entières différentes, le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière.
Si les deux nombres ont leurs parties entières égales, on compare : — Leurs chiffres des dixièmes. — S’ils sont les mêmes, leurs chiffres des centièmes, et ainsi de suite.
Exemples :
$\textcolor{red}{7},85<\textcolor{red}{11},2$ car $7<11$
$14,\textcolor{red}{2}59<14,\textcolor{red}{3}6$ car $2<3$
$0,4\textcolor{red}{5}7<0,4\textcolor{red}{8}$ car $5<8$
Remarque : $8,32 > 8,4$ est FAUX! ! !
C) Rangement d'une liste de nombres décimaux
Définitions :
Ranger des nombres dans l’ordre croissant consiste à les ranger du plus petit au plus grand.
Ranger des nombres dans l’ordre décroissant consiste à les ranger du plus grand au plus petit.
Exemple : Rangement dans l’ordre croissant de la liste de nombres suivante : $6,0512$ ; $5,2$ ; $7,3$ ; $5,1345$ ; $6,71$ ; $6,5$. \[5,1345 < 5,2 < 6,0512 < 6,5 < 6,71 < 7,3 \]
Exemple : Rangement dans l’ordre décroissant de la liste de nombres suivante: $5$ ; $4,756$ ; $5,4$ ; $5,3559$ ; $4,3$. \[5,4 > 5,3559 > 5 > 4,756 > 4,3\]
D) Encadrement d'un nombre décimal
Définition :Encadrer un nombre, c’est écrire qu’il est compris entre deux nombres, l’un plus petit et l’autre plus grand.
Exemple :
Un encadrement de $12,3916$ à l’unité près est :
\[12<12,3916<13\]
Un encadrement de $12,3916$ au dixième près est :
\[12,3<12,3916<12,4\]
Un encadrement de $12,3916$ au centième près est :
\[12,39<12,3916<12,40\]
Un encadrement de $12,3916$ au millième près est :
\[12,391<12,3916<12,392\]
E) Intercaler un nombre décimal entre deux autres
Définition :Intercaler un nombre entre deux nombres donnés, c’est trouver un nombre compris entre les deux.
Exemple : On veut donner un nombre que l’on peut intercaler entre $5,634$ et $5,635$. Par exemple, on peut écrire : \[5,634 < 5,6347 < 5,635\]
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Lire l’abscisse d’un point sur une demi-droite graduée.
Placer un point d’abscisse donnée sur une demi-droite graduée.
Comparer deux nombres décimaux.
Ranger une liste de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.
Donner un encadrement d’un nombre à l’unité près, au dixième près, au centième près…
Définition : Un angle est l’ouverture formée par deux demi-droites de même origine.
Notation : La demi-droite d’origine $A$ passant par $E$ est notée$ [AE)$.
Vocabulaire : Les demi-droites sont les côtés de l’angle. Leur origine est le sommetde l’angle.
Exemples : Sur la figure ci-dessous on a tracé l’angle $\widehat{BAC}$ (ou $\widehat{CAB}$) et l’angle $\widehat{xOy}$ (ou $\widehat{yOx}$).
Exemple : Pour le triangle $ABC$ ci-dessous, l’angle $\widehat{BAC}$ est droit. On a codé ci-dessous les deux autres angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ de ce triangle.
Propriété : D’après la définition, on peut affirmer que deux angles sont égaux s’ils ont la même ouverture : donc on peut les superposer.
Remarque : Pour comparer deux angles, on peut utiliser du papier calque.
B) Mesure d'un angle
Définition : Comme pour les longueurs, pour pouvoir comparer les angles à l’aide de nombres, il faut choisir un angle pour unité. Depuis plus de 4000 ans l’unité usuelle d’angle est le degré (noté °) : c’est l’angle correspondant à la trois cent soixantième partie du cercle.
Vocabulaire : On classe les angles par catégories selon leur mesure :
Exemple : Sur la figure ci-dessous, l’angle $\widehat{BAC}=42$°.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Identifier des angles dans une figure géométrique.
Connaître le vocabulaire associé aux angles.
Reconnaître qu’un angle est droit, aigu, obtus.
Déterminer la mesure d’un angle en degré en utilisant le rapporteur.
Construire un angle de mesure donnée en utilisant le rapporteur. Collège
Remarque : La multiplication n’agrandit pas forcément le nombre de départ.
Propriétés : Quand on multiplie un nombre :
Par $0,1$, le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes.
Par $0,01$, le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes.
Par $0,001$, le chiffre des unités devient le chiffre des millièmes.
Exemples :
$17,5\times 0,1=1,75$
$256\times 0,01=2,56$
$39,24\times 0,001=0,03924$
B) Effectuer une multiplication en posant l’opération
Exemple : Calcul du produit $2,74\times 5,8$ :
Lorsqu’on multiplie des centièmes par des dixièmes on obtient des millièmes. Ainsi, le nombre de chiffres après la virgule du produit est obtenu en additionnant les nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs.
Exemple : Un fromage est vendu au prix de 30 euros par kilogramme. Quel est le prix d’un morceau de ce fromage de 600 g ?
Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 euros.
Méthode 2 :
Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 euros.
C) Ordre de grandeur
Un ordre de grandeurd’un produit fournit une estimation de ce produit. Il permet d’anticiper ou de contrôler un résultat.
Exemple : Trouver un nombre proche de $10,5\times 2,9$. On remplace chacun des facteurs par un nombre proche pour pouvoir faire l’opération de tête : \[10\times 3 = 30\]On dit que $30$ est un ordre de grandeur du produit $10,5\times 2,9$.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Élaborer ou choisir des stratégies de calcul mental ou en ligne.
Multiplier deux nombres décimaux en posant le calcul.
Estimer un ordre de grandeur.
Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000.
Multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01, 0,001.
Résoudre des problèmes mobilisant l’addition, la soustraction, la multiplication.
Propriété : La longueur (ou le périmètre) d’un cercle est égale au produit du nombre pi ( noté $\pi$ ) par le diamètre de ce cercle. En notant $L$ la longueur du cercle, $R$ son rayon et $D$ son diamètre, on a :
\[\textcolor{red}{L=\pi \times D~~\text{ou}~~L= 2\times \pi\times R~~\text{avec}~~\pi\approx 3,14}\]
Exemple : Calculer une valeur approchée en cm et au centième près de la longueur du cercle de centre $O$ et de rayon $6~\text{cm}$ :
Définition : La longueur d’un segment $[AB]$ est la distance du point $A$ au point $B$. Elle est notée $AB$.
Exemple : Le segment $[AB]$ ci-dessous mesure $4,3~\text{cm}$. On note $AB = 4,3~\text{cm}$.
Remarque : Sur une figure géométrique, on indique les segments de même longueur avec un codage.
Exemple : Sur la figure ci-dessous on a $AB = BC$ et $CD =DE$.
Définition :Le milieud’un segment est le point de ce segment qui est situé à égale distance de ses extrémités.
Exemple : Dire que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ signifie : \[I\in [AB]~~~~\text{et}~~~~IA=IB\]
C) Le cercle
Définition : Un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un point appelé centre du cercle.
Vocabulaire : Cette distance est appelé le rayon du cercle.
Exemple : Le cercle ci-dessous à pour centre $M$. Le rayon de ce cercle est $3,2~\text{cm}$ et son diamètre est donc de $6,4~\text{cm}$ (le double du rayon).
$[MP]$ est un rayon de ce cercle.
$[WR]$ est un diamètre de ce cercle.
$[WE]$ est une corde de ce cercle.
D) Construction de triangles
Vocabulaire : Un triangle $TRS$ a :
Trois sommets : les points $T$ , $R$ et $S$.
Trois côtés : les segments $[TR]$, $[TS]$ et $[RS]$.
Exemple : Le triangle $TRS$ ci-dessous est un triangle quelconque :
Exemple : Construction du triangle $KLM$ tel que $KL = 6~\text{cm}$; $LM = 5~\text{cm}$ et $KM = 4,5~\text{cm}$.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
Comprendre les relations entre les unités de longueur en faisant le lien avec les unités de numération.
Savoir construire un segment de longueur donné et placer son milieu.
Savoir coder une figure.
Connaître le vocabulaire du cercle et savoir tracer des cercles en utilisant mon compas.
Connaître le vocabulaire du triangle et savoir tracer des triangles dont on connaît les longueurs des 3 côtés.
Chapitre 4 : Fractions décimales et nombres décimaux
A) Fractions décimales
Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, 100, 1 000, 10 000… Quand on additionne un nombre entier et des fractions décimales, on obtient un nombre décimal.
Exemple : $5$ unités + $4$ dixièmes + $7$ centièmes + $8$ dix-millièmes ou $5+\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}$ est un nombre décimal.
Définitions : Sa partie entière est $5$. Sa partie décimale est $\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}$ ou $\dfrac{4~708}{10~000}$.
Remarque : Un nombre entier est aussi un nombre décimal : \[5=5+\dfrac{0}{10}+\dfrac{0}{100}+\dfrac{0}{1~000}\]
B) De l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale
Un symbole permet de simplifier l’écriture d’un nombre décimal : la virgule.
Exemple : $5+\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}=5,4708$
Remarque : Un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule.
C) Diverses écritures d’un nombre décimal
Exemple : Voici différentes écritures de $1~837,253$ :
Somme d’un entier et de plusieurs fractions décimales : \[1~837,253=1~837+\dfrac{2}{10}+\dfrac{5}{100}+\dfrac{3}{1~000}\]
Somme d’un entier et d’une fraction décimale : \[1~837,253=1~837+\dfrac{253}{1~000}\]
Une seule fraction décimale : \begin{eqnarray} 1~837,253&=&1~837+\dfrac{253}{1~000}\\ &=&\dfrac{1~837~000}{1~000}+\dfrac{253}{1~000}\\ &=&\dfrac{1~837~253}{1~000} \end{eqnarray}
Remarque : $1~837,253 = 1~837+0,253$. Sa partie entière est $1~837$ et sa partie décimale est $0,253$.
Remarque : On peut écrire ou supprimer des zéros avant la partie entière et après la partie décimale d’un nombre décimal. Cela ne change pas sa valeur.
Exemples :
$05,300=5,3$
$82,90=82,9$
$12,0=12$
$0,82\neq 82$
$920,3\neq 92,3$
Remarques : Ces zéros inutiles peuvent être utiles :
pour poser une addition ou une soustraction :
$11,032$ est la différence entre $20,75$ et $9,718$.
pour indiquer un prix : $12,8$ euros s’écrira $12,80$ euros pour éviter toute confusion avec les centimes.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
Comprendre les relations entre unités, dixièmes, centièmes…
Savoir écrire un nombre sous la forme d’une fraction décimale.
Savoir écrire un nombre comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$.
Savoir donner l’écriture décimale d’un nombre.
Reconnaître différentes écritures d’un même nombre.
Savoir poser une addition et une soustraction et comprendre ces deux algorithmes.
Savoir résoudre des problèmes mobilisant l’addition et la soustraction.
Chapitre 3 : Droites sécantes, parallèles et perpendiculaires
A) Droites sécantes
Définition : Deux droites sécantes sont deux droites qui n’ont qu’un seul point en commun. Ce point est appelé le point d’intersection.
Exemple : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $E$. $E$ est le point d’intersection.
Les points $A$ et $C$ sont des points distincts.
Le point $E$ appartient aux droites $(AB)$ et $(CD)$. On dit que le point $E$ est le point commun aux droites $(AB)$ et $(CD)$. On note :
\[E\in (AB)\]
\[E\in (CD)\]
En revanche, le point $A$ n’appartient pas à la droite $(CD)$. On note :
\[A\notin (CD)\]
B) Droites perpendiculaires
Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant quatre angles droits.
Exemple : Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires. On note $(d)\textcolor{red}{\perp} (d’)$ ou $(d’)\textcolor{red}{\perp} (d)$.
C) Droites parallèles
Définition : Deux droites parallèles sont deux droites qui n’ont aucun point en commun.
Remarque : Deux droites parallèles ont un écart constant. Cet écart est la plus courte distance entre un point d’une droite et un point de l’autre droite.
Exemple : La droite $(d’)$ est la parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $A$.
D) Propriétés
Propriété 1 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles.
Exemple :
Sur la figure ci-dessus, les droite (d$_{1}$) et (d$_{2}$) sont perpendiculaires à la droite (d$_{3})$.
Les droites (d$_{1}$) et (d$_{2}$) sont donc parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles.
Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles et la droite $(d_{3})$ est perpendiculaire à la droite $(d_{1})$. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre. Donc la droite $(d_{3})$ est aussi perpendiculaire à la droite $(d_{2})$.
E) Une deuxième méthode de construction de deux droites parallèles
Exemple : Tracé de la parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $A$ :
Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
Connaître les définitions de droites sécantes, parallèles et perpendiculaires.
Connaître le vocabulaire “point commun”, “point d’intersection”, “points distincts”.
Savoir utiliser le symbole ∈.
Savoir utiliser l’équerre pour tracer des droites perpendiculaires.
Connaître par coeur les deux propriétés.
Savoir rédiger une petite démonstration en citant correctement la propriété utilisée afin de bien justifier ma réponse.
Savoir tracer deux droites parallèles en utilisant la règle et l’équerre.
Pour mesurer une longueur ou une masse, il suffit de se donner une unité et de compter le nombre d’unités qu’on peut reporter. Mais parfois, on doit partager l’unité choisie en un nombre de parties égales. Quand on partage une unité en parts égales, chaque part est une fraction de l’unité.
Exemple : L’unité est la longueur d’une bande (ou son aire).
$\dfrac{4}{3}=4\times \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}=1+\dfrac{1}{3}$ (Somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$).
B) Placer une fraction sur une demi-droite graduée
Définition : On appelle demi-droite graduée une demi-droite sur laquelle on a choisi une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.
Exemple : Pour placer $\dfrac{7}{3}$ sur une demi-droite graduée, on peut :
Reporter $7$ fois le tiers de l’unité ($\dfrac{7}{3}=7\times \dfrac{1}{3}$).
Exemple : Zélie a préparé un cocktail de jus de fruits qui contient $\dfrac{1}{10}$ de sirop de grenadine, $\dfrac{7}{10}$ de jus d’orange et du jus d’ananas. Elle a utilisé $\dfrac{1}{2}~\text{L}$ de jus d’ananas. Quel volume de cocktail Zélie a-t-elle préparé ?
$2~\text{L} + \dfrac{1}{2}~\text{L}=2,5~\text{L}$ Zélie a préparé 2,5 L de cocktail de jus de fruits.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Indiquer la fraction représentée par une partie colorée.
Placer une fraction sur une demi-droite graduée.
Écrire une fraction comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
$8~712=8\times 1~000+7\times 100+1\times 10+2$ $8$ est le chiffre des milliers et $1$ le chiffre des dizaines.
$8~712=871\times 10+2$ Il y a $871$ dizaines dans $8~712$.
$8~712=87\times 100+12$ Il y a $87$ centaines dans $8~712$.
B) Lire des grands nombres
Tableau de numération :
Exemple : La population de la Chine s’élevait fin 2010 à :
$1~339~713~000$
Ce nombre se lit : $1$ milliard $339$ millions $713$ mille habitants.
C) Représenter des entiers
On peut représenter des entiers sur une demi-droite graduée : il suffit de compter à partir de 0 en reportant régulièrement le même pas. A chaque point de la demi-droite qui correspond à une graduation, on associe un nombre entier, qu’on appelle abscisse.
Exemples :
Avec un pas de $10$ :
L’abscisse du point $A$ est $20$.
Avec un pas de $50$ :
L’abscisse du point $E$ est $10~050$.
Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
Composer et décomposer des grands nombres entiers.
Comprendre le lien entre les unités, les dizaines, les centaines…
Donner différentes écritures d’un nombre entier.
Repérer et placer un nombre entier sur une demi-droite graduée.
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