Chapitre 22 : Le cylindre de révolution

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Chapitre 22

Le cylindre

Chapitre 22 : Le cylindre

A) Représentation en perspective cavalière et patron

Définition : Un cylindre de révolution est un solide constitué de :

deux disques superposables, appelés bases du cylindre ;
une surface latérale qui peut être déroulée en un rectangle.

Définition : La hauteur d’un cylindre est la longueur du segment qui joint les centres des bases.

Exemple :

Exemple : Un patron d’un cylindre de révolution :

B) Volume d'un cylindre

Propriété : Le volume d’un cylindre est donné par la formule :
\[V=A_{base}\times \text{hauteur}=\pi\times R^{2}\times h\]

Exemple : Calcul, en $\text{cm}^{3}$ et au dixième près, du volume du cylindre ci-dessous :

\[V=\pi\times R^{2}\times h=\pi\times (4~\text{cm})^{2}\times 8~\text{cm}=128\pi\approx 402,1~\text{cm}^{3} \]

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Chapitre 21 : Les échelles

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Chapitre 21

Les échelles

Chapitre 21 : Les échelles

Définition : L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité:
\[\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}\]

Exemple : Sur une carte à l’échelle $\dfrac{1}{1~000}$, $1~\text{cm}$ sur la carte représente $1~000~\text{cm}$ dans la réalité, c’est à dire $10~\text{m}$.

$4,2~\text{cm}$ sur la carte représentent dans la réalité $4,2\times \times 10~\text{m}=42~\text{m}$.

Exemple : Sur un plan, un appartement est représenté par un carré de côté $10~\text{cm}$. La longueur réelle du côté du carré est de $9~\text{m}$. Calculer l’échelle de ce plan.

L’échelle peut s’écrire sous la forme d’une fraction de numérateur $1$. On cherche donc son dénominateur. Pour calculer son dénominateur, on divise la distance réelle par la distance représentée sur le plan, exprimée dans la même unité :
\[\dfrac{9~\text{m}}{10~\text{cm}}=\dfrac{900~\text{cm}}{10~\text{cm}}=90\]Ainsi, l’échelle de ce plan égale à $\dfrac{1}{90}$.

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Chapitre 20 : Ratio

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Chapitre 20

Ratio

Chapitre 20 : Ratio

Exemple : Une poche de bonbons est partagée entre Maroi et Esteban dans un ratio $3 : 4$ (lire « trois pour quatre»). Cela veut dire que Maroi reçoit $3$ bonbons quand Esteban en reçoit $4$. C’est un partage inégal. Pour une poche contenant $21$ bonbons, représentons les tours de distribution :

Maroi reçoit donc neuf bonbons quand Esteban en reçoit douze. La quantité de bonbons de Maroi partagée en $3$ est
égale à la quantité de bonbons d’Esteban partagée en $4$.

Définitions :

On dit que deux nombres a et b sont dans le ratio $3:4$ si :

\[\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}\]

On dit que trois nombres a, b et c sont dans le ratio $2:3:7$ si :

\[\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=\dfrac{c}{7}\]

Remarque : un ratio permet de parler des proportions de deux ou trois quantités les unes par rapports aux autres. Notre premier exemple pourrait se traduire aussi par : Maroi a reçu $\dfrac{3}{7}$ des bonbons et Esteban en a reçu $\dfrac{4}{7}$ (le dénominateur a été obtenu en ajoutant le nombre de parts de Maroi et le nombre de parts d’Esteban). Chacune de ces fractions permet de comparer une partie à la
totalité, ce ne sont pas des ratios.

Remarque : En France, on dit que le sexe-ratio est de $105:100$ parce qu’il naît environ $105$ garçons pour $100$ filles.

Exemple : Comment partager $48$ macarons entre Simon et Mandy dans le ratio $5:11$ ?

D’après le schéma ci-dessus, $1$ brique unité vaut :
\[48~\text{macarons}\div 16=3~\text{macarons}\]Donc Simon recevra :
\[3~\text{macarons} \times 5=15~\text{macarons}\]Mandy recevra :
\[3~\text{macarons} \times 11=33~\text{macarons}\]

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Chapitre 19 : Somme des mesures des angles d’un triangle

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Chapitre 19

Angles dans un triangle

Chapitre 19 : Angles dans un triangle

A) Somme des mesures des angles dans un triangle

Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.

Démonstration :
On trace la parallèle à la droite $(BC)$ passant par $A$.
Les angles rouges sont alternes-internes ainsi que les angles verts. Or, d’après la propriété précédente, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment ont la même mesure.
Ainsi, les angles rouges ont la même mesure et les angles verts ont la même mesure.
On en déduit que dans le triangle $ABC$ :
\[\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180\text{°}\]

Exemple : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DEF}$.

Dans un triangle, la somme des mesures des angles égales $180\text{°}$. Ainsi :
$\widehat{DEF}+\widehat{DFE}+\widehat{FDE}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}+36\text{°}+20\text{°}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-(20\text{°}+36\text{°})$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-56\text{°}$
$\widehat{DEF}=124\text{°}$

Exemple : Le triangle $IJK$ est rectangle isocèle en $I$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{IKJ}$.

$IKJ$ est isocèle en $I$ donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ainsi, $\widehat{IKJ}=\widehat{IJK}$.
Ainsi :
$\widehat{IKJ}=\dfrac{180\text{°}-90\text{°}}{2}=45\text{°}$

B) Triangle équilatéral

Propriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles mesure $60\text{°}$.

Exemple :

Le triangle $IJK$ est équilatéral donc ses 3 angles ont la même mesure.
$\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}$.
Donc $3\times \widehat{IJK}=180\text{°}$.
Ainsi $\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{JIK}=60\text{°}$.

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Chapitre 18 : Soustraction de nombres relatifs

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Chapitre 18

Soustraction de nombres relatifs

Chapitre 18 : Soustraction de nombres relatifs

A) Soustraire deux nombres relatifs

Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on peut ajouter son opposé.

Exemples :

\[4-7=4+(-7)=-3\]

\[12-(-4)=12+4=16\]

\[-9-5=-9+(-5)=-14\]

B) Distance entre deux points sur une droite graduée

Propriété : Sur une droite graduée, la distance entre deux points est égale à la différence entre la plus grande abscisse
et la plus petite.

Exemple :

Distance entre le point $A$ d’abscisse $2$ et le point $B$ d’abscisse $-3$ :
\[AB=2-(-3)=2+3=5\]

C) Calculer une expression avec des additions et des soustractions

Exemples :

On calcule de gauche à droite :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&2-8-(-12)\\
A&=&-6-(-12)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}

On écrit A avec des additions uniquement :
\begin{eqnarray*}
A&=&-7+9-8-(-12)\\
A&=&-7+9+(-8)+12\\
A&=&9+12+(-7)+(-8)\\
A&=&21+(-15)\\
A&=&6
\end{eqnarray*}

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Chapitre 17 : Prisme droit et volume

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Chapitre 17

Prisme droit et volume

Chapitre 17 : Prisme droit et volume

A) Prisme droit

Définition : Un prisme droit est un solide de l’espace qui possède :

deux faces parallèles appelées bases et qui sont des polygones superposables ;
d’autres faces appelées faces latérales et qui sont des rectangles.

Exemple : Un prisme droit à base triangulaire :

Exemple : D’autres prismes droits :

La base est le polygone $ABCD$ :

La base est le polygone $IJKLM$ :

Remarque : Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un prisme droit particulier.

B) Patron d'un prisme droit

Définition : On appelle patron d’un solide un dessin qui permet de réaliser ce solide après découpage et collage, sans que deux faces se superposent.

Exemple : Patron d’un prisme droit à base triangulaire :

C) Volume d'un prisme droit

Formule : Le volume d’un prisme droit de hauteur h est donné par la formule :
\[V=Aire_{base}\times h\]

Remarque : La base d’un pavé droit étant un rectangle, le volume d’un pavé droit est donné par la formule : \[V=L\times l\times h\]

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Chapitre 16 : Notion de probabilité

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Chapitre 16

Notion de probabilité

Chapitre 16 : Notion de probabilité

A) Issues d'une expérience aléatoire

Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat (ou issue).

Exemples : Dans chacune des situations ci-dessous, plusieurs issues (ou résultats) sont possibles.

Lancer une pièce équilibrée est une expérience aléatoire. Cette expérience a deux issues : pile ou face.
Tirer une boule dans une urne est une expérience aléatoire. Cette expérience a deux issues : rouge ou jaune.
Dans le troisième exemple, on peut s’intéresser à l’événement “obtenir un nombre impair”. On a $6$ chances sur $8$ d’obtenir un nombre impair.

B) Notion de probabilité

Exemples : Retour à l’exemple précédent :

Dans le premier exemple, on a $1$ chance sur $2$ de tirer “Pile”. On dira alors que la probabilité de cette issue est égale à $\dfrac{1}{2}$.
Dans le deuxième exemple, la probabilité de tirer une boule rouge est de $\dfrac{3}{5}$. Il y a $60$ % de chance d’obtenir une boule rouge.
Dans le troisième exemple, la probabilité de tomber sur une case comportant le chiffre $1$ est $\dfrac{2}{8}$

Définition : La probabilité d’une issue est égale au quotient de nombre d’issues favorables (issues dans lesquelles on obtient le résultat) par le nombre total d’issues possibles.

Propriétés :

La probabilité d’une issue est un nombre compris entre $0$ et $1$.
La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à $1$.

Exemple : En reprenant l’exemple de la roue de loterie des exemples précédents :
$\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+1+3+1+1}{8}=\dfrac{8}{8}=1$

Remarque : Une probabilité peut s’exprimer sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).

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Chapitre 15 : Aire et périmètre

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Chapitre 15

Aire et périmètre

Chapitre 15 : Aire et périmètre

A) Périmètre d'une figure

Définition : Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Tableau des unités de longueur :

Exemples :

$0,65~\text{m}=0,65\times 1~\text{m}=0,65\times 100~\text{cm}=65~\text{cm}$ car $1~\text{m}=100~\text{cm}$.
$152~\text{m}=152\times 1~\text{m}=152\times 0,001~\text{km}=152\div 1~000~\text{km}=0,152~\text{km}$ car $1~\text{km}=1~000~\text{m}$

Formulaire :

B) Aire d'une figure

Définition : L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure.

Donner une unité d’aire permet de mesurer l’aire d’une figure dans cette unité. Quand on change d’unité, la mesure
de l’aire change.
Tableau des unités d’aire :

Exemples :

$1~\text{m}^{2}=100~\text{dm}^{2}$
$7,63~\text{cm}^{2}=7,63\times 1~\text{cm}^{2}=7,63\times 0,01~\text{dm}^{2}=7,63\div 100~\text{dm}^{2}=0,0763~~\text{dm}^{2}$
$8,3~\text{dam}^{2}=8,3\times 1~\text{dam}^{2}=8,3\times 10~000~\text{dm}^{2}=83~000~\text{dm}^{2}$

Formulaire :

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Chapitre 14 : Additionner des nombres relatifs

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Chapitre 14

Additionner des nombres relatifs

Chapitre 14 : Additionner des nombres relatifs

A) Additionner deux nombres relatifs

Règle : La somme de deux nombres relatifs de même signe :

a pour signe le signe commun aux deux nombres ;
a pour distance à zéro la somme des distances à zéro.

Exemples :

\[10,1+9,9=20\]

\[-3,7+(-2,3)=-6\]

Règle : La somme de deux nombres relatifs de signes contraires :

a pour signe le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
a pour distance à zéro la différence des distances à zéro.

Exemples :

$7+(-2)=5$
$-4+7,2=3,2$

B) Additionner plusieurs nombres relatifs

Propriétés : Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut :

modifier l’ordre des termes ;
regrouper différemment les termes.

Exemples :
\[5+(-8)=-3\]

\[-8+5=-3\]

Exemples :
Pour calculer une telle expression, on peut regrouper les nombres positifs et les nombres négatifs :
\begin{eqnarray*}
A&=&\textcolor{green}{-5}+\textcolor{red}{6}+\textcolor{green}{(-7)}+\textcolor{red}{15}\\
A&=&\textcolor{green}{-5}+\textcolor{green}{(-7)}+\textcolor{red}{6}+\textcolor{red}{15}\\
A&=&-12+21\\
A&=&9
\end{eqnarray*}
Pour calculer une telle expression, on peut effectuer les calculs de gauche à droite :
\begin{eqnarray*}
A&=&\textcolor{red}{-5+6}+(-7)+15\\
A&=&1+(-7)+15\\
A&=&-6+15\\
A&=&9
\end{eqnarray*}
Pour calculer une telle expression, on peut regrouper les nombres opposés :
\begin{eqnarray*}
B&=&-7,1+(-3,6)+(-4,3)+3,6\\
B&=&-7,1+(-4,3)+\textcolor{red}{(-3,6)}+\textcolor{red}{3,6}\\
B&=&-7,1+(-4,3)\\
B&=&-11,4
\end{eqnarray*}

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
• Savoir additionner deux nombres relatifs.
• Savoir additionner plusieurs nombres relatifs.

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Chapitre 13 : Le parallélogramme

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Chapitre 13

Le parallélogramme

Chapitre 13 : Le parallélogramme

A) Définition du parallélogramme

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu.

Exemple : Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

B) Propriétés d’un parallélogramme

Propriétés :

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il possède un centre de symétrie.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.

Démonstration : Démonstration des deux premières propriétés :

Le point $O$ est le milieu des segments $[AC]$ et $[BD]$ donc le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$ est le point $C$ et le symétrique du point $B$ par rapport au point $O$ est le point $D$. Ainsi, le symétrique du parallélogramme $ABCD$ par rapport au point $O$ est le parallélogramme $ABCD$. Le point $O$ est donc le centre de symétrie de ce parallélogramme.
Le point $O$ étant le centre de symétrie du parallélogramme $ABCD$, le symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $O$ est le segment $[DC]$ et le symétrique du segment $[AD]$ par rapport au point $O$ est le segment $[BC]$. La symétrie centrale conservant les longueurs, on a bien : $AB=DC$ et $AD=BC$.

Exemple :

$AB=DC$ et $AD=BC$.
$(AB)//(DC)$ et $(AD)//(BC)$.
$\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ et $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$.

C) Reconnaître un parallélogramme

Propriétés :

Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Connaître les propriétés du parallélogramme pour effectuer des constructions et mener des raisonnements.
Reconnaître des parallélogrammes.

Sources :

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Chapitre 12 : Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire

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Chapitre 12

Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire

Chapitre 12 : Addition et soustraction de nombres en écriture fractionnaire

A) Les écritures fractionnaires ont même dénominateur

Règle : Pour additionner (ou pour soustraire) deux quotients de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait)
les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

Démonstration : Démontrons que $\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{8}{7}$.
On sait que les nombres $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{3}{7}$ vérifient :
\[7\times \dfrac{5}{7}=5~~~\text{et}~~~7\times \dfrac{3}{7}=3\]Donc,
\[7\times (\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{7})=7\times \dfrac{5}{7}+7\times \dfrac{3}{7}=5+3=8\]Or,
\[7\times \dfrac{8}{7}=8\]On en déduit que :
\[\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{8}{7}=\dfrac{5+3}{7}\]

Exemples :

$\dfrac{13}{\textcolor{red}{4}}+\dfrac{6}{\textcolor{red}{4}}=\dfrac{13+6}{\textcolor{red}{4}}=\dfrac{19}{\textcolor{red}{4}}$

$\dfrac{5,7}{\textcolor{red}{5}}+\dfrac{1,3}{\textcolor{red}{5}}=\dfrac{5,7+1,3}{\textcolor{red}{5}}=\dfrac{7}{\textcolor{red}{5}}$

$\dfrac{18}{\textcolor{red}{12}}-\dfrac{11}{\textcolor{red}{12}}=\dfrac{18-11}{\textcolor{red}{12}}=\dfrac{7}{\textcolor{red}{12}}$

B) Les écritures fractionnaires ont des dénominateurs différents

Règle : Pour additionner (ou pour soustraire) deux quotients de dénominateurs différents, on les écrit avec le même
dénominateur.

Exemples :

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\textcolor{red}{\times 2}}{2\textcolor{red}{\times 2}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{7}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7\textcolor{red}{\times 3}}{5\textcolor{red}{\times 3}}-\dfrac{1\textcolor{red}{\times 5}}{3\textcolor{red}{\times 5}}=\dfrac{21}{15}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{16}{15}$

$3+\dfrac{5}{4}=\dfrac{12}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{17}{4}$

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Addition ou soustraire plusieurs nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur.
Additionner ou soustraire plusieurs nombres en écriture fractionnaire ayant des dénominateurs différents en
les convertissant au même dénominateur.

Sources :

Les fractions (Eduscol)

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Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral

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Chapitre 11

Introduction au calcul littéral

Chapitre 11 : Introduction au calcul littéral

A) Des nombres et des lettres

Définition : Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres. Ces lettres représentent des nombres.

Remarque : Une expression littérale peut traduire un programme de calcul.

Exemple : Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre
Multiplier le résultat par 2
Ajouter 10

En effectuant ce programme de calcul avec $x$, on obtient :

$x$
$2\times x$
$2\times x+10$

L’expression littérale $2\times x+10$ permet de traduire ce programme de calcul.

Remarque : Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.

Exemples :

Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être la somme de deux entiers consécutifs” par l’expression littérale :
\[n+(n+1)\]
Si $n$ désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation “être un multiple de 3” par l’expression littérale :
\[3\times n\]

B) Simplification d'écriture

Règle : On peut supprimer le signe $\times $ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.

Exemples :

Le périmètre d’un carré est donné par l’expression : $P=4\times c=4c$.
Le périmètre d’un rectangle est donné par l’expression : $P=2\times (l+L)=2(l+L)$.
Le périmètre d’un cercle est donné par l’expression : $P=2\times \pi\times R=2\pi R$.

Exemples :

$2\times a=2a$
$a\times b=ab$
$2+3\times b=2+3b$

$a\times 2+4\times b=2\times a+4b=2a+4b$
$(2+3)\times b=5\times b=5b$
$a\times a=a^{2}$

C) Remplacer des lettres par des nombres

Pour calculer une expression littérale pour certaine valeur des lettres, il suffit de remplacer les lettres par ces valeurs.

Exemple : Calculer l’expression $A=5x(x+2)$ pour $x=3$. \begin{eqnarray*} A&=&5\times \textcolor{red}{x}\times (\textcolor{red}{x}+2)~~~~~\text{(On replace les signes $\times $ dans l’expression).}\\ A&=&5\times \textcolor{red}{3}\times (\textcolor{red}{3}+2)~~~~~~\text{(On remplace la lettre $x$ par sa valeur 3)}.\\ A&=&5\times 3\times 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(On effectue les calculs).}\\ A&=&75 \end{eqnarray*}

D) Tester une égalité

Vocabulaire : Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe =.

Exemple :

\[\underbrace{5\times 4}_{\textcolor{red}{\text{Membre de gauche}}}=\underbrace{12+8}_{\textcolor{red}{\text{Membre de droite}}}\]

Définition : Tester une égalité de deux expressions signifie remplacer chaque lettre identique par une même valeur, et
indiquer si l’égalité est vraie ou fausse pour cette valeur.

Exemple : On considère l’égalité $3x-5=5x-9$.

Cette égalité est-elle vraie pour $x=2$ ?

On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{2}-5=6-5=1$
On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{2}-9=10-9=1$

On trouve le même résultat, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est vraie pour $x=2$.

2. Cette égalité est-elle vraie pour $x=4$ ?

On calcule la valeur du membre de gauche : $3\textcolor{red}{x}-5=3\times \textcolor{red}{4}-5=12-5=7$
On calcule la valeur du membre de droite : $5\textcolor{red}{x}-9=5\times \textcolor{red}{4}-9=20-9=11$

On trouve des résultats différents, donc l’égalité $3x-5=5x-9$ est fausse pour $x=4$.

E) Distributivité

Propriété : $a$, $b$ et $k$ désignent des nombres.

$a\textcolor{red}{k}+b\textcolor{red}{k}=(a+b)\textcolor{red}{k}$
$a\textcolor{red}{k}-b\textcolor{red}{k}=(a-b)\textcolor{red}{k}$

Exemples : Réduire les expressions ci-dessous.

\begin{eqnarray*} A&=&12x+7x\\ A&=&(12+7)x\\ A&=&19x \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} B&=&3,5a-1,2a\\ B&=&(3,5-1,2)a\\ B&=&2,3a\\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
C&=&2x^{2}+3x+6-x+8\\
C&=&2x^{2}+(3-1)x+6+8\\
C&=&2x^{2}+2x+14
\end{eqnarray*}

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Écrire une expression littérale traduisant un programme de calcul ou un problème.
Simplifier une expression littérale.
Remplacer une lettre par un nombre pour calculer la valeur d’une expression littérale.
Tester une égalité.
Réduire une expression.

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Chapitre 10 : Comparer des nombres en écriture fractionnaire

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Chapitre 10

Comparer des nombres en écriture fractionnaire

Chapitre 10 : Comparer des nombres en écriture fractionnaire

A) Comparer des nombres en écriture fractionnaire à 1

Propriétés :

Si le numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à 1.
Si le numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à 1.
Si le numérateur est égal au dénominateur alors la fraction est égale à 1.

Exemples :

$\dfrac{11}{15}<1$ car $11<15$
$\dfrac{17}{15}>1$ car $17>15$
$\dfrac{15}{15}=1$ car le numérateur est égal au dénominateur.

B) Comparer des nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur ou de même numérateur

Propriété : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple : Trois parts d’un gâteau coupé en 4, c’est davantage qu’une part de ce même gâteau.

$\dfrac{1}{4}<\dfrac{3}{4}$

Propriété : Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple : On a une plus grande part de gâteau quand il est coupé en 4 que quand il est coupé en 8.

$\dfrac{3}{4}>\dfrac{3}{8}$

Exemple : Comparer $\dfrac{18,1}{6}$ et $\dfrac{43}{12}$.

On utilise la propriété des quotients égaux pour obtenir le même dénominateur :
$\dfrac{18,1}{6}=\dfrac{18,1\times \textcolor{red}{2}}{6\times \textcolor{red}{2}}=\dfrac{36,2}{12}$
Or $36,2<43$, donc: $\dfrac{36,2}{12}<\dfrac{43}{12}$
Ainsi: $\dfrac{18,1}{6}<\dfrac{43}{12}$

C) Comparer des nombres en écriture fractionnaire en calculant le quotient

Propriété : Pour comparer deux fractions on peut également calculer le quotient.

Exemple : Pierre et Bintou boivent chacun une bouteille avec la même quantité d’eau. Pierre boit $\dfrac{9}{12}$ de sa bouteille. Bintou boit $\dfrac{10}{16}$ de sa bouteille. Lequel des deux a bu le plus d’eau ? $Comparer deux fractions à partir de leur écriture décimale$ Donc $\dfrac{9}{12}>\dfrac{10}{16}$. Pierre a bu le plus d’eau.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Comparer des nombres en écriture fractionnaire à 1.
Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ayant même numérateur ou même dénominateur.
Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ayant des numérateurs et des dénominateurs différents. (en convertissant au même dénominateur, en calculant leur quotient, en les comparant au nombre 1…).

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Chapitre 9 : Angles et parallélisme

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Chapitre 9

Angles et parallélisme

Chapitre 9 : Angles et parallélisme

A) Vocabulaire

Définition : Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de
l’autre.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{zOt}$ sont opposés par le sommet. Ils ont donc la même mesure.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Les angles codés en vert sont des angles alternes-internes.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d)$ et $(d’)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$.

Les angles codés en vert sont des angles correspondants.

B) Propriétés

Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspondants) qu’elles forment ont la même mesure.

Démonstration : Les angles $\widehat{xAv}$ et $\widehat{yBu}$ sont alternes-internes.
Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Le symétrique de l’angle $\widehat{xAv}$ par rapport au point $I$ est l’angle $\widehat{yBu}$.
Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles.
Donc $\widehat{xAv}=\widehat{yBu}$.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(CH)$ coupe les droites parallèles $(BD)$ et $(FG)$ respectivement en $A$ et $E$.

Calculer la mesure de l’angle $\widehat{FEA}$.

Les angles $\widehat{FEA}$ et $\widehat{EAD}$ sont alternes-internes. Comme les droites $(BD)$ et $(FG)$ sont parallèles alors ces deux angles ont la même mesure. Donc:
\[\widehat{FEA}=\widehat{EAD}=152°\]

Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, la droite $(PK)$ coupe la droite $(IL)$ en $J$ et la droite $(MO)$ en $N$.

Prouver que les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Les angles $\widehat{KJL}$ et $\widehat{JNO}$ sont correspondants. Or, ils ont la même mesure. Donc les droites $(IL)$ et $(MO)$ sont parallèles.

Remarque : Si deux droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires à une même droite $(t)$, alors $(d)$ et $(d’)$ sont parallèles. On retrouve le cas étudié en 6ème…

Chapitre 9 : Angles et parallélisme Lire la suite »

Chapitre 8 : Introduction aux nombres relatifs

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Chapitre 8

Introduction aux nombres relatifs

Chapitre 8 : Introduction aux nombres relatifs

A) Les nombres relatifs

On peut effectuer des soustractions pour lesquelles le 1er nombre est plus petit que le 2ème, le résultat est un nombre
négatif, il s’écrit avec un signe “-“.

\[7-9=3-5=1-3=0-2=(-2)\]

Exemples :
• $7 256$ est un nombre positif.
• $(−25,6)$ est un nombre négatif.
• $0$ est à la fois un nombre positif et un nombre négatif.

Remarque : On peut donc désormais compléter des égalités du type $9+…=7$ ! En effet :

\[9+(-2)=7\]

Définition : Les nombres négatifs et les nombres positifs font partis d’un ensemble appelé l’ensemble des nombres relatifs.

B) Opposés

Définition : Deux nombres sont opposés quand leur somme vaut zéro.

Exemple :

\[7+(-7)=0\]Les deux nombres $(-7)$ et $7$ sont opposés.

C) Repérage sur une droite graduée

Définition : Sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre relatif correspond à la distance entre ce point et l’origine de la droite.

Exemple : Sur cette droite graduée, l’abscisse de $A$ est $(−2)$, l’abscisse de $B$ est $2$.

La distance à zéro du nombre $(−2)$ est $2$.
La distance à zéro du nombre $2$ est $2$.

Remarque : Sur la droite graduée ci-dessus, les points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à l’origine $O$. Les nombres
$2$ et $(−2)$ sont opposés.

D) Comparer des nombres relatifs

Règles :

Si deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui est le plus éloigné de zéro.
Un nombre négatif est toujours plus petit qu’un nombre positif.
Si deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro.

Exemples :

$-5,3<-3$

$-200<7,01$

$4,49<4,7$

E) Repérage dans le plan

Définition : Un repère du plan est constitué de deux droites graduées (ou axes) de même origine $O$. $O$ est l’origine du repère.

Définition : Dans un repère, chaque point est repéré par deux nombres relatifs :

Le premier nombre, lu sur l’axe horizontal, est appelé l’abscisse du point.
Le second nombre, lu sur l’axe vertical, est appelé l’ordonnée du point.

Exemple :

Les coordonnées du point $A$ sont : $(\textcolor{red}{-4};\textcolor{green}{3})$.
L’abscisse de $A $est $(−4)$.
L’ordonnée de $A $est $3$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Lire l’abscisse d’un point sur une droite graduée ou placer un point d’abscisse donnée sur cette droite graduée.
Comparer des nombres relatifs.
Ranger des nombres relatifs dans l’ordre croissant ou décroissant.
Lire les coordonnées d’un point dans un repère ou placer un point de coordonnées données dans ce repère.

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Chapitre 7 : Pourcentages

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Chapitre 7

Les pourcentages

Chapitre 7 : Les pourcentages

A) Calculer le pourcentage d'une quantité

Définition : Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à $100$ .

Propriété : Pour calculer $p\%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac{p}{100}$.

Exemple : Calculer $30\%$ de $50~\text{L}$.

\[\dfrac{30}{100}\times 50~\text{L}=0,30\times 50~\text{L}=15~\text{L}\]

$30 \%$ de $50~\text{L}$ c’est donc $15~\text{L}$.

Cas particuliers :

Pour calculer $50 \%$ d’un nombre, on le divise par $2$.
Pour calculer $25 \%$ d’un nombre, on le divise par $4$.
Pour calculer $10 \%$ d’un nombre, on le divise par $10$.

B) Calculer un pourcentage

Méthode : Calculer un pourcentage revient à écrire une proportion de dénominateur 100.

Exemple : $7$ élèves sur $28$ sont gauchers. Quel est le pourcentage de gauchers ?

\[\dfrac{7}{28}=0,25=\dfrac{25}{100}\]Donc $25\% $ de ces élèves sont gauchers.

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Chapitre 6 : Les nombres premiers

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Chapitre 6

Les nombres premiers

Chapitre 6 : Les nombres premiers

A) Multiples et diviseurs d'un nombre

Définition : Le nombre $a$ est divisible par le nombre $b$ ($b\neq 0$) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$.
On a donc :
\[a=b\times q\]

$b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.
$a$ est un multiple de $b$.

Exemple : 56 = 7 x 8.

7 et 8 sont des diviseurs de 56.
56 est un multiple de 7 et un multiple de 8.

Critères de divisibilité :

Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

B) Nombres premiers

Définition : Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples :

12 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 12.
1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui-même.
0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non-nul.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 sont tous les nombres premiers inférieurs à 30.

C) Décomposition en produit de facteurs premiers

Propriété (admise) : Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette
décomposition est unique, à l’ordre près.

Exemple : Décomposition de 90 en produit de facteurs premiers.

$90=2\times 45$
$90=2\times 3\times 15$
$90=2\times 3\times 3\times 5$

Exemple : La décomposition en produit de facteurs premiers permet de simplifier une fraction.
\[\dfrac{76}{90}=\dfrac{2\times 2\times 19}{2\times 3\times 3\times 5}=\dfrac{2\times 19}{3\times 3\times 5}=\dfrac{38}{45}\]

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Chapitre 5 : Inégalité triangulaire et construction de triangle

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Chapitre 5

L'inégalité triangulaire

Chapitre 5 : L'inégalité triangulaire

Propriété : Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté.

Exemple : Dans un triangle $ABC$, on a :

\[AC+CB>\textcolor{blue}{AB}\]

\[AB+BC>\textcolor{green}{AC}\]

\[BA+AC>\textcolor{red}{BC}\]

Conséquence : Cela signifie que pour pouvoir construire un triangle dont on donne les longueurs des trois côtés, il suffit de vérifier que la somme des deux plus petites longueurs est supérieure à la troisième.

Exemples :

Peut-on construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 8~\text{cm}$, $AC =4~\text{cm}$ et $BC = 2~\text{cm}$ ?
$AC +BC = 4~\text{cm}+2~\text{cm}= 6~\text{cm}$ et $AB = 8~\text{cm}$.
Donc $AC +BC < AB$ et on ne peut donc pas construire le triangle $ABC$.
Peut-on construire un triangle $EFG$ tel que $EF = 7,2~\text{cm}$, $EG = 4,5~\text{cm}$ et $FG = 3,3~\text{cm}$ ?

$EG +GF = 4,5~\text{cm}+3,3~\text{cm}= 7,8~\text{cm}$ et $EF = 7,2~\text{cm}$. Donc $EG +GF > EF$ et on peut construire le triangle $EFG$.

Propriétés :

Si un point $B$ appartient à un segment $[AC]$ alors $\textcolor{red}{AB} + \textcolor{green}{BC} = AC$.
Si $A$, $B$, $C$ sont trois points tels que $\textcolor{red}{AB} + \textcolor{green}{BC} = AC$ alors le point $B$ appartient au segment $[AC]$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Utiliser l’inégalité triangulaire pour justifier qu’un triangle est constructible ou non.
Construire des triangles dont on connaît les longueurs des 3 côtés.
Construire un triangle en respectant une échelle.

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Chapitre 4 : La proportionnalité

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Chapitre 4

La proportionnalité

Chapitre 4 : La proportionnalité

A) Reconnaître un tableau de proportionnalité

Définition : Un tableau est dit de proportionnalité lorsqu’on obtient chaque nombre d’une ligne en multipliant le nombre correspondant de l’autre ligne par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemples :

Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :

\[\dfrac{1,30}{1}=1,3~~~~\dfrac{2,60}{2}=1,3~~~~\dfrac{0,65}{0,5}=1,3\]

Le coefficient de proportionnalité est 1,3.

Le tableau ci-dessous n’est pas un tableau de proportionnalité.

\[\dfrac{17}{2}=8,5~~~~\dfrac{38}{5}=7,6~~~~\text{et}~~~~ 8,5\neq 7,6\]Ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

B) Calculer une quatrième proportionnelle

Vocabulaire : Dans un tableau de proportionnalité, lorsqu’on connaît trois nombres non nuls, on peut calculer le quatrième nombre manquant. Ce nombre manquant est appelé une quatrième proportionnelle.

Exemples : 4 kg de cerises coûtent 11,20 euros. Combien coûtent 5 kg de cerises ? Voici différentes méthodes pour calculer la quatrième proportionnelle.

Coefficient de proportionnalité :
\[11,20\div 4=2,80\]

Méthode multiplicative :
\[5\div 4=1,25\]

Passage par l’unité puis méthode additive :

Donc 5 kg de cerises coûtent 14 euros.

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Chapitre 3 : Nombres en écriture fractionnaire

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Chapitre 3

Nombres en écriture fractionnaire

Chapitre 3 : Nombres en écriture fractionnaire

A) Ecriture fractionnaire d'un quotient

Définition : $a$ et $b$ désignent deux nombres avec $b \neq 0$. Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
On le note $a \div b$ ou en écriture fractionnaire : $\dfrac{a}{b}$.

Exemple : Compléter l’égalité ci-dessous :
\[3\times…=4\]\[3\times\dfrac{4}{3}=4\]

Exemples :

$\dfrac{3}{4}=3\div 4=0,75$ (le quotient s’écrit sous forme d’un nombre décimal).
$\dfrac{11}{6}\approx 1,833$ (le quotient ne s’écrit pas sous forme d’un nombre décimal. On donne ici une valeur approchée au millième près).

B) Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Exemple : Pour placer sur la demi-droite graduée ci-dessous, les fractions $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{7}{3}$, il faut couper l’unité en 3 parties égales.

C) Quotients égaux

Propriété : Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un
même nombre non nul.

Démonstration : Démontrons que $\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{10}$.
$\dfrac{3}{2}\times 10=\dfrac{3}{2}\times 2\times 5$.
Or, $\dfrac{3}{2}\times 2=3$. On peut donc écrire :
$\dfrac{3}{2}\times 10=3\times 5=15$.
Par définition du quotient, on a donc que $\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{10}$, puisque $\dfrac{3}{2}$ multiplié par 10 donne 15.

Exemples :

$\dfrac{8,1}{5}=\dfrac{8,1\textcolor{red}{\times 10}}{5 \textcolor{red}{\times 10}}=\dfrac{81}{50}$

$\dfrac{21}{30}=\dfrac{21\textcolor{red}{\div 3}}{30 \textcolor{red}{\div 3}}=\dfrac{7}{10}$

Remarque : Pour calculer le quotient d’un nombre décimal par un nombre décimal, on applique la propriété précédente pour obtenir un diviseur entier.

Exemples : Calculer $9,54\div 1,8$.

On ne sait pas poser cette division car le diviseur est un nombre écrit avec une écriture décimale. On utilise la propriété précédente pour écrire ce quotient avec un diviseur sous la forme d’un nombre entier :

$\dfrac{9,54}{1,8}=\dfrac{9,54\times \textcolor{red}{10}}{1,8\times \textcolor{red}{10}}=\dfrac{95,4}{18}$

On peut maintenant poser l’opération, on trouve alors :

Donc: $9,54\div 1,8=5,3$

D) Simplifier une fraction

Définition : Simplifier une fraction, c’est écrire une fraction qui lui est égale mais avec un numérateur et un dénominateur
plus petits.

Exemples :

$\dfrac{14}{36}=\dfrac{14\div \textcolor{red}{2}}{36\div \textcolor{red}{2}}=\dfrac{7}{18}$

$\dfrac{15}{25}=\dfrac{15\div \textcolor{red}{5}}{25\div \textcolor{red}{5}}=\dfrac{3}{5}$

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :
• Donner l’écriture décimale d’un quotient.
• Placer une fraction sur une demi-droite graduée.
• Compléter des égalités du type $3\times …=4$.
• Compléter des égalités du type $\dfrac{8}{5}=\dfrac{…}{45}$.
• Déterminer si deux quotients sont égaux ou non.
• Résoudre des problèmes de proportion.
• Simplifier une fraction.

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Chapitre 2 : La symétrie centrale

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Chapitre 2

La symétrie centrale

Chapitre 2 : La symétrie centrale

A) Figures symétriques par rapport à un point

Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à un point $O$ lorsqu’elles se superposent en effectuant un demi-tour
autour de ce point.
On dit que $O$ est le centre de la symétrie.

Exemple :

B) Symétrique d'un point

Définition : Le symétrique d’un point $M$ par rapport à un point $O$ est le point $M’$ tel que le point $O$ est le milieu du segment $[MM’]$.

Remarque : Dans la symétrie de centre $O$, le symétrique du point $O$ est lui-même.

Exemple : Tracer le symétrique $A’$ du point $A$ par rapport au point $O$ en utilisant le quadrillage.

Exemple : Tracer le symétrique $A’$ du point $A$ par rapport au point $O$ en utilisant la règle et le compas.

C) Propriétés de la symétrie centrale

Propriétés : La symétrie centrale conserve :
• les longueurs ;
• l’alignement des points ;
• les mesures des angles ;
• les aires.

Exemple :

$AB=A’B’$, $BC=B’C’$, $AC=A’C’$.
Les points $A$, $E$ et $B$ sont alignés. Il en est de même des points $A’$, $E’$ et $B’$.
$\widehat{ABC}=90°$ donc $\widehat{A’B’C’}=90°$.
Les triangles $ABC$ et $A’B’C’$ ont la même aire.

Propriété : Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite parallèle.

Exemple : Les droites $(d’)$ et $(d)$ sont symétriques par rapport au point $O$. Elles sont donc parallèles.

Propriété : Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.

Exemple : Les segments $[AB]$ et $[A’B’]$ sont symétriques par rapport au point $O$. Ils ont donc la même longueur.

Propriété : Le symétrique d’un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon. Leurs centres sont symétriques
par rapport à ce point.

Exemple : Les cercles $C$ et $C’$ sont symétriques par rapport au point $O$. Ils ont donc le même rayon.

D) Centre de symétrie d'un figure

Propriété : Un point $O$ est centre de symétrie d’une figure lorsque cette figure est sa propre symétrique par rapport au point $O$.

Exemple : La figure ci-dessous possède un centre de symétrie : le point $O$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :
• Savoir construire le symétrique d’un point à la règle et au compas ou avec l’aide d’un quadrillage.
• Savoir construire le symétrique d’une figure à la règle et au compas ou avec l’aide d’un quadrillage.
• Connaître et savoir utiliser les propriétés de la symétrie centrale.
• Savoir reconnaître si une figure possède ou non un centre de symétrie.

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Chapitre 1 : Priorités opératoires

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Chapitre 1

Priorités opératoires

Chapitre 1 : Priorités opératoires

A) Décrire une expression

Une addition est une opération qui permet de calculer une somme.
Une soustraction est une opération qui permet de calculer une différence.
Une multiplication est une opération qui permet de calculer un produit.
Une division est une opération qui permet de calculer un quotient.

B) Expressions sans parenthèses

Règle : Dans une suite de calculs sans parenthèses, il faut effectuer les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Remarque : On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.

Exemples :

\begin{eqnarray*} A&=&9+\textcolor{red}{12\div 100}\\ A&=&9+0,12\\ A&=&9,12 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} B&=&\textcolor{red}{7\times 0,5}+\textcolor{red}{6\times 12}\\ B&=&3,5+72\\ B&=&75,5 \end{eqnarray*}

Règle : Si la suite de calculs sans parenthèses ne comporte que des additions et des soustractions (ou que des multiplications et des divisions), on effectue les calculs dans l’ordre de la gauche vers la droite.

Exemples :

\begin{eqnarray*} A&=&\textcolor{red}{24-8}+2\\ A&=&16+2\\ A&=&18 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} B&=&\textcolor{red}{7\times 2}\times 10\div 7\\ B&=&\textcolor{red}{14\times 10}\div 7\\ B&=&140\div 7\\ B&=&20 \end{eqnarray*}

C) Expressions avec parenthèses

Règles :

Dans une suite de calculs, il faut d’abord effectuer les calculs entre parenthèses.
Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on commence par effectuer les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.

Exemples :

\begin{eqnarray*} A&=&7+2\times (\textcolor{red}{5+7})-5\\ A&=&7+\textcolor{red}{2\times 12}-5\\ A&=&\textcolor{red}{7+24}-5\\ A&=&31-5\\ A&=&26 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} B&=&7\times [4+(\textcolor{red}{1+2})\times 5]\\ B&=&7\times [4+\textcolor{red}{3\times 5}]\\ B&=&7\times [\textcolor{red}{4+15}]\\ B&=&7\times 19\\ B&=&133 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} C&=&4,5+\dfrac{6+3}{4}-2,75\\ C&=&4,5+(\textcolor{red}{6+3})\div 4-2,75\\ C&=&4,5+\textcolor{red}{9\div 4}-2,75\\ C&=&\textcolor{red}{4,5+2,25}-2,75\\ C&=&6,75-2,75\\ C&=&4 \end{eqnarray*}

D) Résoudre un problème

Exemple : Mme Ronis veut timbrer 8 lettres à 0,50 euro chacune et 2 paquets identiques. Elle paye 14,50 euros.

Écrire une expression numérique permettant de calculer le prix d’un paquet.
En respectant les priorités opératoires, calculer cette expression.

1.\[(14,50-8\times 0,50)\div 2\]

2. \begin{eqnarray*}
(14,50-\textcolor{red}{8\times 0,50})\div 2&=&(\textcolor{red}{14,50-4})\div 2\\
&=&10,50\div 2\\
&=&5,25
\end{eqnarray*}

Un paquet coûte 5,25 euros.

Bilan :

Calculer une expression en respectant les priorités opératoires.
Calculer avec des ordres de grandeur.
Produire une expression littérale pour résoudre un problème puis la calculer.

Sources :

Utiliser les nombres pour calculer (Eduscol)

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Évaluations de 5ème

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Devoirs à la maison de 5ème

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Tests de 5ème

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