Chapitre 26 : gestion de données

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Chapitre 26

Organisation et gestion de données

Chapitre 26 : Organisation et gestion de données

A) Les tableaux

Les tableaux permettent de rassembler un grand nombre de données qu’ils présentent de façon organisée.
Un tableau à double entrée permet d’organiser des données selon deux types d’informations mis en relation.

Exemple : Le tableau à double entrée ci-dessous donne la répartition des élèves d’une classe selon deux types d’informations : leur sexe et leur âge.

D’après ce tableau, on peut dire :

Il y a 15 garçons dans la classe.
Il y a 10 filles qui ont 12 ans.
Il y a 27 élèves dans cette classe.

B) Diagrammes en barre

Un diagramme en barres permet de comparer des données.

Exemple : Le diagramme en barres ci-dessous représente le sport pratiqué en dehors de l’école par les élèves d’une
classe de 6e :

On voit rapidement que le football est le sport le plus pratiqué dans la classe.

C) Diagrammes circulaires et semi-circulaires

Les diagrammes circulaires et semi-circulaires permettent de mettre en évidence la répartition de données suivant
plusieurs catégories.

Exemple : Le diagramme circulaire et le diagramme semi-circulaire ci-dessous donnent le nombre de repas pris au
restaurant par un enfant durant les vacances.

On constate que plus de la moitié des enfants prennent 0 repas ou 1 repas au restaurant pendant les vacances.

D) Les graphiques

Un graphique permet de représenter l’évolution d’une grandeur en fonction d’une autre.

Exemple : On a relevé toutes les heures les températures à Paris le 4 janvier 2015 :

On peut constater qu’il a fait 0 degré à 2 h du matin.
On peut également décrire l’évolution de la température : elle augmente entre minuit et 1 h, diminue entre 1 h et 2 h et augmente à nouveau jusqu’à 10 du matin.

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Chapitres 25 : Quadrilatères particuliers

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Chapitre 25

Quadrilatères particuliers et axes de symétrie

Chapitre 25 : Quadrilatères particuliers et axes de symétrie

A) Losange

Définition : Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.

Propriétés :

Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.
Un losange a ses angles opposés 2 à 2 de même mesure.
Un losange a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires.

Exemple : Dans le losange $ABCD$ :

Les droites $(d_{1})$, $(d_{2})$, $(RT)$ et $(US)$ sont les axes de symétrie.
$J$ est le milieu de $[RT]$ et de $[SU]$.
$RT=SU$ et $(RT)$ est perpendiculaire à $(SU)$.

B) Rectangle

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droites.

Propriétés :

Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Un rectangle a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
Un rectangle a des côtés opposés de même longueur et parallèles.

Exemple : Dans le rectangle $EFGH$ :

Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont les axes de symétrie.
$I$ est le milieu de $[EG]$ et de $[FH]$.
$EG=HF$.
$EF=GH$ et $EH=GF$.

C) Carré

Définition : Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droites et 4 côtés de même longueur.

Remarque : Un carré est à la fois un losange (il a quatre côtés de même longueur) et un rectangle (il a quatre angles
droits).

Propriétés :

Un carré a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.
Un carré a ses côtés opposés deux à deux parallèles.
Un carré a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, qui sont perpendiculaires et qui ont la même longueur.

Exemple : Dans le carré $RSTU$ :

Les droites $(d_{1})$, $(d_{2})$, $(RT)$ et $(US)$ sont les axes de symétrie.
$J$ est le milieu de $[RT]$ et de $[SU]$.
$RT=SU$ et $(RT)$ est perpendiculaire à $(SU)$.

D) Parallélogramme

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

Exemple : Le quadrilatère $ABCD$ ci-dessous est un parallélogramme. Ses côtés opposés sont parallèles:\\
$(AB)//(DC)$ et $(AD)//(BC)$.

Remarques :

Un parallélogramme ne possède pas d’axe de symétrie.
Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.
Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.

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Chapitre 24 : Les échelles

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Chapitre 24

Les échelles

Chapitre 24 : Les échelles

Définition : L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité:
\[\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}\]

Exemple : Sur une carte à l’échelle $\dfrac{1}{1~000}$, $1~\text{cm}$ sur la carte représente $1~000~\text{cm}$ dans la réalité, c’est à dire $10~\text{m}$.

$4,2~\text{cm}$ sur la carte représentent dans la réalité $4,2\times 10 ~\text{m}=42~\text{m}$.

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Chapitre 23 : Triangles particuliers et axes de symétrie

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Chapitre 23

Les triangles

Chapitre 23 : Les triangles

A) Triangles particuliers

Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

Vocabulaire : Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.

Exemple : Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ :

Définition : Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur.

Vocabulaire : Dans un triangle isocèle :

Le sommet commun aux côtés de même longueur est appelé le sommet principal.
Le côté opposé au sommet principal est appelé la base.

Exemple : Le triangle $DEF$ est isocèle en $F$.

Remarque : Un triangle peut être à la fois isocèle et rectangle.

Exemple : Le triangle $GHI$ est rectangle isocèle en $G$ :

Propriétés :

Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.

Exemple : Dans le triangle $ABC$ isocèle en $A$ :

La droite $(AI)$ est la médiatrice de la base $[BC]$ et l’axe de symétrie du triangle $ABC$.
Les angles à la base $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ ont la même mesure : $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Propriétés réciproques (admises) :

Un triangle qui possède un axe de symétrie est isocèle.
Un triangle qui a deux angles de même mesure est isocèle.

Définition : Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur.

Exemple : Le triangle $I JK$ est équilatéral.

Propriétés :

Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.
Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure.

Exemple : Dans le triangle équilatéral $I JK$ :

Les droites $(d_{1})$, $(d_{2})$ et $(d_{3})$, médiatrices respectives des côtés $[IK]$, $[KJ]$ et $[IJ]$, sont les axes de symétries.
$\widehat{IJK}=\widehat{IKJ}=\widehat{KIJ}$.

Propriétés réciproques (admises) :

Un triangle qui possède 3 axes de symétrie est équilatéral.
Un triangle qui a ses 3 angles de même mesure est un triangle équilatéral.

B) Cercle circonscrit à un triangle

Propriété : Les médiatrices des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point. On dit qu’elles sont concourantes.

Définition : Ce point d’intersection est le centre d’un cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.

Exemple : Cercle circonscrit de centre O à un triangle ABC. (O est à l’extérieur du triangle ABC).

Exemple : Cercle circonscrit de centre O à un triangle ABC. (O est à l’intérieur du triangle ABC).

C) Somme des mesures des angles d'un triangle

Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à $180\text{°}$.

Exemple : Calculer la mesure de l’angle $\widehat{DEF}$.

Dans un triangle, la somme des mesures des angles égales $180\text{°}$. Ainsi :
$\widehat{DEF}+\widehat{DFE}+\widehat{FDE}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}+36\text{°}+20\text{°}=180\text{°}$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-(20\text{°}+36\text{°})$
$\widehat{DEF}=180\text{°}-56\text{°}$
$\widehat{DEF}=124\text{°}$

Exemple : Le triangle $IJK$ est rectangle isocèle en $I$. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{IKJ}$.

$IKJ$ est isocèle en $I$ donc ses angles à la base ont la même mesure.
Ainsi, $\widehat{IKJ}=\widehat{IJK}$.
Ainsi :
$\widehat{IKJ}=\dfrac{180\text{°}-90\text{°}}{2}=45\text{°}$

Propriété : Si un triangle est équilatéral alors chacun de ses angles mesure $60\text{°}$.

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Chapitre 22 : les probabilités

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Chapitre 22

Probabilités

Chapitre 22 : Probabilités

A) Expérience aléatoire

Définition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat (ou issue).

Définition : Un événement est constitué par certaines issues d’une expérience aléatoire.

Exemples : Dans chacune des situations ci-dessous, plusieurs issues (ou résultats) sont possibles.

Lancer une pièce équilibrée est une expérience aléatoire. Cette expérience a deux issues : pile ou face.
Tirer une boule dans une urne est une expérience aléatoire. Cette expérience a deux issues : rouge ou jaune.
Dans le troisième exemple, on peut s’intéresser à l’événement « obtenir un nombre impair ». On a $6$ chances sur $8$ d’obtenir un nombre impair.

B) Notion de probabilité

Exemples : Retour à l’exemple précédent :

Dans le premier exemple, on a $1$ chance sur $2$ de tirer « Pile ». On dira alors que la probabilité de cette issue est égale à $\dfrac{1}{2}$.
Dans le deuxième exemple, la probabilité de tirer une boule rouge est de $\dfrac{3}{5}$. Il y a $60$ % de chance d’obtenir une boule rouge.
Dans le troisième exemple, la probabilité de tomber sur une case comportant le chiffre $1$ est $\dfrac{2}{8}$

Définition : La probabilité d’une issue est égale au quotient de nombre d’issues favorables (issues dans lesquelles on obtient le résultat) par le nombre total d’issues possibles.

On peut ainsi positionner un événement sur une échelle de probabilité graduée de 0 à 1 :

Propriétés :

La probabilité d’une issue est un nombre compris entre $0$ et $1$.
La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à $1$.

Exemple : En reprenant l’exemple de la roue de loterie des exemples précédents :
$\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+1+3+1+1}{8}=\dfrac{8}{8}=1$

Remarques :

Une probabilité peut s’exprimer sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).
En classe de 6e, on étudie des expériences aléatoires où toutes les issues ont la même probabilité. On appelle ces expériences des situations d’équiprobabilité.

C) Expérimentation du hasard

Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, on observe que la proportion de réalisations d’une issue est proche de la probabilité de cette issue.

Exemple : Une expérience aléatoire consiste à lancer deux fois une pièce de monnaie équilibrée et à noter le résultat obtenu : deux fois Face, Pile puis Face, Face puis Pile, deux fois Pile.
On peut représenter la situation à l’aide d’un arbre ou d’un tableau :

On réalise 500 fois cette simulation avec le logiciel Scratch. On observe que la proportion d’apparition de deux fois Pile est 0,247, celle proportion est proche de la probabilité égale à 0,25 d’obtenir deux fois Pile lors du lancer des deux pièces.

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Chapitre 21 : Propriétés de la symétrie axiale

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Chapitre 21

Propriétés de la symétrie axiale

Chapitre 21 : Propriétés de la symétrie axiale

A) Symétrique d'une droite, d'un segment, d'un cercle

Propriété : Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite ( la symétrie axiale conserve l’alignement des points).

Exemple : Le symétrique de la droite ($\Delta$ ) par rapport à la droite $(d)$ est la droite ($\Delta$ ‘).

Propriété : Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur.

Exemple : Le symétrique du segment $[AB]$ par rapport à la droite $(d)$ est le segment $[A’B’]$ avec $AB=A’B’$.

Propriété : Le symétrique d’un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon. Leurs centres sont symétriques par rapport à cette droite.

Exemple : Le symétrique du cercle $C$ par rapport à la droite $(d)$ est le cercle $C’$ de même rayon. Les centres respectifs $O$ et $O’$ des cercles $C$ et $C’$ sont symétriques par rapport à la droite $(d)$.

Propriété : La symétrie axiale conserve également les mesures d’angles et les aires.

B) Propriétés de la médiatrice d'un segment

Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.

Exemple :

Propriété (admise) : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.

Exemple :

Exemple : Une deuxième méthode de construction de la médiatrice d’un segment au compas :

C) Une deuxième construction du symétrique d’un point

Exemple : Construction à la règle et au compas du symétrique d’un point par rapport à une droite.

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Chapitre 20 : Pourcentages

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Chapitre 20

Les pourcentages

Chapitre 20 : Les pourcentages

A ) Calculer p% d'une quantité

Définition : $p$ désigne un nombre entier.
Le pourcentage $p$ pour cent , noté $p$\% est égal à la fraction $\dfrac{p}{100}$.

Remarque : Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est ramenée à $100$.

Exemple : Dire qu’il y a $15 \%$ de sucre dans un gâteau signifie que la masse du sucre est proportionnelle à celle du gâteau et qu’il y a $15$ g de sucre dans $100$ g de gâteau.

Exemple : Sur une tablette de chocolat noir, on lit : « $72 \%$ de cacao ». Cela signifie que $100 $ g de chocolat contiennent $72 $ g de cacao. Pour connaître la quantité de cacao contenue dans une tablette de $250 $ g, il faut calculer $72 \%$ de $250$. Pour cela, on peut utiliser un tableau de proportionnalité :

Il y a donc $180 $ g de cacao dans cette tablette de chocolat.

Ainsi, pour calculer $72 \%$ de $250 $ g, on peut multiplier $250$ par $\dfrac{72}{100}$:
\[\dfrac{72}{100}\times 250=0,72\times 250=180\]

Propriété : Pour calculer $p \%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac{p}{100}$.

Cas particuliers :

Pour calculer $50 \%$ d’une quantité, on la divise par $2$.
Pour calculer $25 \%$ d’une quantité, on la divise par $4$.
Pour calculer $10 \%$ d’une quantité, on la divise par $10$.

B) Calculer un pourcentage

Exemple : Dans un collège de 400 élèves, il y a 120 demi-pensionnaires. Calculer le pourcentage d’élèves demi-pensionnaires.\\

La proportion d’élèves demi-pensionnaires est égale à :
\[\dfrac{120}{400}=\dfrac{120\div 4}{400\div 4}=\dfrac{30}{100}\]Il y a donc 30\% des élèves qui sont demi-pensionnaires dans ce collège.

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Chapitre 19 : les durées

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Chapitre 19

Les durées

Chapitre 19 : Les durées

A) Durée

Définition : La mesure du temps entre deux instants s’appelle sa durée.

Exemple : Une séance de cinéma commence à 17 h 40 et se termine à 19 h 10. Pour connaître la durée de cette séance,
on peut utiliser la ligne de temps ci-dessous.

$20~\text{min}+ 1~\text{h}~10~\text{min} = 1~\text{h}~30~\text{min}$.
Donc cette séance a duré $1~\text{h}~30~\text{min}$.

B) Unités de durée

Rappels :

- $1~\text{h}= 60~~\text{min} = 3~600~\text{s}$
- $1~\text{min} = 60~\text{s}$
- $\dfrac{1}{10}~\text{h}=6~\text{min}$
- $1~\text{an} = 365~\text{ou}~366~\text{jours}$
- $1~\text{siècle} = 100~\text{ans}$
- $1~\text{millénaire} = 1~000~\text{ans}$

Exemples :

$4~\text{h} = 240~\text{min} = 14~400~\text{s}$
$7 ~\text{jours} = 168~\text{h} = 10~080~\text{min}$
$2,8~\text{h}=2~\text{h}+\dfrac{8}{10}~\text{h}=2~\text{h}+48~\text{min}$

C) Calculs d'instants

A partir de la donnée de l’instant initial et de la durée, on peut calculer l’instant final.

Exemple : Un cours d’une durée de 1 h 30 min commence à 8 h 55. A quelle heure ce cours se termine-t-il ?

Ce cours se termine à 10 h 25.

A partir de la donnée de l’instant final et de la durée, on peut calculer l’instant initial.

Exemple : Un train est arrivé à 15 h 30. Le voyage a duré 1 h 50 min. A quelle heure le train est-il parti ?

Ce train est parti à 13 h 40.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Effectuer des conversions avec les unités de durée.
Calculer la durée entre l’instant initial et l’instant final.
Calculer l’instant final connaissant l’instant initial et la durée.
Calculer l’instant initial connaissant l’instant final et la durée.

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Chapitre 18 : Aires de polygones particuliers

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Chapitre 18

Aires d'un carré, d'un rectangle

Chapitre 18 : Aires d'un carré, d'un rectangle

A) Mesurer des aires

L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure. Donner une unité d’aire permet de mesurer l’aire d’une figure dans cette unité. Quand on change d’unité, la mesure de l’aire change.

Exemple : En prenant un carreau comme unité d’aire, on peut dire que l’aire du polygone ci-dessous est égale à 6 unités d’aire.

Remarque : Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes :

Vocabulaire : Pour les terrains ou les pays on utilise parfois le mot superficie à la place du mot aire.

B) Unités d'aires

A chaque unité de longueur (mm, cm, m, dam..) est associée une unité d’aire : $1$ cm$^{2}$ est l’aire d’un carré de côté $1$ cm, $1$ m$^{2}$ est l’aire d’un carré de côté $1$ m…
On remarque que l’on peut placer $100$ carrés de côté $1$ cm dans un carré de côté $1$ dm.

Tableau des unités de surface :

Exemples :

$1~\text{m}^{2}=100~\text{dm}^{2}$
$7,63~\text{cm}^{2}=7,63\times 1~\text{cm}^{2}=7,63\times 0,01~\text{dm}^{2}=7,63\div 100~\text{dm}^{2}=0,0763~\text{dm}^{2}$
$8,3~\text{dam}^{2}=8,3\times 1~\text{dam}^{2}=8,3\times 10~000~\text{dm}^{2}=83~000~\text{dm}^{2}$

C) Aires de polygones particuliers

Propriétés :

L’aire d’un carré est égal au produit de son côté par son côté $c$ : \[A_{\text{carré}}=c\times c\]
L’aire d’une rectangle est égal au produit de sa longueur $L$ par sa largeur $l$ : \[A_{\text{rectangle}}=l\times L\]

Exemples :

Aire d’un carré de côté 5 dm :
\[A_{\text{carré}}=5~\text{dm}\times 5~\text{dm}=25~\text{dm}^{2}\]
Aire d’un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 0,4 dm :
\[0,4~\text{dm}=4~\text{cm}\]\[A_{\text{rectangle}}=6~\text{cm}\times 4~\text{cm}=24~\text{cm}^{2}\]

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Chapitre 17 : Écritures fractionnaires d’un quotient

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Chapitre 17

Ecritures fractionnaires d'un quotient

Chapitre 17 : Ecriture fractionnaire d'un quotient

A) Fraction-quotient

Définition : Le quotient de deux nombres $a$ et $b$ (avec $b$ non nul) est le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$. Sous forme fractionnaire, le quotient de $a$ par $b$ s’écrit $\dfrac{\text{a}}{\text{b}}$ (avec $\text{b}\neq 0$).

Exemple : Par quel nombre faut-il multiplier $3$ pour trouver $4$ ?
Le nombre cherché est le quotient de $4$ par $3$, c’est à dire le nombre qui, multiplié par $3$, donne $4$ :

\[3\times \text{?}=4\]\[3\times \dfrac{4}{3}=4\]Ainsi, $\dfrac{4}{3}=4\div 3$. Représentation sur une demi-droite graduée:

Encadrement par deux entiers consécutifs :
\[1<\dfrac{4}{3}<2\]Somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$ :
\[\dfrac{4}{3}=1+\dfrac{1}{3}\]

B) Ecriture fractionnaire et écriture décimale

Certains quotients possèdent une écriture décimale, pour l’obtenir il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Exemple : $\dfrac{3}{4}=3\div 4=0,75$

En revanche, certains quotients ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’un nombre décimal. Il est alors possible de
donner une valeur approchée du quotient.

Exemple : $\dfrac{11}{6}\approx 1,833$ (valeur approchée de ce quotient au millième près.)

C) Prendre une fraction d'un nombre

Propriété : Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre.

Exemple : Pour calculer $\dfrac{2}{5}$ de 15, on peut procéder de différentes façons :

$\dfrac{2}{5}\times 15=2\times \dfrac{15}{5}=2\times 3=6$
$\dfrac{2}{5}\times 15=\dfrac{2\times 15}{5}=\dfrac{30}{5}=6$
$\dfrac{2}{5}\times 15=0,4\times 15=6$

Remarque : Dans l’exemple ci-dessus, les deux première façons sont à privilégier car les calculs sont plus simples à effectuer.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Donner différentes écritures d’un quotient de deux nombres.
Comparer des fractions au nombre 1.
Prendre une fraction d’un nombre.

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Chapitre 16 : Premiers solides de l’espace

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Chapitre 16

Vision dans l'espace et volume

Chapitre 16 : Vision dans l'espace et volume

A) Solides usuels de l'espace

Exemple : Les solides usuels de l’espace sont représentés ci-dessous :

B) Voir dans l'espace un assemblage de cubes

La vue dans l’espace d’un assemblage de cubes dépend de la position de l’observateur.

Exemple : Un assemblage de cubes :

Voici quatre vues différentes de cet assemblage de cubes :

C) Volume

Définition : Le volume d’un solide est l’espace occupé par ce solide dans une unité de volume donnée.

Définition : Une unité de volume souvent utilisée est le $\text{cm}^{3}$. Un centimètre cube est le volume occupé par un cube d’arête 1 centimètre.

Exemple : On veut déterminer le volume de l’assemblage ci-dessous sachant que chaque cube a un volume de $\text{cm}^{3}$.

Cet assemblage est composé de douze cubes, donc son volume est :
\[12\times 1~\text{cm}^{3}=12~\text{cm}^{3}\]

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Reconnaître les solides usuels de l’espace.
Voir dans l’espace des assemblages de cubes.

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Chapitre 15 : Division décimale

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Chapitre 15

La division décimale

Chapitre 15 : La division décimale

A) Définition

Définition : Soit $a$ un nombre décimal et $b$ un nombre entier non nul. On appelle quotient de $a$ par $b$ le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
$a\div b=\blacksquare$ signifie que $b\times \blacksquare=a$.
Le nombre $\blacksquare$ est le quotient de $a$ par $b$.

B) Effectuer une division décimale sans poser l’opération

Exemple : Le quotient peut être un nombre entier:
\[18\div 6=3~~\text{car}~~6\times 3=18\]

Propriété : Diviser un nombre décimal par $10$ ou par $100$ ou par $1 000$ revient à donner à chacun de ses chiffres une valeur $10$ fois, $100$ fois ou $1 000$ fois plus petite.

Exemples :

$5,7\div 10=0,57$
$125\div 100=1,25$
$7\div 1 000=0,007$

Remarque : Diviser un nombre par $10$; $100$ ou $1 000$ revient donc à multiplier ce nombre
par $0,1$; $0,01$ ou $0,001$.

C) Effectuer une division décimale en posant l’opération

Exemple : Le quotient peut être un nombre décimal :

Exemple : Le quotient peut ne pas être un nombre décimal :

Dans ce cas, on donne une valeur approchée décimale du quotient :

$100\div 3\approx 33$ (Valeur approchée à l’unité près).
$100\div 3\approx 33,3$ (Valeur approchée au dixième près).

D) Résoudre un problème

Exemple : Inaya souhaite fabriquer cinq invitations pour son anniversaire en découpant une bande de papier cartonné d’une longueur de $32$ cm.
Quelle est la plus grande longueur qu’elle peut choisir pour que toutes les invitations
aient la même longueur ?

$$32~\text{cm}\div 5 = 6,4~\text{cm}$$
Inaya peut découper des cartons de $6,4$ cm de longueur.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Diviser un nombre par $10$, $100$, $1 000$.
Poser une division décimale.
Donner une valeur approchée du quotient.
Résoudre des problèmes.

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Chapitre 14 : La proportionnalité

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Chapitre 14

La proportionnalité

Chapitre 14 : La proportionnalité

A) Grandeurs proportionnelles

Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l’une à l’autre par une multiplication par un
nombre non nul.

Exemple : Pour un carré: périmètre = côté $\times$ 4.
On peut représenter une situation de proportionnalité par un tableau à deux lignes.

Remarque : Toutes les situations ne sont pas des situations de proportionnalité. Par exemple, la taille n’est pas proportionnelle
à l’âge. A 20 ans, on ne mesure pas $2$ fois plus qu’à 10 ans.

B) Passage par l'unité

Exemple : On dispose d’un lot de billes toutes identiques. L’enseignant pèse un paquet de $12$ billes. Il trouve $60$ g. Quelle est la masse d’un lot de $51$ billes ?

Si $12$ billes pèsent $60$ g alors une bille pèse $60~\text{g}\div 12=5~\text{g}$.
Donc 51 billes pèsent $51\times 5~\text{g}=255~\text{g}$.

C) Propriétés additives et multiplicatives

Exemple : Un marcheur se déplace à une allure régulière. Il parcourt $400$ m en $5$ min. Son allure étant régulière, il y a
proportionnalité entre la durée du parcours et la distance parcourue. Comment calculer la distance parcourue par ce
marcheur en $10$ min, $15$ min ?

On peut également chercher la distance parcourue en $1$ min: $400\div 5=80$ m.
En $10$ min, on parcourt $10$ fois plus de mètres qu’en $1$ min, c’est à dire $10\times 80~\text{m}=800~\text{m}$.
En $15$ min, on parcourt $15$ fois plus de mètres qu’en $1$ min, c’est à dire $15\times 80~\text{m}=1 200~\text{m}$.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Reconnaître une situation de proportionnalité.
Utiliser la méthode la plus adaptée pour résoudre un problème de proportionnalité.

Chapitre 14 : La proportionnalité Lire la suite »

Chapitre 13 : La symétrie axiale

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Chapitre 13

La symétrie axiale

Chapitre 13 : La symétrie axiale

A) Figures symétriques

Définition : Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu’elles se superposent par pliage suivant
cette droite.

Exemple : La figure 1 est le symétrique de la figure 2 par rapport à la droite $(d)$.

B) Médiatrice d'un segment

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui coupe ce segment en son
milieu.

Exemple : $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ : $(d)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(d)$ coupe $[AB]$ en son milieu.

C) Symétrique d'un point

Définition :

Si $A$ n’appartient pas à la droite $(d)$, le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$ est le point $A’$ tel que $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA’]$.
Si $A$ appartient à la droite $(d)$, le symétrique $A’$ du point A par rapport à la droite $(d)$ est le point $A$ lui-même.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, le point $A’$ est le symétrique du point $A$ par rapport à la droite $(d)$.

D) Axe de symétrie d'une figure

Définition : Lorsque le symétrique d’une figure par rapport à une droite est la figure elle-même, on dit que cette droite est un axe de symétrie de la figure.

Exemple : La figure de gauche admet 2 axes de symétrie alors que la figure de droite n’en admet qu’un :

Exemples :

Un segment possède deux axes de symétrie : sa médiatrice et la droite portée par ce segment.

Un angle possède un axe de symétrie : la droite portée par sa bissectrice.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Reconnaître si deux figures sont symétriques par rapport à un axe de symétrie.
Tracer le symétrique d’un point et d’une figure en utilisant un quadrillage.
Tracer le symétrique d’un point et d’une figure en utilisant mon équerre et mon compas.
Reconnaître si une figure possède ou non des axes de symétrie.

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Chapitre 12 : Division euclidienne

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Chapitre 12

La division euclidienne

Chapitre 12 : La division euclidienne

A) Définition

Définition : Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier, appelé le dividende, par un nombre entier différent de $0$, appelé le diviseur, revient à trouver deux nombres entiers, appelés le quotient et le reste, vérifiant :
\[\text{Dividende}=\text{Diviseur}\times \text{Quotient}+\text{Reste}~~~~~~\text{avec Reste < Diviseur}\]

Exemple :

\[213=8\times 26+5\]

$213$ est le dividende.
$8$ est le diviseur.
$26$ est le quotient.
$5$ est le reste.

B) Critères de divisibilité

Définition : Le nombre a est divisible par le nombre $b$ ($b\neq 0$) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. On a donc $a = b\times q$.
• $b$ et $q$ sont des diviseurs de $a$.
• $a$ est un multiple de $b$.

Exemple : $65=13\times 5$. On peut alors dire:

$65$ est un multiple de $13$.
$65$ est divisible par $13$.
$13$ est un diviseur de $65$.

Propriétés :

Un nombre entier est divisible par $2$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$.
Un nombre entier est divisible par $5$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Un nombre entier est divisible par $10$ lorsque son chiffre des unités est $0$.

Exemples :

$532$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $2$.
$5~430$ est divisible par $2$, par $5$ et par $10$ car son chiffre des unités est $0$.

Vocabulaire :

Les nombres entiers divisibles par $2$ sont appelés les nombres pairs.
Les nombres entiers non divisibles par $2$ sont appelés les nombres impairs.

C) Résoudre des problèmes

Exemple : Pour une course d’orientation, les $245$ élèves de l’école et leurs $38$ accompagnateurs doivent être transportés par car. Un car peut transporter $46$ passagers.
Combien de cars la directrice doit-elle réserver pour pouvoir transporter tous les élèves et tous les accompagnateurs ?

Je calcule le nombre total de passagers à transporter :
\[245+38=283\]

Il y a donc $283$ passagers à transporter.

Je calcule ensuite le nombre de cars à prévoir.

$6$ cars ne suffiront pas car il restera encore $7$ passagers à transporter. La directrice doit donc réserver $6+1=7$ cars.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Savoir poser et effectuer une division euclidienne.
Comprendre la relation entre dividende, diviseur, quotient et reste.
Connaître les critères de divisibilité par $2$, par $5$ et par $10$.
Résoudre des problèmes mobilisant la division euclidienne.

Chapitre 12 : Division euclidienne Lire la suite »

Chapitre 11 : Ranger encadrer et intercaler des nombres

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Chapitre 11

Repérage et comparaison de nombres décimaux

Chapitre 11 : Repérage et comparaison de nombres décimaux

A) Repérage sur une demi-droite graduée

Exemple : Sur la demi-droite graduée ci-dessous on a placé les points $A$ et $B$ d’abscisses respectives $8,2$ et $8,42$.

B) Comparaison de deux nombres décimaux

Définition : Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux ou non. Dans le cas où ils ne le sont pas, c’est préciser
lequel est le plus petit (ou le plus grand).

Exemple :

Méthode :

Quand deux nombres ont des parties entières différentes, le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière.
Si les deux nombres ont leurs parties entières égales, on compare :
— Leurs chiffres des dixièmes.
— S’ils sont les mêmes, leurs chiffres des centièmes, et ainsi de suite.

Exemples :

$\textcolor{red}{7},85<\textcolor{red}{11},2$ car $7<11$
$14,\textcolor{red}{2}59<14,\textcolor{red}{3}6$ car $2<3$
$0,4\textcolor{red}{5}7<0,4\textcolor{red}{8}$ car $5<8$

Remarque : $8,32 > 8,4$ est FAUX! ! !

C) Rangement d'une liste de nombres décimaux

Définitions :

Ranger des nombres dans l’ordre croissant consiste à les ranger du plus petit au plus grand.
Ranger des nombres dans l’ordre décroissant consiste à les ranger du plus grand au plus petit.

Exemple : Rangement dans l’ordre croissant de la liste de nombres suivante : $6,0512$ ; $5,2$ ; $7,3$ ; $5,1345$ ; $6,71$ ; $6,5$.
\[5,1345 < 5,2 < 6,0512 < 6,5 < 6,71 < 7,3 \]

Exemple : Rangement dans l’ordre décroissant de la liste de nombres suivante: $5$ ; $4,756$ ; $5,4$ ; $5,3559$ ; $4,3$.
\[5,4 > 5,3559 > 5 > 4,756 > 4,3\]

D) Encadrement d'un nombre décimal

Définition : Encadrer un nombre, c’est écrire qu’il est compris entre deux nombres, l’un plus petit et l’autre plus grand.

Exemple :

Un encadrement de $12,3916$ à l’unité près est :

\[12<12,3916<13\]

Un encadrement de $12,3916$ au dixième près est :

\[12,3<12,3916<12,4\]

Un encadrement de $12,3916$ au centième près est :

\[12,39<12,3916<12,40\]

Un encadrement de $12,3916$ au millième près est :

\[12,391<12,3916<12,392\]

E) Intercaler un nombre décimal entre deux autres

Définition : Intercaler un nombre entre deux nombres donnés, c’est trouver un nombre compris entre les deux.

Exemple : On veut donner un nombre que l’on peut intercaler entre $5,634$ et $5,635$. Par exemple, on peut écrire :
\[5,634 < 5,6347 < 5,635\]

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Lire l’abscisse d’un point sur une demi-droite graduée.
Placer un point d’abscisse donnée sur une demi-droite graduée.
Comparer deux nombres décimaux.
Ranger une liste de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.
Donner un encadrement d’un nombre à l’unité près, au dixième près, au centième près…
Intercaler un nombre entre deux nombres donnés.

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Chapitre 10 : Les angles

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Chapitre 10

Les angles

Chapitre 10 : Les angles

A) Définitions et notations

Définition : Un angle est l’ouverture formée par deux demi-droites de même origine.

Notation : La demi-droite d’origine $A$ passant par $E$ est notée$ [AE)$.

Vocabulaire : Les demi-droites sont les côtés de l’angle. Leur origine est le sommet de l’angle.

Exemples : Sur la figure ci-dessous on a tracé l’angle $\widehat{BAC}$ (ou $\widehat{CAB}$) et l’angle $\widehat{xOy}$ (ou $\widehat{yOx}$).

Exemple : Pour le triangle $ABC$ ci-dessous, l’angle $\widehat{BAC}$ est droit. On a codé ci-dessous les deux autres angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ de ce triangle.

Propriété : D’après la définition, on peut affirmer que deux angles sont égaux s’ils ont la même ouverture : donc on
peut les superposer.

Remarque : Pour comparer deux angles, on peut utiliser du papier calque.

B) Mesure d'un angle

Définition : Comme pour les longueurs, pour pouvoir comparer les angles à l’aide de nombres, il faut choisir un angle pour unité. Depuis plus de 4000 ans l’unité usuelle d’angle est le degré (noté °) : c’est l’angle correspondant à la trois cent soixantième partie du cercle.

Vocabulaire : On classe les angles par catégories selon leur mesure :

Exemple : Sur la figure ci-dessous, l’angle $\widehat{BAC}=42$°.

C) Bissectrice d'un angle

Définition : Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté en commun et sont situés de part et d’autre de ce côté.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{yOz}$ sont adjacents.

Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure.

Exemple : L’angle $\widehat{AOB}$ mesure 56°. Sa bissectrice, la demi-droite [OC), le partage en deux angles de 28°.

D) Angles supplémentaires et opposés par le sommet

Définition : Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{BAD}$ sont supplémentaire. En effet :
\[\widehat{CAB}+\widehat{BAD}=57°+123°=180°\]

On en déduit que les points $C$, $A$ et $D$ sont alignés car l’angle $\widehat{CAD}$ est plat.

Définition : Deux angles opposés par le sommet ont le même sommet et des côtés dans le prolongement l’un de l’autre.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les angles $\widehat{xOy}$ et $\widehat{zOt}$ sont opposés par le sommet. Ils ont donc la même mesure.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

- Identifier des angles dans une figure géométrique.
- Connaître le vocabulaire associé aux angles.
- Reconnaître qu’un angle est droit, aigu, obtus.
- Déterminer la mesure d’un angle en degré en utilisant le rapporteur.
- Construire un angle de mesure donnée en utilisant le rapporteur.
- Connaître la définition de la bissectrice d’un angle, de deux angles supplémentaires, de deux angles opposés par le sommet.
- Tracer la bissectrice d’un angle avec le rapporteur.
- Prouver que des points sont alignés

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Chapitre 9 : La multiplication de deux nombres décimaux

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Chapitre 9

La multiplication

Chapitre 9 : La multiplication

A) Vocabulaire

Définitions :

La multiplication est l’opération qui permet de calculer le produit de deux nombres.
Chaque nombre que l’on multiplie est appelé facteur du produit.

Exemple : Ci-dessous, $20,8$ est le produit de $5,2$ par $4$.
\[5,2\times 4=20,8\]

B) Effectuer une multiplication sans poser l’opération

Propriété : On ne modifie pas un produit de plusieurs nombres en changeant l’ordre des facteurs et en les regroupant comme on veut.

Exemple :
\begin{eqnarray*}
4\times 8\times 25\times 2\times 125\times 5&=&(4\times 25)\times(8\times 125)\times(2\times 5)\\
&=&100\times 1~000\times 10\\
&=&1~000~000\\
\end{eqnarray*}

Propriété : La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Exemples :

$13\times 101=13\times (100+1)=13\times 100+13\times 1=1~300+13=1~313$
$14\times 19=14\times (20-1)=14\times 20-14\times 1=280-14=266$

Remarque : La multiplication n’agrandit pas forcément le nombre de départ.

Exemples :

$1,4\times 0,5=1,4\times 5$ dixièmes $=7$ dixièmes $=0,7$ (Multiplier un nombre par $0,5$ revient à trouver sa moitié).
$0,3\times 0,2=0,3\times 2$ dixièmes $=0,6$ dixième $=0,06$

Propriétés : Quand on multiplie un nombre :

Par $10$, le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines.
Par $100$, le chiffre des unités devient le chiffre des centaines.
Par $1~000$, le chiffre des unités devient le chiffre des milliers.

Exemples :

$12,5\times 100=1~250$
$0,13\times 1~000=130$
$17\times 10= 170$

Propriétés : Quand on multiplie un nombre :

Par $0,1$, le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes.
Par $0,01$, le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes.
Par $0,001$, le chiffre des unités devient le chiffre des millièmes.

Exemples :

$10 \times 0,1 = 100 \times 0,01 = 1 000 \times 0,001 = 1$
$10 \times 0,01 = 0,01 \times 10 = 100 \times 0,001 = 0,1$
$0,001 \times 10 = 10 \times 0,001 = 0,01$
$0,1 \times 0,1 = 0,01$
$0,1 \times 0,01 = 0,001$
$ 0,01 \times 0,1 = 0,001$

Exemples :

$17,5\times 0,1=1,75$
$256\times 0,01=2,56$
$39,24\times 0,001=0,03924$

C) Effectuer une multiplication en posant l’opération

Pour effectuer une multiplication posée de deux nombres décimaux :

on l’effectue d’abord sans tenir compte des virgules ;
on place la virgule au résultat de manière à ce qu’il y ait le même nombre de chiffres après la virgule que le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.

Exemple : Calcul du produit $2,74\times 5,8$ :

Lorsqu’on multiplie des centièmes par des dixièmes on obtient des millièmes. Ainsi, le nombre de chiffres après la
virgule du produit est obtenu en additionnant les nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs.

D) Résoudre un problème

Exemple : Un fromage est vendu au prix de 30 euros par kilogramme.
Quel est le prix d’un morceau de ce fromage de 600 g ?

Méthode 1 :
$600~\text{g}=0,6~\text{kg}=\dfrac{6}{10}~\text{kg}$

Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 euros.

Méthode 2 :

Le prix du morceau de 600 g de ce fromage est 18 euros.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul mental ou en ligne.
Multiplier deux nombres décimaux en posant le calcul.
Estimer un ordre de grandeur.
Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1 000.
Multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01, 0,001.
Résoudre des problèmes mobilisant l’addition, la soustraction, la multiplication.

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Chapitre 8 : Périmètre d’un polygone et longueur d’un cercle

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Chapitre 8

Périmètre d'un polygone et périmètre d'un cercle

Chapitre 8 : périmètre d'un polygone et périmètre d'un cercle.

A) Périmètre d'un polygone

Définition : Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

Propriété : Le périmètre d’un polygone se calcule en additionnant les longueurs de ses côtés exprimées dans la même unité.

Exemple : Calculer le périmètre du rectangle ci-dessous :

\begin{eqnarray*}
P&=&(2\times 3,2~\text{cm})+(2\times 0,2~\text{dm})\\
P&=&(2\times 3,2~\text{cm})+(2\times 2~\text{cm})\\
P&=&6,4~\text{cm}+4~\text{cm}\\
P&=&10,4~\text{cm}
\end{eqnarray*}

Formules :

Périmètre d’un rectangle de dimensions $L$ et $l$ :

\[\textcolor{red}{P=2\times L+2\times l}~~\text{ou}~~\textcolor{red}{P=2\times (L+l)}\]

Périmètre d’un carré de côté $c$ :

\[\textcolor{red}{P=4\times c}\]

B) Périmètre d'un cercle

Propriété : Le périmètre d’un cercle est égale au produit du nombre pi ( noté $\pi$ ) par le diamètre de ce cercle. En notant $P$ le périmètre du cercle, $R$ son rayon et $D$ son diamètre, on a :
\[\textcolor{red}{P=D \times \pi ~~\text{ou}~~P= 2\times R\times \pi~~\text{avec}~~\pi\approx 3,14}\]

Exemple : Calculer une valeur approchée en cm et au centième près du périmètre du cercle de centre $O$ et de rayon $6~\text{cm}$ :

\begin{eqnarray*}
P&=& 2\times R\times \pi \\
P&\approx &2 \times 6~~\text{cm}\times 3,14\\
P&\approx &18,84~~\text{cm}\\
\end{eqnarray*}

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Effectuer des additions et des soustractions en ligne ou posé.
Effectuer une multiplication d’un entier par un nombre décimal en ligne ou posé.
Calculer le périmètre d’un polygone et organiser mes calculs en ligne.
Calculer le périmètre d’un cercle, d’un demi-cercle, d’un quart de cercle.

Sources :

Chapitre 8 : Périmètre d’un polygone et longueur d’un cercle Lire la suite »

Chapitre 7 : Addition et soustraction

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Chapitre 7

Addition et soustraction

Chapitre 7 : Addition et soustraction

A) Addition

Définitions :

L’addition est l’opération qui permet de calculer la somme de deux nombres.
Chaque nombre que l’on additionne est appelé terme de la somme.

Exemple : Ci-dessous, $8,7$ est la somme de $3,6$ et de $5,1$.
\[3,6+5,1=8,7\]

Propriété : Pour calculer une somme, on peut :

modifier l’ordre des termes ;
regrouper différemment les termes.

Exemple :
\begin{eqnarray*}
A&=&6,4+9,8+3,6+1,2\\
A&=&(6,4+3,6)+(9,8+1,2)\\
A&=&10+11\\
A&=&21\\
\end{eqnarray*}

Remarque : Les calculs entre parenthèses sont ceux à effectuer en premier.

B) Soustraction

Définitions : $a$ et $b$ désignent deux nombres décimaux avec $b>a$.

La différence $b-a$ est le nombre manquant dans l’égalité $a+…=b$.
La soustraction est l’opération qui permet de calculer la différence entre deux nombres.
Chaque nombre que l’on soustrait est appelé terme de la différence.

Exemple : Ci-dessous, $2,6$ est la différence entre $6,8$ et $4,2$.
\[6,8-4,2=2,6\]

C) Résoudre un problème

Exemple :
Pour la fête d’un village, on organise une course cycliste. Une prime totale de 310 euros sera répartie entre les trois premiers coureurs. Le premier touchera la prime d’or, le deuxième la prime d’argent et le troisième la prime de bronze. La prime d’or s’élève à 90 euros de plus que la prime d’argent et la prime de bronze à 80 euros de moins que la prime d’argent.

Quelle est la prime de chacun des trois premiers coureurs ?

On peut chercher le montant de la prime d’argent que l’on appelle $?$.

Prime d’or : $90+?$
Prime de bronze : $?-80$

Ainsi : $90+?+?+?-80=310$
Donc : $10+3\times ?=310$
Nécessairement :

$? = 100$, car $10+3\times 100=10+300=310$

Prime d’or : $90+100=190~\text{euros}$
Prime d’argent : $100~\text{euros}$
Prime de bronze : $100-80=20~\text{euros}$

Chapitre 7 : Addition et soustraction Lire la suite »

Chapitre 6 : comparer, additionner et soustraire des fractions

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Chapitre 6

Comparer et effectuer des opérations avec des fractions

Chapitre 6 : Comparer et effectuer des opérations avec des fractions

A) Comparer des fractions à 1 ou à 1/2

Propriétés :

Si le numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à 1.
Si le numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à 1.
Si le numérateur est égal au dénominateur alors la fraction est égale à 1.

Propriétés :

Si le double du numérateur est inférieur au dénominateur alors la fraction est inférieure à $\dfrac{1}{2}$.
Si le double du numérateur est supérieur au dénominateur alors la fraction est supérieure à $\dfrac{1}{2}$.

Exemples :

$\dfrac{11}{15}<1$ car $11<15$.
$\dfrac{15}{15}=1$ car le numérateur est égal au dénominateur.
$\dfrac{15}{29}>\dfrac{1}{2}$ car $15\times 2=30>29$.
$\dfrac{16}{29}<\dfrac{1}{2}$ car $16\times 2=32<29$.

Remarques : Ces deux propriétés permettent dans certains cas de comparer des fractions entre elles.

Exemples :

$\dfrac{17}{15}>1$ et $\dfrac{14}{15}<1$ donc $\dfrac{17}{15}>\dfrac{14}{15}$.
$\dfrac{6}{15}<\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{11}{13}>\dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{6}{15}<\dfrac{11}{13}$.

B) Comparer des fractions de même dénominateur ou de même numérateur

Propriété : Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple : Trois parts d’un gâteau coupé en 4, c’est davantage qu’une part de ce même gâteau.

$\dfrac{1}{4}<\dfrac{3}{4}$

Propriété : Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple : On a une plus grande part de gâteau quand il est coupé en 4 que quand il est coupé en 8.

$\dfrac{3}{4}>\dfrac{3}{8}$

Exemple : Comparer $\dfrac{13}{6}$ et $\dfrac{43}{12}$.

$\dfrac{13}{6}=\dfrac{13\times \textcolor{red}{2}}{6\times \textcolor{red}{2}}=\dfrac{26}{12}$
Or $26<43$, donc : $\dfrac{26}{12}<\dfrac{43}{12}$
Ainsi : $\dfrac{13}{6}<\dfrac{43}{12}$

C) Additionner et soustraire des fractions

Règle : Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait)
les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

Exemples :

$\dfrac{13}{\textcolor{red}{4}}+\dfrac{6}{\textcolor{red}{4}}=\dfrac{13+6}{\textcolor{red}{4}}=\dfrac{19}{\textcolor{red}{4}}$

$\dfrac{18}{\textcolor{red}{12}}-\dfrac{11}{\textcolor{red}{12}}=\dfrac{18-11}{\textcolor{red}{12}}=\dfrac{7}{\textcolor{red}{12}}$

Règle : Pour additionner (ou pour soustraire) deux fractions de dénominateurs différents, on les écrit avec le même
dénominateur.

Exemples :

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\textcolor{red}{\times 2}}{2\textcolor{red}{\times 2}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{7}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7\textcolor{red}{\times 3}}{5\textcolor{red}{\times 3}}-\dfrac{1\textcolor{red}{\times 5}}{3\textcolor{red}{\times 5}}=\dfrac{21}{15}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{16}{15}$

$3+\dfrac{5}{4}=\dfrac{12}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{17}{4}$

D) Prendre une fraction d'un nombre

Propriété : Pour calculer une fraction d’un nombre entier, on multiplie la fraction par le nombre.

Exemple : Pour calculer $\dfrac{5}{3}$ de $6$, on calcule $\dfrac{5}{3}\times 6$.

1ère Méthode : on calcule 5 fois le tiers de 6 :

\[\dfrac{5}{3}\times 6=5\times (6\div 3)=5\times 2=10\]

2ème Méthode : on voit $\dfrac{5}{3}\times 6$ comme $\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}$ :

\[\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{5+5+5+5+5+5}{3}=\dfrac{5\times 6}{3}=\dfrac{30}{3}=10\]

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Chapitre 5 : Longueur, cercle et triangle

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Chapitre 5

Longueur, cercle et triangle

Chapitre 5 : Longueur, cercle et triangle

A) Unités de longueur

Exemples :

$1~~\text{m}=100~~\text{cm}$ et $1~~\text{dm}=10~~\text{cm}$. Donc :

\[4,5~~\text{m}=4~~\text{m}+5~~\text{dm}=400~~\text{cm}+50~~\text{cm}=450~~\text{cm}\]

$1~~\text{hm}=100~~\text{m}$. Donc :

\[0,7~~\text{km}=0~~\text{km}+7~~\text{hm}=700~~\text{m}\]

$1~~\text{mm}=0,01~~\text{dm}$. Donc :

\[4~~\text{mm}=0,04~~\text{dm}\]

B) Longueur et milieu d’un segment

Définition : La longueur d’un segment $[AB]$ est la distance du point $A$ au point $B$. Elle est notée $AB$.

Exemple : Le segment $[AB]$ ci-dessous mesure $4,3~\text{cm}$. On note $AB = 4,3~\text{cm}$.

Remarque : Sur une figure géométrique, on indique les segments de même longueur avec un codage.

Exemple : Sur la figure ci-dessous on a $AB = BC$ et $CD =DE$.

Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment qui est situé à égale distance de ses extrémités.

Exemple : Dire que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ signifie :
\[I\in [AB]~~~~\text{et}~~~~IA=IB\]

C) Le cercle

Définitions : Un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un point appelé centre du cercle.
Cette distance est appelée le rayon du cercle.
Le diamètre d’un cercle est le double de son rayon.

Exemple : Le cercle ci-dessous à pour centre $M$. Le rayon de ce cercle est $3,2~\text{cm}$ et son diamètre est donc de $6,4~\text{cm}$ (le
double du rayon).

$[MP]$ est un rayon de ce cercle.
$[WR]$ est un diamètre de ce cercle.
$[WE]$ est une corde de ce cercle.

Propriétés :

Tous les points d’un cercle de centre $O$ sont situés à la même distance du point $O$.
Deux points situés à la même distance d’un point $O$ appartiennent à un même cercle de centre $O$.

Définition : Un disque de centre $O$ et de rayon $R$ est l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale au rayon $R$.

D) Construction de triangles

Vocabulaire : Un triangle $TRS$ a :

Trois sommets : les points $T$ , $R$ et $S$.
Trois côtés : les segments $[TR]$, $[TS]$ et $[RS]$.

Exemple : Le triangle $TRS$ ci-dessous est un triangle quelconque :

Propriété :
$A$ et $ B$ désignent deux points distincts.
Pour tout point $C$, on a $AC+CB\geq AB$.

Propriétés :

Si un point $B$ appartient à un segment $[AC]$ alors $AB + BC = AC$.
Si $A$, $B$, $C$ sont trois points tels que $AB + BC = AC$ alors le point $B$ appartient au segment $[AC]$.

Exemples :

Peut-on construire un triangle $ABC$ tel que $AB = 8$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 2$ cm ?

$AC+BC=4~\text{cm}+2~\text{cm}=6$ cm et $AB=8$ cm.
Donc $AC+BC<AB$ et on ne peut donc pas construire le triangle ABC.

Peut-on construction le triangle $KLM$ tel que $KL = 6$ cm; $LM = 5$ cm et $KM = 4,5$ cm ?

$LM+KM=5~\text{cm}+4,5~\text{cm}=9,5$ cm et $KL=6$ cm.\Donc $LM+KM>KL$ et on peut construire le triangle KLM.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Comprendre les relations entre les unités de longueur en faisant le lien avec les unités de numération.
Savoir construire un segment de longueur donné et placer son milieu.
Savoir coder une figure.
Connaître le vocabulaire du cercle et savoir tracer des cercles en utilisant mon compas.
Connaître le vocabulaire du triangle et savoir tracer des triangles dont on connaît les longueurs des 3 côtés.
Réaliser et rédiger un programme de construction.

Chapitre 5 : Longueur, cercle et triangle Lire la suite »

Chapitre 4 : Fractions décimales et nombres décimaux

2 commentaires / eric_moisan@orange.fr

Chapitre 4

Fractions décimales et nombres décimaux

Chapitre 4 : Fractions décimales et nombres décimaux

A) Fractions décimales

Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10, 100, 1 000, 10 000… Quand on additionne un nombre entier et des fractions décimales, on obtient un nombre décimal.

Exemple : $5$ unités + $4$ dixièmes + $7$ centièmes + $8$ dix-millièmes ou $5+\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}$ est un nombre décimal.

Définitions : Sa partie entière est $5$. Sa partie décimale est $\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}$ ou $\dfrac{4~708}{10~000}$.

Remarque : Un nombre entier est aussi un nombre décimal :
\[5=5+\dfrac{0}{10}+\dfrac{0}{100}+\dfrac{0}{1~000}\]

B) De l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale

Un symbole permet de simplifier l’écriture d’un nombre décimal : la virgule.

Exemple : $5+\dfrac{4}{10}+\dfrac{7}{100}+\dfrac{8}{10~000}=5,4708$

Remarque : Un nombre décimal a un nombre fini de chiffres après la virgule.

C) Diverses écritures d’un nombre décimal

Exemple : Voici différentes écritures de $1~837,253$ :

Somme d’un entier et de plusieurs fractions décimales :
\[1~837,253=1~837+\dfrac{2}{10}+\dfrac{5}{100}+\dfrac{3}{1~000}\]
Somme d’un entier et d’une fraction décimale :
\[1~837,253=1~837+\dfrac{253}{1~000}\]
Une seule fraction décimale :
\begin{eqnarray}
1~837,253&=&1~837+\dfrac{253}{1~000}\\
&=&\dfrac{1~837~000}{1~000}+\dfrac{253}{1~000}\\
&=&\dfrac{1~837~253}{1~000}
\end{eqnarray}

Remarque : $1~837,253 = 1~837+0,253$. Sa partie entière est $1~837$ et sa partie décimale est $0,253$.

Remarque : On peut écrire ou supprimer des zéros avant la partie entière et après la partie décimale d’un nombre décimal. Cela ne change pas sa valeur.

Exemples :

$05,300=5,3$
$82,90=82,9$
$12,0=12$
$0,82\neq 82$
$920,3\neq 92,3$

Remarques : Ces zéros inutiles peuvent être utiles :

pour poser une addition ou une soustraction :

$11,032$ est la différence entre $20,75$ et $9,718$.

pour indiquer un prix : $12,8$ euros s’écrira $12,80$ euros pour éviter toute confusion avec les centimes.

D) Résoudre un problème

Exemple : On fabrique des petites maisons avec des allumettes, comme indiqué sur le dessin ci-dessous :

Combien faut-il d’allumettes pour réaliser :

1 maison ?
4 maisons ?
25 maisons ?

Pour 1 maison, il faut 6 allumettes.
Pour 4 maison, on multiplie 6 allumettes par 4 et on retire les 3 allumettes communes aux maisons adjacentes. Ainsi, il faut $4\times 6-3=24-3=21$ allumettes.
Pour 25 maisons, il faut $25\times 6-24=150-24=126$ allumettes.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Comprendre les relations entre unités, dixièmes, centièmes…
Savoir écrire un nombre sous la forme d’une fraction décimale.
Savoir écrire un nombre comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$.
Savoir donner l’écriture décimale d’un nombre.
Reconnaître différentes écritures d’un même nombre.
Savoir poser une addition et une soustraction et comprendre ces deux algorithmes.
Savoir résoudre des problèmes mobilisant l’addition et la soustraction.

Source :

Le nombre au cycle 3 (Eduscol)

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Chapitre 3 : Droites sécantes, parallèles et perpendiculaires

eric_moisan@orange.fr

Chapitre 3

Droites sécantes, parallèles et perpendiculaires

Chapitre 3 : Droites sécantes, parallèles et perpendiculaires

A) Droites sécantes

Définition : Deux droites sécantes sont deux droites qui n’ont qu’un seul point en commun. Ce point est appelé le point d’intersection.

Exemple : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $E$. $E$ est le point d’intersection.

Les points $A$ et $C$ sont des points distincts. Le point $E$ appartient aux droites $(AB)$ et $(CD)$. On dit que le point $E$ est le point commun aux droites $(AB)$ et $(CD)$. On note : \[E\in (AB)\] \[E\in (CD)\] En revanche, le point $A$ n’appartient pas à la droite $(CD)$. On note : \[A\notin (CD)\]

B) Droites perpendiculaires

Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant quatre angles droits.

Exemple : Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont perpendiculaires. On note $(d)\textcolor{red}{\perp} (d’)$ ou $(d’)\textcolor{red}{\perp} (d)$.

C) Droites parallèles

Définition : Deux droites parallèles sont deux droites qui n’ont aucun point en commun.

Remarque : Deux droites parallèles ont un écart constant. Cet écart est la plus courte distance entre un point d’une droite et un point de l’autre droite.

Exemple : La droite $(d’)$ est la parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $A$.

D) Propriétés

Propriété 1 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles.

Exemple :

Sur la figure ci-dessus, les droite (d$_{1}$) et (d$_{2}$) sont perpendiculaires à la droite (d$_{3})$.

Les droites (d$_{1}$) et (d$_{2}$) sont donc parallèles car si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles.

Les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont parallèles et la droite $(d_{3})$ est perpendiculaire à la droite $(d_{1})$.
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite qui est perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
Donc la droite $(d_{3})$ est aussi perpendiculaire à la droite $(d_{2})$.

E) Une deuxième méthode de construction de deux droites parallèles

Exemple : Tracé de la parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $A$ :

Bilan : Dans ce chapitre, je dois :

Connaître les définitions de droites sécantes, parallèles et perpendiculaires.
Connaître le vocabulaire « point commun », « point d’intersection », « points distincts ».
Savoir utiliser le symbole ∈.
Savoir utiliser l’équerre pour tracer des droites perpendiculaires.
Connaître par coeur les deux propriétés.
Savoir rédiger une petite démonstration en citant correctement la propriété utilisée afin de bien justifier ma réponse.
Savoir tracer deux droites parallèles en utilisant la règle et l’équerre.

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Chapitre 2 : Fraction partage

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Chapitre 2

Les fractions

Chapitre 2 : Les fractions

A) Fraction-partage

Pour mesurer une longueur ou une masse, il suffit de se donner une unité et de compter le nombre d’unités qu’on peut reporter. Mais parfois, on doit partager l’unité choisie en un nombre de parties égales. Quand on partage une unité en parts égales, chaque part est une fraction de l’unité.

Exemple : L’unité est la longueur d’une bande (ou son aire).

$Une fraction$

$\dfrac{4}{3}=4\times \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{3}=1+\dfrac{1}{3}$ (Somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$).

B) Placer une fraction sur une demi-droite graduée

Définition : On appelle demi-droite graduée une demi-droite sur laquelle on a choisi une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.

Exemple : Pour placer $\dfrac{7}{3}$ sur une demi-droite graduée, on peut :

Reporter $7$ fois le tiers de l’unité ($\dfrac{7}{3}=7\times \dfrac{1}{3}$).
Utiliser $\dfrac{7}{3}=\dfrac{6}{3}+\dfrac{1}{3}=2+\dfrac{1}{3}$.

$placer des fractions sur une demi-droite$

C) Egalités de fractions

$Des fractions égales$

D’après les demi-droites graduées ci-dessus, on peut écrire :
\[\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{4}~~\text{et}~~\dfrac{2}{2}=\dfrac{4}{4}\]

Propriété : Une fraction ne change pas si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Exemples :

$\dfrac{81}{5}=\dfrac{8,\times 10}{5 \times 10}=\dfrac{810}{50}$
$\dfrac{21}{30}=\dfrac{21\div 3}{30 \div 3}=\dfrac{7}{10}$

D) Résoudre un problème

Exemple : Zélie a préparé un cocktail de jus de fruits qui contient $\dfrac{1}{10}$ de sirop de grenadine, $\dfrac{7}{10}$ de jus d’orange et du jus d’ananas. Elle a utilisé $\dfrac{1}{2}~\text{L}$ de jus d’ananas.
Quel volume de cocktail Zélie a-t-elle préparé ?

$2~\text{L} + \dfrac{1}{2}~\text{L}=2,5~\text{L}$
Zélie a préparé 2,5 L de cocktail de jus de fruits.

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Indiquer la fraction représentée par une partie colorée.
Placer une fraction sur une demi-droite graduée.
Écrire une fraction comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
Écrire des égalités entre des fractions simples.
Résoudre des problèmes avec des fractions.

Source :

Le nombre au cycle 3 (Eduscol)

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Chapitre 1 : Les nombres entiers

10 commentaires / eric_moisan@orange.fr

Chapitre 1

Les nombres entiers

Chapitre 1 : Les nombres entiers

A ) La numération décimale de position

Notre système de numération est dit décimal de position.

« Décimal » signifie que l’on effectue des groupements par dix.
« De position » signifie que chaque chiffre a une signification différente selon son rang.

Exemples :

$14~\text{centaines et}~~ 23~\text{dizaines} =1~400+230=1~630$
$69~\text{centaines et}~~ 12~\text{dizaines} = 690~\text{dizaines} + 12~\text{dizaines}=702~\text{dizaines}$

Exemples :

$8~712=8\times 1~000+7\times 100+1\times 10+2$
$8$ est le chiffre des milliers et $1$ le chiffre des dizaines.
$8~712=871\times 10+2$
Il y a $871$ dizaines dans $8~712$.
$8~712=87\times 100+12$
Il y a $87$ centaines dans $8~712$.

B) Lire des grands nombres

Tableau de numération :

Exemple : La population de la Chine s’élevait fin 2010 à :

$1~339~713~000$

Ce nombre se lit : $1$ milliard $339$ millions $713$ mille habitants.

C) Représenter des entiers

On peut représenter des entiers sur une demi-droite graduée : il suffit de compter à partir de 0 en reportant régulièrement
le même pas. A chaque point de la demi-droite qui correspond à une graduation, on associe un nombre entier, qu’on appelle abscisse.

Exemples :

Avec un pas de $10$ :

L’abscisse du point $A$ est $20$.

Avec un pas de $50$ :

L’abscisse du point $E$ est $10~050$.

D) Résoudre des problèmes

Exemple : Trouver la valeur d’une boule.

D’après la balance, on a :
$4~\text{boules} + 3 = 7+2~\text{boules}$
On retire 2 boules à gauche et à droite, on a alors :
$2~\text{boules} + 3 = 7$
On en déduit que :
$2~\text{boules}=4$
Donc :
$1~\text{boule}=2$

Bilan : Dans ce chapitre, je dois savoir :

Composer et décomposer des grands nombres entiers.
Comprendre le lien entre les unités, les dizaines, les centaines…
Donner différentes écritures d’un nombre entier.
Repérer et placer un nombre entier sur une demi-droite graduée.

Sources :

Chapitre 1 : Les nombres entiers Lire la suite »

Protégé : Évaluations de 6ème

eric_moisan@orange.fr

Protégé : Évaluations de 6ème Lire la suite »

Devoirs à la maison de 6ème

5 commentaires / eric_moisan@orange.fr

6ème

Devoirs à la maison

Devoirs à la maison de 6ème Lire la suite »

Protégé : Tests de 6ème

eric_moisan@orange.fr

Protégé : Tests de 6ème Lire la suite »

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